Lista de temas de análisis numérico

Esta es una lista de temas de análisis numérico .

• Números validados
• Método iterativo
• Tasa de convergencia : la velocidad a la que una secuencia convergente se acerca a su límite.
  • Orden de precisión : velocidad a la que la solución numérica de la ecuación diferencial converge a la solución exacta
• Aceleración de series : métodos para acelerar la velocidad de convergencia de una serie
  • Proceso delta cuadrado de Aitken : muy útil para secuencias que convergen linealmente
  • Extrapolación polinomial mínima : para secuencias vectoriales
  • Extrapolación de Richardson
  • Transformación de Shanks : similar al proceso delta-cuadrado de Aitken, pero aplicada a las sumas parciales
  • Transformación de Van Wijngaarden : para acelerar la convergencia de una serie alternada
• Abramowitz y Stegun : libro que contiene fórmulas y tablas de muchas funciones especiales
  • Biblioteca digital de funciones matemáticas : sucesora del libro de Abramowitz y Stegun
• La maldición de la dimensionalidad
• Convergencia local y convergencia global: si necesita una buena estimación inicial para obtener la convergencia
• Superconvergencia
• Discretización
• Cociente de diferencia
• Complejidad:
  • Complejidad computacional de operaciones matemáticas
  • Análisis suavizado : medición del rendimiento esperado de los algoritmos bajo ligeras perturbaciones aleatorias de las entradas del peor caso
• Cálculo simbólico-numérico : combinación de métodos simbólicos y numéricos
• Aspectos culturales e históricos:
  • Historia de la solución numérica de ecuaciones diferenciales mediante computadoras
  • Problemas de cien dólares y cien dígitos : lista de diez problemas propuestos por Nick Trefethen en 2002
  • Talleres internacionales sobre QCD en red y análisis numérico
  • Cronología del análisis numérico a partir de 1945
• Clases generales de métodos:
  • Método de colocación : discretiza una ecuación continua al requerir que solo se cumpla en ciertos puntos.
  • Método de nivelación
    • Conjunto de niveles (estructuras de datos) : estructuras de datos para representar conjuntos de niveles
  • Métodos numéricos sinc : métodos basados ​​en la función sinc, sinc( x ) = sin( x ) / x
  • Métodos ABS

Análisis de errores (matemáticas)

• Aproximación
• Error de aproximación
• Cancelación catastrófica
• Número de condición
• Error de discretización
• Número de punto flotante
  • Dígito de protección : precisión adicional introducida durante un cálculo para reducir el error de redondeo
  • Truncamiento : redondeo de un número de punto flotante descartando todos los dígitos después de un dígito determinado
  • Error de redondeo
    • Precisión numérica en Microsoft Excel
  • Aritmética de precisión arbitraria
• Aritmética de intervalos : representar cada número mediante dos números de punto flotante que tienen garantizado el número desconocido entre ellos
  • Contratista de intervalos : asigna el intervalo al subintervalo que aún contiene la respuesta exacta desconocida
  • Propagación de intervalos : contraer dominios de intervalos sin eliminar ningún valor consistente con las restricciones
    • Véase también: Método de elementos de contorno de intervalo , Método de elementos finitos de intervalo
• Pérdida de importancia
• Error numérico
• Estabilidad numérica
• Propagación de errores:
  • Propagación de la incertidumbre
  • Residual (análisis numérico)
• Cambio y diferencia relativos : la diferencia relativa entre x e y es | x − y | / máx(| x |, | y |)
• Cifras significativas
  • Precisión artificial : cuando un valor numérico o semántico se expresa con más precisión que la proporcionada inicialmente a partir de la medición o la entrada del usuario ^[1]
  • Precisión falsa : dar cifras más significativas de las apropiadas
• Lema de Sterbenz
• Error de truncamiento : error que se comete al realizar solo un número finito de pasos
• Problema bien planteado
• Aritmética afín

• Algoritmo sin restricciones
• Suma:
  • Algoritmo de suma de Kahan
  • Suma por pares : un poco peor que la suma de Kahan, pero más barata
  • División binaria
  • 2Suma
• Multiplicación:
  • Algoritmo de multiplicación : discusión general, métodos simples
  • Algoritmo Karatsuba : el primer algoritmo que es más rápido que la multiplicación simple
  • Multiplicación de Toom-Cook : generalización de la multiplicación de Karatsuba
  • Algoritmo de Schönhage-Strassen : basado en la transformada de Fourier, asintóticamente muy rápido
  • Algoritmo de Fürer : asintóticamente ligeramente más rápido que Schönhage-Strassen
• Algoritmo de división : para calcular el cociente y/o el resto de dos números
  • División larga
  • Restaurando la división
  • División no restaurativa
  • División SRT
  • División de Newton-Raphson : utiliza el método de Newton para encontrar el recíproco de D y multiplicar ese recíproco por N para encontrar el cociente final Q.
  • División Goldschmidt
• Exponenciación:
  • Exponenciación por cuadrado
  • Exponenciación de cadena de adición
• Algoritmos inversos multiplicativos : para calcular el inverso multiplicativo de un número (recíproco).
  • El método de Newton
• Polinomios:
  • El método de Horner
  • Esquema de Estrin : modificación del esquema de Horner con más posibilidades de paralelización
  • Algoritmo de Clenshaw
  • Algoritmo de De Casteljau
• Raíces cuadradas y otras raíces:
  • Raíz cuadrada entera
  • Métodos para calcular raíces cuadradas
  • algoritmo de raíz n- ésima
  • hipot — la función ( x ² + y ² ) ^1/2
  • Algoritmo alfa máximo más beta mínimo : aproxima hipot(x,y)
  • Raíz cuadrada inversa rápida : calcula 1 / √ x utilizando detalles del sistema de punto flotante IEEE
• Funciones elementales (exponenciales, logaritmos, funciones trigonométricas):
  • Tablas trigonométricas : diferentes métodos para generarlas
  • CORDIC : algoritmo de desplazamiento y suma que utiliza una tabla de arcotangentes
  • Algoritmo BKM : algoritmo de desplazamiento y suma que utiliza una tabla de logaritmos y números complejos
• Función gamma:
  • Aproximación de Lanczos
  • Aproximación de Spouge : modificación de la aproximación de Stirling; más fácil de aplicar que la de Lanczos
• Método AGM : calcula la media aritmético-geométrica; los métodos relacionados calculan funciones especiales
• Método FEE (Evaluación rápida de la función E): suma rápida de series como la serie de potencias para e ^x
• Tablas precisas de Gal : tabla de valores de funciones con espaciado desigual para reducir el error de redondeo
• Algoritmo Spigot : algoritmos que pueden calcular dígitos individuales de un número real
• Aproximaciones de π :
  • Algoritmo π de Liu Hui : el primer algoritmo que puede calcular π con precisión arbitraria
  • Fórmula de Leibniz para π : serie alternada con convergencia muy lenta
  • Producto de Wallis : producto infinito que converge lentamente a π/2
  • Fórmula de Viète : producto infinito más complicado que converge más rápido
  • Algoritmo de Gauss-Legendre : iteración que converge cuadráticamente a π, basada en la media aritmético-geométrica
  • Algoritmo de Borwein : iteración que converge cuárticamente a 1/π y otros algoritmos
  • Algoritmo de Chudnovsky : algoritmo rápido que calcula una serie hipergeométrica
  • Fórmula de Bailey-Borwein-Plouffe : se puede utilizar para calcular dígitos hexadecimales individuales de π
  • Fórmula de Bellard : versión más rápida de la fórmula de Bailey-Borwein-Plouffe
  • Lista de fórmulas que involucran π

Álgebra lineal numérica : estudio de algoritmos numéricos para problemas de álgebra lineal.

• Tipos de matrices que aparecen en el análisis numérico:
  • Matriz dispersa
    • Matriz de bandas
    • Matriz bidiagonal
    • Matriz tridiagonal
    • Matriz pentadiagonal
    • Matriz del horizonte
  • Matriz circulante
  • Matriz triangular
  • Matriz diagonalmente dominante
  • Matriz de bloques : matriz compuesta de matrices más pequeñas
  • Matriz de Stieltjes : definida positiva simétrica con entradas no positivas fuera de la diagonal
  • Matriz de Hilbert : ejemplo de una matriz que está extremadamente mal condicionada (y por lo tanto es difícil de manejar)
  • Matriz de Wilkinson : ejemplo de una matriz tridiagonal simétrica con pares de valores propios casi iguales, pero no exactamente iguales
  • Matriz convergente : matriz cuadrada cuyas potencias sucesivas se aproximan a la matriz cero
• Algoritmos para la multiplicación de matrices:
  • Algoritmo de Strassen
  • Algoritmo de Coppersmith-Winograd
  • Algoritmo de Cannon : un algoritmo distribuido, especialmente adecuado para procesadores dispuestos en una cuadrícula 2D
  • Algoritmo de Freivalds : un algoritmo aleatorio para comprobar el resultado de una multiplicación.
• Descomposiciones matriciales :
  • Descomposición LU : triangular inferior por triangular superior
  • Descomposición QR : matriz ortogonal multiplicada por matriz triangular
    • Factorización RRQR : factorización QR que revela el rango, se puede utilizar para calcular el rango de una matriz
  • Descomposición polar : matriz unitaria multiplicada por matriz hermítica semidefinida positiva
  • Descomposiciones por semejanza:
    • Descomposición propia : descomposición en términos de vectores propios y valores propios
    • Forma normal de Jordan : matriz bidiagonal de una forma determinada; generaliza la descomposición propia
      • Forma canónica de Weyr : permutación de la forma normal de Jordan
    • Descomposición de Jordan-Chevalley : suma de la matriz nilpotente conmutativa y la matriz diagonalizable
    • Descomposición de Schur : transformación de similitud que convierte la matriz en una matriz triangular
  • Descomposición en valores singulares : matriz unitaria por matriz diagonal por matriz unitaria
• División de matrices : expresar una matriz dada como una suma o diferencia de matrices

• Eliminación gaussiana
  • Forma escalonada por filas : matriz en la que todas las entradas por debajo de una entrada distinta de cero son cero
  • Algoritmo de Bareiss : variante que garantiza que todas las entradas sigan siendo números enteros si la matriz inicial tiene entradas enteras
  • Algoritmo de matriz tridiagonal : forma simplificada de eliminación gaussiana para matrices tridiagonales
• Descomposición LU : escribe una matriz como producto de una matriz triangular superior y una inferior
  • Descomposición de la matriz de Crout
  • Reducción LU : una versión paralelizada especial de un algoritmo de descomposición LU
• Descomposición del bloque LU
• Descomposición de Cholesky : para resolver un sistema con una matriz definida positiva
  • Algoritmo de grado mínimo
  • Descomposición simbólica de Cholesky
• Refinamiento iterativo : procedimiento para convertir una solución inexacta en una más precisa
• Métodos directos para matrices dispersas:
  • Solucionador frontal : utilizado en métodos de elementos finitos
  • Disección anidada : para matrices simétricas, basada en la partición de gráficos
• Recursión de Levinson : para matrices de Toeplitz
• Algoritmo SPIKE : solucionador híbrido paralelo para matrices de banda estrecha
• Reducción cíclica : eliminar filas o columnas pares o impares, repetir
• Métodos iterativos:
  • Método Jacobi
  • Método de Gauss-Seidel
    • Sobre-relajación sucesiva (SOR): una técnica para acelerar el método de Gauss-Seidel
      • Sobre-relajación sucesiva simétrica (SSOR): variante de SOR para matrices simétricas
    • Algoritmo de retroajuste : procedimiento iterativo utilizado para ajustar un modelo aditivo generalizado, a menudo equivalente a Gauss-Seidel
  • Iteración de Richardson modificada
  • Método de gradiente conjugado (CG): supone que la matriz es definida positiva
    • Derivación del método del gradiente conjugado
    • Método de gradiente conjugado no lineal : generalización para problemas de optimización no lineal
  • Método del gradiente biconjugado (BiCG)
    • Método de gradiente estabilizado biconjugado (BiCGSTAB): variante de BiCG con mejor convergencia
  • Método de residuos conjugados : similar al CG, pero solo se supone que la matriz es simétrica
  • Método de residuos mínimos generalizados (GMRES), basado en la iteración de Arnoldi
  • Iteración de Chebyshev : evita los productos internos pero necesita límites en el espectro
  • El método de Stone (SIP — Strongly Implicit Procedure) utiliza una descomposición LU incompleta
  • Método Kaczmarz
  • Preacondicionador
    • Factorización de Cholesky incompleta : aproximación dispersa a la factorización de Cholesky
    • Factorización LU incompleta : aproximación dispersa a la factorización LU
  • Iteración de Uzawa : para problemas de nodos de silla de montar
• Sistemas subdeterminados y sobredeterminados (sistemas que no tienen ninguna solución o tienen más de una):
  • Cálculo numérico del espacio nulo : encontrar todas las soluciones de un sistema indeterminado
  • Pseudoinversa de Moore-Penrose : para encontrar la solución con la norma 2 más pequeña (para sistemas subdeterminados) o el residuo más pequeño
  • Aproximación dispersa : para encontrar la solución más dispersa (es decir, la solución con tantos ceros como sea posible)

Algoritmo de valores propios : un algoritmo numérico para localizar los valores propios de una matriz.

• Iteración de potencia
• Iteración inversa
• Iteración del cociente de Rayleigh
• Iteración de Arnoldi : basada en subespacios de Krylov
• Algoritmo de Lanczos — Arnoldi, especializado en matrices definidas positivas
  • Algoritmo de Lanczos en bloque : para cuando la matriz se encuentra sobre un campo finito
• Algoritmo QR
• Algoritmo de valor propio de Jacobi : seleccione una submatriz pequeña que pueda diagonalizarse exactamente y repita
  • Rotación de Jacobi : el bloque de construcción, casi una rotación de Givens
  • Método de Jacobi para matrices hermíticas complejas
• Algoritmo de valores propios de divide y vencerás
• Método del espectro plegado
• LOBPCG — Método de gradiente conjugado preacondicionado en bloques localmente óptimos
• Perturbación de valores propios : estabilidad de los valores propios bajo perturbaciones de la matriz

• Algoritmos de ortogonalización :
  • Proceso de Gram-Schmidt
  • Transformación del jefe de familia
    • Operador Householder : análogo de la transformación Householder para espacios de productos internos generales
  • Rotación de Givens
• Subespacio de Krylov
• Matriz de bloques pseudoinversa
• Bidiagonalización
• Algoritmo Cuthill-McKee : permuta filas/columnas en una matriz dispersa para generar una matriz de banda estrecha
• Transposición de matriz en el lugar : cálculo de la transposición de una matriz sin utilizar mucho almacenamiento adicional
• Elemento pivote : entrada en una matriz en la que se concentra el algoritmo
• Métodos sin matriz : métodos que solo acceden a la matriz mediante la evaluación de productos matriz-vector

Interpolación : construir una función que pase por algunos puntos de datos dados

• Interpolación del vecino más cercano : toma el valor del vecino más cercano

Interpolación polinómica : interpolación por polinomios

• Interpolación lineal
• El fenómeno de Runge
• Matriz de Vandermonde
• Polinomios de Chebyshev
• Nodos de Chebyshev
• Constantes de Lebesgue
• Diferentes formas para el interpolante:
  • Polinomio de Newton
    • Diferencias divididas
    • Algoritmo de Neville : para evaluar el interpolante; basado en la forma de Newton
  • Polinomio de Lagrange
  • Polinomio de Bernstein : especialmente útil para la aproximación
  • Fórmula de interpolación de Brahmagupta : fórmula del siglo VII para la interpolación cuadrática
• Extensiones a múltiples dimensiones:
  • Interpolación bilineal
  • Interpolación trilineal
  • Interpolación bicúbica
  • Interpolación tricúbica
  • Puntos de Padua : conjunto de puntos en R ² con interpolador polinomial único y crecimiento mínimo de la constante de Lebesgue
• Interpolación de Hermite
• Interpolación de Birkhoff
• Interpolación de Abel-Goncharov

Interpolación spline : interpolación mediante polinomios por partes

• Spline (matemáticas) : polinomios por partes utilizados como interpoladores
• Spline perfecto : spline polinomial de grado m cuya derivada m es ±1
• Spline cúbico de Hermite
  • Spline centrípeto de Catmull-Rom : caso especial de splines cúbicos de Hermite sin autointersecciones ni cúspides
• Interpolación cúbica monótona
• Spline de Hermite
• Curva de Bézier
  • Algoritmo de De Casteljau
  • curva de Bézier compuesta
  • Generalizaciones a más dimensiones:
    • Triángulo de Bézier : asigna un triángulo a R ³
    • Superficie de Bézier : asigna un cuadrado a R ³
• B-spline
  • Box spline : generalización multivariante de B-splines
  • Función de potencia truncada
  • Algoritmo de De Boor : generaliza el algoritmo de De Casteljau
• B-spline racional no uniforme (NURBS)
  • T-spline : se puede considerar como una superficie NURBS para la cual se permite que una fila de puntos de control termine
• Ranura de Kochanek-Bartels
• Parche de Coons : tipo de parametrización de colectores que se utiliza para unir suavemente otras superficies.
• M-spline : un spline no negativo
• I-spline : un spline monótono, definido en términos de M-splines
• Spline de suavizado : un spline ajustado suavemente a datos ruidosos
• Blossom (funcional) : un mapa único, afín y simétrico asociado a un polinomio o spline
• Véase también: Lista de temas de geometría computacional numérica

Interpolación trigonométrica : interpolación mediante polinomios trigonométricos

• Transformada de Fourier discreta : puede verse como una interpolación trigonométrica en puntos equidistantes
  • Relaciones entre las transformadas de Fourier y las series de Fourier
• Transformada rápida de Fourier (FFT): un método rápido para calcular la transformada de Fourier discreta
  • Algoritmo FFT de Bluestein
  • Algoritmo FFT de Bruun
  • Algoritmo de FFT de Cooley-Tukey
  • Algoritmo FFT de base dividida : variante de Cooley–Tukey que utiliza una combinación de bases 2 y 4
  • Algoritmo de Goertzel
  • Algoritmo FFT de factor primo
  • Algoritmo FFT de Rader
  • Permutación de inversión de bits : permutación particular de vectores con 2 ^m entradas utilizada en muchas FFT.
  • Diagrama de mariposa
  • Factor de torsión : los coeficientes constantes trigonométricos que se multiplican por los datos
  • Transformada rápida de Fourier ciclotómica : para FFT sobre campos finitos
  • Métodos para calcular convoluciones discretas con filtros de respuesta de impulso finito utilizando la FFT:
    • Método de superposición y adición
    • Método de superposición y ahorro
• Aproximación sigma
• Núcleo de Dirichlet : al convolucionar cualquier función con el núcleo de Dirichlet se obtiene su interpolador trigonométrico.
• Fenómeno de Gibbs

• Aproximación racional simple
  • Modelado de funciones polinómicas y racionales : comparación de la interpolación polinómica y racional
• Ondícula
  • Ondícula continua
  • Matriz de transferencia
  • Véase también: Lista de temas de análisis funcional , Lista de transformaciones relacionadas con wavelets
• Ponderación de distancia inversa
• Función de base radial (RBF): una función de la forma ƒ( x ) = φ (| x − x ₀ |)
  • Spline poliarmónico : una función de base radial de uso común
  • Spline de placa delgada : un spline poliarmónico específico: r ² log r
  • RBF jerárquico
• Superficie de subdivisión : construida subdividiendo recursivamente un interpolador lineal por partes
  • Superficie de la subdivisión Catmull–Clark
  • Superficie de la subdivisión Doo–Sabin
  • Superficie de subdivisión de bucle
• Slerp (interpolación lineal esférica): interpolación entre dos puntos en una esfera
  • Interpolación de cuaterniones generalizada: generaliza slerp para la interpolación entre más de dos cuaterniones
• Transformada ponderada discreta de base irracional
• Interpolación de Nevanlinna–Pick : interpolación mediante funciones analíticas en el disco unitario sujeto a un límite
  • Matriz de selección : la interpolación de Nevanlinna-Pick tiene una solución si esta matriz es semidefinida positiva
• Interpolación multivariable : la función que se interpola depende de más de una variable
  • Interpolación de Barnes : método para funciones bidimensionales que utiliza gaussianas comunes en meteorología
  • Superficie de Coons : combinación de interpolación lineal e interpolación bilineal
  • Remuestreo de Lanczos : basado en convolución con una función sinc
  • Interpolación de vecinos naturales
  • Interpolación del valor del vecino más próximo
  • Superficie de PDE
  • Interpolación transfinita : construye una función en un dominio planar dados sus valores en el límite
  • Análisis de superficie de tendencia : basado en polinomios de orden bajo de coordenadas espaciales; utiliza observaciones dispersas
  • Los métodos basados ​​en polinomios se enumeran en Interpolación polinómica.

Teoría de aproximación

• Órdenes de aproximación
• Lema de Lebesgue
• Ajuste de curvas
  • Reconstrucción del campo vectorial
• Módulo de continuidad : mide la suavidad de una función.
• Mínimos cuadrados (aproximación de funciones) : minimiza el error en la norma L ²
• Algoritmo de aproximación minimax : minimiza el error máximo en un intervalo (la norma L ^{∞ )}
  • Teorema de equioscilación : caracteriza la mejor aproximación en la norma L ^∞
• Conjunto de puntos unisolventes : la función de un espacio de funciones dado está determinada únicamente por los valores de dicho conjunto de puntos.
• Teorema de Stone-Weierstrass : las funciones continuas pueden aproximarse uniformemente mediante polinomios o ciertos otros espacios de funciones.
• Aproximación por polinomios:
  • Aproximación lineal
  • Polinomio de Bernstein : base de polinomios útiles para aproximar una función
  • Constante de Bernstein : error al aproximar | x | mediante un polinomio
  • Algoritmo de Remez : para construir la mejor aproximación polinomial en la norma L ^∞
  • Desigualdad de Bernstein (análisis matemático) : límite máximo de la derivada de un polinomio en un disco unitario
  • Teorema de Mergelyan : generalización del teorema de Stone-Weierstrass para polinomios
  • Teorema de Müntz-Szász : variante del teorema de Stone-Weierstrass para polinomios si algunos coeficientes deben ser cero
  • Lema de Bramble-Hilbert : límite superior del error L ^p de la aproximación polinómica en múltiples dimensiones
  • Polinomios de Chebyshev discretos : polinomios ortogonales con respecto a una medida discreta
  • Teorema de Favard : los polinomios que satisfacen relaciones de recurrencia de 3 términos adecuadas son polinomios ortogonales
• Aproximación por series de Fourier / polinomios trigonométricos:
  • Desigualdad de Jackson : límite superior para la mejor aproximación mediante un polinomio trigonométrico
    • Teorema de Bernstein (teoría de aproximación) : una contraparte de la desigualdad de Jackson
  • Teorema de Fejér : las medias de Cesàro de las sumas parciales de las series de Fourier convergen uniformemente para funciones periódicas continuas
  • Desigualdad de Erdős-Turán : límites de distancia entre la probabilidad y la medida de Lebesgue en términos de coeficientes de Fourier
• Diferentes aproximaciones:
  • Movimiento de mínimos cuadrados
  • Padé aproximado
    • Tabla de Padé — tabla de aproximaciones de Padé
  • Teorema de Hartogs-Rosenthal : las funciones continuas pueden aproximarse uniformemente mediante funciones racionales en un conjunto de medida de Lebesgue cero
  • Operador Szász-Mirakyan : aproximación por e ^{− n} x ^k en un intervalo semiinfinito
  • Operador Szász-Mirakjan-Kantorovich
  • Operador de Baskakov : generaliza polinomios de Bernstein, operadores de Szász-Mirakyan y operadores de Lupas
  • Operador de Favard : aproximación por sumas de gaussianas
• Modelo sustituto : aplicación: sustitución de una función difícil de evaluar por una función más sencilla
• Teoría de la función constructiva : campo que estudia la conexión entre el grado de aproximación y la suavidad.
• Ecuación diferencial universal : ecuación diferencial-algebraica cuyas soluciones pueden aproximarse a cualquier función continua.
• Problema de Fekete : encontrar N puntos en una esfera que minimicen algún tipo de energía
• Condición de Carleman : condición que garantiza que una medida está determinada únicamente por sus momentos.
• Condición de Kerin : condición de que las sumas exponenciales sean densas en el espacio L ^{2 ponderado}
• Teorema del letargo : sobre la distancia de los puntos en un espacio métrico respecto de los miembros de una secuencia de subespacios
• Teorema de representación y proyección de Wirtinger
• Revistas:
  • Aproximación constructiva
  • Revista de teoría de aproximación

• Extrapolación
  • Análisis predictivo lineal : extrapolación lineal
• Funciones unisolventes : funciones para las cuales el problema de interpolación tiene una solución única
• Análisis de regresión
  • Regresión isotónica
• Compactación por ajuste de curvas
• Interpolación (gráficos por computadora)

Ver #Álgebra lineal numérica para ecuaciones lineales

Algoritmo de búsqueda de raíces : algoritmos para resolver la ecuación f ( x ) = 0

• Métodos generales:
  • Método de bisección : simple y robusto; convergencia lineal
    • Algoritmo de Lehmer-Schur : variante para funciones complejas
  • Iteración de punto fijo
  • Método de Newton : basado en aproximación lineal alrededor de la iteración actual; convergencia cuadrática
    • Teorema de Kantorovich : proporciona una región alrededor de la solución tal que el método de Newton converge
    • Fractal de Newton : indica qué condición inicial converge a qué raíz bajo la iteración de Newton
    • Método cuasi-Newton : utiliza una aproximación del jacobiano:
      • El método de Broyden utiliza una actualización de rango uno para el jacobiano
      • Rango uno simétrico : una actualización simétrica (pero no necesariamente definida positiva) de rango uno del jacobiano
      • Fórmula de Davidon-Fletcher-Powell : actualización del jacobiano en la que la matriz permanece definida positiva
      • Algoritmo de Broyden–Fletcher–Goldfarb–Shanno : actualización de rango dos del jacobiano en el que la matriz permanece definida positiva
      • Método BFGS de memoria limitada : variante truncada y sin matriz del método BFGS adecuada para problemas grandes
    • El método de Steffensen utiliza diferencias divididas en lugar de la derivada.
  • Método secante : basado en interpolación lineal en las dos últimas iteraciones
  • Método de la posición falsa : método de la secante con ideas del método de la bisección
  • Método de Muller , basado en interpolación cuadrática en las últimas tres iteraciones
  • Método secante generalizado de Sidi : variantes de orden superior del método secante
  • Interpolación cuadrática inversa : similar al método de Muller, pero interpola la inversa
  • Método de Brent : combina el método de bisección, el método secante y la interpolación cuadrática inversa
  • El método de Ridders : ajusta una función lineal multiplicada por una exponencial hasta las dos últimas iteraciones y su punto medio.
  • El método de Halley utiliza f , f ' y f ''; logra la convergencia cúbica
  • Método de Householder : utiliza las primeras d derivadas para lograr el orden d + 1; generaliza el método de Newton y Halley
• Métodos para polinomios:
  • Método Aberth
  • El método de Bairstow
  • Método de Durand-Kerner
  • El método de Graeffe
  • Algoritmo Jenkins-Traub : rápido, confiable y ampliamente utilizado
  • El método de Laguerre
  • Método de división del círculo
• Análisis:
  • Polinomio de Wilkinson
• Continuación numérica : seguimiento de una raíz a medida que cambia un parámetro en la ecuación
  • Continuación lineal por partes

Optimización matemática : algoritmo para encontrar máximos o mínimos de una función dada

• Conjunto activo
• Solución candidata
• Restricción (matemáticas)
  • Optimización restringida : estudia problemas de optimización con restricciones.
  • Restricción binaria : una restricción que involucra exactamente dos variables
• Solución de esquina
• Región factible : contiene todas las soluciones que satisfacen las restricciones pero pueden no ser óptimas
• Óptimo global y óptimo local
• Máximos y mínimos
• Variable de holgura
• Optimización continua
• Optimización discreta

Programación lineal (también trata la programación entera ): la función objetivo y las restricciones son lineales.

• Algoritmos para programación lineal:
  • Algoritmo simplex
    • Regla de Bland : regla para evitar el ciclo en el método símplex
    • Cubo de Klee-Minty : (hiper)cubo perturbado; el método símplex tiene una complejidad exponencial en dicho dominio
    • Algoritmo entrecruzado : similar al algoritmo simplex
    • Método Big M : variación del algoritmo símplex para problemas con restricciones tanto de "menor que" como de "mayor que"
  • Método del punto interior
    • Método del elipsoide
    • Algoritmo de Karmarkar
    • Método predictor-corrector de Mehrotra
  • Generación de columnas
  • Aproximación k de un conjunto de impactos k : algoritmo para problemas de PL específicos (para encontrar un conjunto de impactos ponderado)
• Problema de complementariedad lineal
• Descomposiciones:
  • Descomposición de Benders
  • Descomposición de Dantzig-Wolfe
  • Teoría de la planificación en dos niveles
  • División variable
• Solución básica (programación lineal) : solución en el vértice de la región factible
• Eliminación de Fourier-Motzkin
• Base de Hilbert (programación lineal) : conjunto de vectores enteros en un cono convexo que generan todos los vectores enteros en el cono
• Problema de tipo LP
• Desigualdad lineal
• Problema de enumeración de vértices : enumerar todos los vértices del conjunto factible

Optimización convexa

• Programación cuadrática
  • Mínimos cuadrados lineales (matemáticas)
  • Mínimos cuadrados totales
  • Algoritmo de Frank-Wolfe
  • Optimización mínima secuencial : divide los grandes problemas de QP en una serie de problemas de QP más pequeños posibles
  • Programa bilineal
• Búsqueda de la base : minimizar la norma L ₁ del vector sujeto a restricciones lineales
  • Eliminación de ruido mediante búsqueda de base (BPDN): versión regularizada de la búsqueda de base
    • Algoritmo de in-crowd : algoritmo para resolver la eliminación de ruido de búsqueda de base
• Desigualdad matricial lineal
• Optimización cónica
  • Programación semidefinida
  • Programación de conos de segundo orden
  • Optimización por suma de cuadrados
  • Programación cuadrática (ver arriba)
• Método de Bregman : método de acción por filas para problemas de optimización estrictamente convexos
• Método de gradiente proximal : utiliza la división de la función objetivo en la suma de posibles partes no diferenciables
• Método de subgradiente : extensión del descenso más pronunciado para problemas con una función objetivo no diferenciable
• Optimización biconvexa : generalización en la que la función objetivo y el conjunto de restricciones pueden ser biconvexos

Programación no lineal : el problema de optimización más general en el marco habitual

• Casos especiales de programación no lineal:
  • Ver programación lineal y optimización convexa arriba
  • Programación geométrica : problemas que involucran signomios o posinomios
    • Signomio : similar a los polinomios, pero los exponentes no necesitan ser números enteros
    • Posinomio : un signomio con coeficientes positivos
  • Programa cuadrático restringido cuadráticamente
  • Programación lineal-fraccional : el objetivo es la relación de funciones lineales, las restricciones son lineales
    • Programación fraccionaria : el objetivo es la relación de funciones no lineales, las restricciones son lineales
  • Problema de complementariedad no lineal (NCP): encuentre x tal que x ≥ 0, f ( x ) ≥ 0 y x ^T f ( x ) = 0
  • Mínimos cuadrados : la función objetivo es una suma de cuadrados
    • Mínimos cuadrados no lineales
    • Algoritmo de Gauss-Newton
      • Algoritmo BHHH : variante del algoritmo Gauss-Newton en econometría
      • Método de Gauss-Newton generalizado : para problemas de mínimos cuadrados no lineales restringidos
    • Algoritmo de Levenberg-Marquardt
    • Mínimos cuadrados reponderados iterativamente (IRLS): resuelve un problema de mínimos cuadrados ponderados en cada iteración
    • Mínimos cuadrados parciales : técnicas estadísticas similares al análisis de componentes principales
      • Mínimos cuadrados parciales iterativos no lineales (NIPLS)
  • Programación matemática con restricciones de equilibrio : las restricciones incluyen desigualdades variacionales o complementariedades
  • Optimización univariante:
    • Búsqueda de la sección áurea
    • Interpolación parabólica sucesiva : basada en la interpolación cuadrática a través de las últimas tres iteraciones
• Algoritmos generales:
  • Conceptos:
    • Dirección de descenso
    • Valor de estimación : la estimación inicial de una solución con la que comienza un algoritmo.
    • Búsqueda de línea
      • Búsqueda de línea de retroceso
      • Condiciones de Wolfe
  • Método de gradiente : método que utiliza el gradiente como dirección de búsqueda
    • Descenso de gradiente
      • Descenso de gradiente estocástico
    • Iteración de Landweber : se utiliza principalmente para problemas mal planteados
  • Programación lineal sucesiva (SLP): reemplace el problema por un problema de programación lineal, resuélvalo y repita
  • Programación cuadrática secuencial (SQP): reemplace el problema por un problema de programación cuadrática, resuélvalo y repita
  • El método de Newton en optimización
    • Véase también Algoritmo de Newton en la sección Encontrar raíces de ecuaciones no lineales.
  • Método de gradiente conjugado no lineal
  • Métodos sin derivadas
    • Descenso de coordenadas : moverse en una de las direcciones de coordenadas
      • Descenso de coordenadas adaptativo : adaptar las direcciones de las coordenadas a la función objetivo
      • Descenso aleatorio de coordenadas : versión aleatoria
    • Método Nelder-Mead
    • Búsqueda de patrones (optimización)
    • El método de Powell , basado en el descenso del gradiente conjugado
    • Métodos de Rosenbrock : método sin derivadas, similar al de Nelder-Mead pero con convergencia garantizada
  • Método lagrangiano aumentado : reemplaza problemas restringidos por problemas sin restricciones con un término agregado a la función objetivo
  • Búsqueda ternaria
  • Búsqueda tabú
  • Búsqueda local guiada : modificación de los algoritmos de búsqueda que genera penalizaciones durante una búsqueda
  • Optimización de búsqueda reactiva (RSO): el algoritmo adapta sus parámetros automáticamente
  • Algoritmo MM : minimización de mayor a menor, un amplio marco de métodos
  • Desviaciones absolutas mínimas
    • Algoritmo de expectativa-maximización
      • Maximización de expectativas de subconjunto ordenado
  • Búsqueda de vecino más cercano
  • Mapeo espacial : utiliza modelos "gruesos" (ideales o de baja fidelidad) y "finos" (prácticos o de alta fidelidad)

Control óptimo

• Principio mínimo de Pontryagin : versión de dimensión infinita de los multiplicadores de Lagrange
  • Ecuaciones de costata : ecuación para los "multiplicadores de Lagrange" en el principio mínimo de Pontryagin
  • Hamiltoniano (teoría de control) : el principio mínimo dice que esta función debe minimizarse
• Tipos de problemas:
  • Regulador lineal-cuadrático : la dinámica del sistema es una ecuación diferencial lineal, el objetivo es cuadrático
  • Control lineal-cuadrático-gaussiano (LQG): la dinámica del sistema es una SDE lineal con ruido aditivo, el objetivo es cuadrático
    • Ecuaciones de proyección óptimas : método para reducir la dimensión del problema de control LQG
• Ecuación algebraica de Riccati : ecuación matricial que aparece en muchos problemas de control óptimo
• Control bang-bang : control que cambia abruptamente entre dos estados
• Principio de mapeo de covectores
• Programación dinámica diferencial : utiliza modelos cuadráticos locales de las funciones dinámicas y de costo.
• Punto DNSS : estado inicial para ciertos problemas de control óptimo con múltiples soluciones óptimas
• Condición de Legendre-Clebsch : condición de segundo orden para la solución de un problema de control óptimo
• Control óptimo pseudoespectral
  • Método pseudoespectral de Bellman : basado en el principio de optimalidad de Bellman
  • Método pseudoespectral de Chebyshev : utiliza polinomios de Chebyshev (del primer tipo)
  • Método pseudoespectral plano : combina el método pseudoespectral de Ross-Fahroo con planitud diferencial
  • Método pseudoespectral de Gauss : utiliza la colocación en los puntos de Legendre-Gauss
  • Método pseudoespectral de Legendre : utiliza polinomios de Legendre
  • Método de anudado pseudoespectral : generalización de los métodos pseudoespectrales en el control óptimo
  • Método pseudoespectral de Ross-Fahroo : clase de método pseudoespectral que incluye Chebyshev, Legendre y anudado
• Lema de Ross-Fahroo : condición para que las operaciones de discretización y dualidad conmuten
• Lema π de Ross : existe una constante de tiempo fundamental dentro de la cual se debe calcular una solución de control para lograr controlabilidad y estabilidad
• Modelo Sethi : modelado de problemas de control óptimo de la publicidad

Optimización de dimensión infinita

• Programación semi-infinita : número infinito de variables y número finito de restricciones, o viceversa
• Optimización de forma , optimización de topología : optimización sobre un conjunto de regiones
  • Derivada topológica : derivada con respecto al cambio de forma.
• Programación semi-infinita generalizada : número finito de variables, número infinito de restricciones

• Enfoques para abordar la incertidumbre:
  • Proceso de decisión de Markov
  • Proceso de decisión de Markov parcialmente observable
  • Optimización robusta
    • Modelo maximin de Wald
  • Optimización de escenarios : las restricciones son inciertas
  • Aproximación estocástica
  • Optimización estocástica
  • Programación estocástica
  • Descenso de gradiente estocástico
• Algoritmos de optimización aleatoria :
  • Búsqueda aleatoria : elija un punto al azar en la bola alrededor de la iteración actual
  • Recocido simulado
    • Recocido simulado adaptativo : variante en la que los parámetros del algoritmo se ajustan durante el cálculo.
    • Algoritmo del Gran Diluvio
    • Recocido de campo medio : variante determinista del recocido simulado
  • Optimización bayesiana : trata la función objetivo como una función aleatoria y le asigna un valor anterior.
  • Algoritmo evolutivo
    • Evolución diferencial
    • Programación evolutiva
    • Algoritmo genético , Programación genética
      • Algoritmos genéticos en economía
    • MCACEA (Algoritmo evolutivo de coevolución de agentes coordinados múltiples): utiliza un algoritmo evolutivo para cada agente
    • Aproximación estocástica de perturbación simultánea (SPSA)
  • Luus–Jaakola
  • Optimización de enjambre de partículas
  • Túnel estocástico
  • Búsqueda de armonía : imita el proceso de improvisación de los músicos
  • Véase también la sección Método de Monte Carlo.

• Análisis convexo : función f tal que f ( tx + (1 − t ) y ) ≥ tf ( x ) + (1 − t ) f ( y ) para t ∈ [0,1]
  • Función pseudoconvexa : función f tal que ∇ f · ( y − x ) ≥ 0 implica f ( y ) ≥ f ( x )
  • Función cuasiconvexa : función f tal que f ( tx + (1 − t ) y ) ≤ máx( f ( x ), f ( y )) para t ∈ [0,1]
  • Subderivada
  • Convexidad geodésica : convexidad para funciones definidas en una variedad de Riemann
• Dualidad (optimización)
  • Dualidad débil : la solución dual proporciona un límite para la solución primaria
  • Dualidad fuerte : las soluciones primarias y duales son equivalentes
  • Precio sombra
  • Cono dual y cono polar
  • Brecha de dualidad : diferencia entre solución primaria y dual
  • Teorema de dualidad de Fenchel : relaciona problemas de minimización con problemas de maximización de conjugados convexos.
  • Función de perturbación : cualquier función relacionada con problemas primarios y duales.
  • Condición de Slater : condición suficiente para que se cumpla la dualidad fuerte en un problema de optimización convexa
  • Integralidad dual total : concepto de dualidad para programación lineal entera
  • Dualidad de Wolfe : para cuando la función objetivo y las restricciones son diferenciables
• El lema de Farkas
• Condiciones de Karush-Kuhn-Tucker (KKT): condiciones suficientes para que una solución sea óptima
  • Condiciones de Fritz John : variante de las condiciones KKT
• Multiplicador de Lagrange
  • Multiplicadores de Lagrange en espacios de Banach
• Semi-continuidad
• Teoría de complementariedad : estudio de problemas con restricciones de la forma ⟨ u , v ⟩ = 0
  • Problema de complementariedad mixta
    • Problema de complementariedad lineal mixta
    • Algoritmo de Lemke : método para resolver problemas de complementariedad lineal (mixta)
• Teorema de Danskin : utilizado en el análisis de problemas minimax
• Teorema del máximo : el máximo y el maximizador son continuos en función de los parámetros, bajo ciertas condiciones
• No hay nada gratis en búsqueda y optimización
• Relajación (aproximación) : aproximar un problema dado mediante un problema más fácil relajando algunas restricciones
  • Relajación lagrangiana
  • Relajación de programación lineal : ignorar las restricciones de integralidad en un problema de programación lineal
• Función autoconcordante
• Costo reducido : costo de aumentar una variable en una pequeña cantidad
• Dificultad de aproximación : complejidad computacional para obtener una solución aproximada

• En geometría:
  • Mediana geométrica : el punto que minimiza la suma de distancias a un conjunto dado de puntos
  • Centro de Chebyshev : el centro de la bola más pequeña que contiene un conjunto dado de puntos
• En estadística:
  • Modos condicionales iterados : maximización de la probabilidad conjunta del campo aleatorio de Markov
  • Metodología de superficie de respuesta : utilizada en el diseño de experimentos
• Colocación automática de etiquetas
• Detección comprimida : reconstruir una señal a partir del conocimiento de que es escasa o comprimible
• Problema de corte de stock
• Optimización de la demanda
• Despacho de destino : una técnica de optimización para el despacho de ascensores
• Minimización de energía
• Maximización de la entropía
• Tolerancia altamente optimizada
• Optimización de hiperparámetros
• Problema de control de inventario
  • Modelo de vendedor de periódicos
  • Modelo ampliado de vendedor de noticias
  • Sistema de ensamblaje bajo pedido
• Descodificación de programación lineal
• Problema de búsqueda lineal : encuentre un punto en una línea moviéndose a lo largo de ella
• Aproximación de rango bajo : encuentre la mejor aproximación, la restricción es que el rango de alguna matriz es menor que un número dado
• Metaoptimización : optimización de los parámetros en un método de optimización
• Optimización del diseño multidisciplinario
• Asignación óptima del presupuesto computacional : maximice la eficiencia general de la simulación para encontrar una decisión óptima
• Problema de la bolsa de papel
• Optimización de procesos
• Economía recursiva : los individuos toman una serie de decisiones de optimización de dos períodos a lo largo del tiempo.
• Dieta de Stigler
• Problema de asignación de espacio
• Mayoría del estrés
• Optimización de trayectoria
• Teoría del transporte
• Optimización de la forma del ala

• Optimización combinatoria
• Programación dinámica
  • Ecuación de Bellman
  • Ecuación de Hamilton-Jacobi-Bellman : análogo en tiempo continuo de la ecuación de Bellman
  • Inducción hacia atrás : solución de problemas de programación dinámica razonando hacia atrás en el tiempo
  • Parada óptima : elegir el momento óptimo para realizar una acción determinada
    • Algoritmo de probabilidades
    • El problema de Robbins
• Optimización global :
  • Algoritmo BRST
  • Algoritmo MCS
• Optimización multiobjetivo : existen múltiples objetivos en conflicto
  • Algoritmo de Benson : para problemas de optimización de vectores lineales
• Optimización de dos niveles : estudia problemas en los que un problema está integrado en otro.
• Subestructura óptima
• Algoritmo de proyección de Dykstra : encuentra un punto en la intersección de dos conjuntos convexos
• Conceptos algorítmicos:
  • Función de barrera
  • Método de penalización
  • Región de confianza
• Funciones de prueba para optimización :
  • Función de Rosenbrock : función bidimensional con un valle en forma de plátano
  • Función de Himmelblau : bidimensional con cuatro mínimos locales, definida por${\displaystyle f(x,y)=(x^{2}+y-11)^{2}+(x+y^{2}-7)^{2}}$
  • Función de Rastrigin : función bidimensional con muchos mínimos locales
  • Función shekel : multimodal y multidimensional
• Sociedad de Optimización Matemática

Integración numérica : la evaluación numérica de una integral

• Método del rectángulo : método de primer orden, basado en una aproximación constante (por partes)
• Regla trapezoidal : método de segundo orden, basado en una aproximación lineal (por partes)
• Regla de Simpson : método de cuarto orden, basado en la aproximación cuadrática (por partes)
  • Método de Simpson adaptativo
• Regla de Boole : método de sexto orden, basado en los valores en cinco puntos equidistantes
• Fórmulas de Newton-Cotes : generalizan los métodos anteriores
• El método de Romberg : extrapolación de Richardson aplicada a la regla del trapecio
• Cuadratura gaussiana : el grado más alto posible con un número determinado de puntos
  • Cuadratura de Chebyshev-Gauss : extensión de la cuadratura gaussiana para integrales con peso (1 − x ² ) ^±1/2 en [−1, 1]
  • Cuadratura de Gauss-Hermite : extensión de la cuadratura gaussiana para integrales con peso exp(− x ² ) en [−∞, ∞]
  • Cuadratura de Gauss-Jacobi : extensión de la cuadratura gaussiana para integrales con peso (1 − x ) ^α (1 + x ) ^β en [−1, 1]
  • Cuadratura de Gauss-Laguerre : extensión de la cuadratura gaussiana para integrales con peso exp(− x ) en [0, ∞]
  • Fórmula de cuadratura de Gauss-Kronrod : regla anidada basada en la cuadratura gaussiana
  • Reglas de Gauss-Kronrod
• Cuadratura de Tanh-sinh : variante de la cuadratura gaussiana que funciona bien con singularidades en los puntos finales
• Cuadratura de Clenshaw-Curtis : basada en la expansión del integrando en términos de polinomios de Chebyshev
• Cuadratura adaptativa : adaptación de los subintervalos en los que se divide el intervalo de integración en función del integrando.
• Integración de Monte Carlo : toma muestras aleatorias del integrando
  • Véase también el método #Monte Carlo
• Método de sistemas de estados cuantificados (QSS), basado en la idea de cuantificación de estados
• Cuadratura de Lebedev : utiliza una cuadrícula sobre una esfera con simetría octaédrica
• Cuadrícula dispersa
• Aproximación de Coopman
• Diferenciación numérica : para integrales de orden fraccionario
  • Suavizado numérico y diferenciación
  • Método de estados adjuntos : aproxima el gradiente de una función en un problema de optimización
• Fórmula de Euler-Maclaurin

Métodos numéricos para ecuaciones diferenciales ordinarias : la solución numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO)

• Método de Euler : el método más básico para resolver una EDO
• Métodos explícitos e implícitos : los métodos implícitos necesitan resolver una ecuación en cada paso.
• Método de Euler inverso : variante implícita del método de Euler
• Regla del trapezoide : método implícito de segundo orden
• Métodos de Runge-Kutta : una de las dos clases principales de métodos para problemas de valores iniciales
  • Método del punto medio : un método de segundo orden con dos etapas
  • El método de Heun : un método de segundo orden con dos etapas o un método de tercer orden con tres etapas
  • Método de Bogacki-Shampine : un método de tercer orden con cuatro etapas (FSAL) y un método de cuarto orden integrado
  • Método Cash-Karp : un método de quinto orden con seis etapas y un método de cuarto orden incorporado
  • Método Dormand-Prince : un método de quinto orden con siete etapas (FSAL) y un método de cuarto orden incorporado
  • Método de Runge-Kutta-Fehlberg : un método de quinto orden con seis etapas y un método de cuarto orden incorporado
  • Método de Gauss-Legendre : familia de métodos A-estables con orden óptimo basados ​​en la cuadratura gaussiana
  • Grupo Butcher : formalismo algebraico que involucra árboles enraizados para analizar métodos de Runge-Kutta
  • Lista de métodos de Runge-Kutta
• Método lineal de varios pasos : la otra clase principal de métodos para problemas de valor inicial
  • Fórmula de diferenciación hacia atrás : métodos implícitos de orden 2 a 6; especialmente adecuados para ecuaciones rígidas
  • Método de Numerov : método de cuarto orden para ecuaciones de la forma${\displaystyle y''=f(t,y)}$
  • Método predictor-corrector : utiliza un método para aproximar la solución y otro para aumentar la precisión
• Métodos lineales generales : una clase de métodos que encapsulan métodos lineales de múltiples pasos y de Runge-Kutta.
• Algoritmo de Bulirsch-Stoer : combina el método del punto medio con la extrapolación de Richardson para lograr un orden arbitrario
• Integrador exponencial : basado en la división de la EDO en una parte lineal, que se resuelve de manera exacta, y una parte no lineal.
• Métodos diseñados para la solución de EDO de la física clásica:
  • Método beta de Newmark : basado en el teorema del valor medio extendido
  • Integración de Verlet : un método popular de segundo orden
  • Integración Leapfrog : otro nombre para la integración Verlet
  • Algoritmo de Beeman : un método de dos pasos que extiende el método de Verlet
  • Relajación dinámica
• Integrador geométrico : un método que conserva cierta estructura geométrica de la ecuación.
  • Integrador simpléctico : un método para la solución de las ecuaciones de Hamilton que preserva la estructura simpléctica.
    • Integrador variacional : integradores simplécticos derivados utilizando el principio variacional subyacente
    • Método de Euler semiimplícito : variante del método de Euler que es simpléctica cuando se aplica a hamiltonianos separables
  • Deriva de energía : fenómeno en el que la energía, que debería conservarse, se pierde debido a errores numéricos.
• Otros métodos para problemas de valor inicial (PIB):
  • Línea de retardo bidireccional
  • Circuito equivalente de elementos parciales
• Métodos para resolver problemas de valores en la frontera de dos puntos (BVP):
  • Método de disparo
  • Método de disparo múltiple directo : divide el intervalo en varios subintervalos y aplica el método de disparo en cada subintervalo
• Métodos para resolver ecuaciones algebraicas diferenciales (EDD), es decir, EDO con restricciones:
  • Algoritmo de restricción : para resolver ecuaciones de Newton con restricciones
  • Algoritmo de Pantelides : para reducir el índice de DEA
• Métodos para resolver ecuaciones diferenciales estocásticas (EDS):
  • Método de Euler-Maruyama : generalización del método de Euler para ecuaciones diferenciales simples
  • Método de Milstein : un método con un fuerte orden uno
  • Método de Runge-Kutta (SDE) : generalización de la familia de métodos de Runge-Kutta para SDE
• Métodos para resolver ecuaciones integrales:
  • Método de Nyström : reemplaza la integral con una regla de cuadratura
• Análisis:
  • Error de truncamiento (integración numérica) : errores de truncamiento locales y globales y sus relaciones
    • El abanico de Lady Windermere (matemáticas) : identidad telescópica que relaciona errores de truncamiento locales y globales
• Ecuación rígida : aproximadamente, una EDO para la cual los métodos inestables necesitan un tamaño de paso muy corto, pero los métodos estables no.
  • L-estabilidad : el método es A-estable y la función de estabilidad se desvanece en el infinito
• Tamaño de paso adaptable : cambia automáticamente el tamaño del paso cuando parece ventajoso
• Parareal : un algoritmo de integración en paralelo en el tiempo

Ecuaciones diferenciales parciales numéricas : la solución numérica de ecuaciones diferenciales parciales (EDP)

Método de diferencias finitas : basado en la aproximación de operadores diferenciales con operadores de diferencia

• Diferencia finita : el análogo discreto de un operador diferencial
  • Coeficiente de diferencia finita : tabla de coeficientes de aproximaciones de diferencias finitas a derivadas
  • Operador de Laplace discreto : aproximación de diferencias finitas del operador de Laplace
    • Valores propios y vectores propios de la segunda derivada : incluye valores propios del operador de Laplace discreto
    • Suma de Kronecker de laplacianos discretos : se utiliza para el operador de Laplace en múltiples dimensiones
  • Ecuación de Poisson discreta : análogo discreto de la ecuación de Poisson que utiliza el operador discreto de Laplace
• Plantilla (análisis numérico) : las disposiciones geométricas de los puntos de la cuadrícula afectadas por un paso básico del algoritmo
  • Plantilla compacta : plantilla que solo utiliza unos pocos puntos de cuadrícula, generalmente solo los vecinos inmediatos y diagonales
    • Esquema de diferencias finitas compactas de orden superior
  • Plantilla no compacta : cualquier plantilla que no sea compacta.
  • Plantilla de cinco puntos : plantilla bidimensional que consta de un punto y sus cuatro vecinos inmediatos en una cuadrícula rectangular
• Métodos de diferencias finitas para la ecuación de calor y ecuaciones diferenciales parciales relacionadas:
  • Esquema FTCS (espacio central de tiempo adelantado): explícito de primer orden
  • Método de Crank-Nicolson : implícito de segundo orden
• Métodos de diferencias finitas para ecuaciones diferenciales hiperbólicas como la ecuación de onda:
  • Método de Lax-Friedrichs : explícito de primer orden
  • Método de Lax-Wendroff : explícito de segundo orden
  • Método MacCormack : explícito de segundo orden
  • Esquema de ceñida
    • Esquema de diferenciación en contra del viento para convección : esquema de primer orden para problemas de convección-difusión
  • Teorema de Lax-Wendroff : esquema conservador para un sistema hiperbólico de leyes de conservación que converge a la solución débil
• Método implícito de dirección alternada (ADI): actualización utilizando el flujo en la dirección x y luego utilizando el flujo en la dirección y
• Esquema de diferencias finitas no estándar
• Aplicaciones específicas:
  • Métodos de diferencias finitas para la determinación del precio de opciones
  • Método de diferencias finitas en el dominio del tiempo : un método de diferencias finitas para la electrodinámica

Método de elementos finitos — basado en una discretización del espacio de soluciones Método de discretización de gradiente — basado tanto en la discretización de la solución como de su gradiente

• Método de elementos finitos en mecánica estructural : un enfoque físico a los métodos de elementos finitos
• Método de Galerkin : un método de elementos finitos en el que el residuo es ortogonal al espacio de elementos finitos.
  • Método de Galerkin discontinuo : un método de Galerkin en el que la solución aproximada no es continua.
• Método Rayleigh-Ritz : un método de elementos finitos basado en principios variacionales
• Método de elementos espectrales : métodos de elementos finitos de orden superior
• hp-FEM : variante en la que tanto el tamaño como el orden de los elementos se adaptan automáticamente
• Ejemplos de elementos finitos:
  • Elemento cuadrilátero bilineal , también conocido como elemento Q4
  • Elemento triangular de deformación constante (CST), también conocido como elemento T3
  • Elemento cuadrilátero cuadrático , también conocido como elemento Q8
  • Elementos de Barsoum
• Método de rigidez directa : una implementación particular del método de elementos finitos, que se utiliza a menudo en el análisis estructural.
• Método de Trefftz
• Actualización de elementos finitos
• Método de elementos finitos extendido : coloca funciones adaptadas al problema en el espacio de aproximación
• Elementos clasificados funcionalmente : elementos para describir materiales clasificados funcionalmente
• Superelemento : agrupación particular de elementos finitos, empleados como un solo elemento.
• Método de elementos finitos de intervalo : combinación de elementos finitos con aritmética de intervalo
• Cálculo exterior discreto : forma discreta del cálculo exterior de la geometría diferencial
• Análisis modal mediante FEM : solución de problemas de valores propios para encontrar vibraciones naturales
• Lema de Céa : la solución en el espacio de elementos finitos es una aproximación casi óptima en ese espacio de la solución verdadera
• Prueba de parche (elementos finitos) : prueba simple para la calidad de un elemento finito
• MAFELAP (Matemáticas de elementos finitos y aplicaciones): conferencia internacional celebrada en la Universidad Brunel
• NAFEMS: organización sin fines de lucro que establece y mantiene estándares en análisis de ingeniería asistido por computadora.
• Optimización de topología multifásica : técnica basada en elementos finitos para determinar la composición óptima de una mezcla
• Elemento finito de intervalo
• Método de elementos aplicados : para simulación de grietas y colapso estructural
• Método de Wood-Armer : método de análisis estructural basado en elementos finitos utilizado para diseñar armaduras para losas de hormigón
• Análisis isogeométrico : integra elementos finitos en herramientas de diseño CAD convencionales basadas en NURBS
• Iteración de Loubignac
• Matriz de rigidez : análogo de dimensión finita del operador diferencial
• Combinación con métodos sin malla:
  • Forma débil debilitada : forma de una EDP que es más débil que la forma débil estándar
  • Espacio G: espacio funcional utilizado para formular la forma débil debilitada
  • Método de elementos finitos suavizados
• Método multiescala variacional
• Lista de paquetes de software de elementos finitos

• Método espectral —basado en la transformación de Fourier
  • Método pseudoespectral
• Método de líneas : reduce la EDP a un gran sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias
• Método de elementos de contorno (BEM): basado en la transformación de la EDP en una ecuación integral en el límite del dominio
  • Método de elementos de contorno de intervalo : una versión que utiliza aritmética de intervalo
• Método de elementos analíticos : similar al método de elementos límite, pero la ecuación integral se evalúa analíticamente
• Método de volumen finito : basado en dividir el dominio en muchos dominios pequeños; popular en dinámica de fluidos computacional
  • Esquema de Godunov : esquema conservativo de primer orden para el flujo de fluidos, basado en una aproximación constante por partes
  • Esquema MUSCL : variante de segundo orden del esquema de Godunov
  • AUSM — método de división ascendente por convección
  • Limitador de flujo : limita las derivadas espaciales (flujos) para evitar oscilaciones espurias
  • Solucionador de Riemann : un solucionador de problemas de Riemann (una ley de conservación con datos constantes por partes)
  • Propiedades de los esquemas de discretización: los métodos de volumen finito pueden ser conservadores, acotados, etc.
• Método de elementos discretos : un método en el que los elementos pueden moverse libremente entre sí.
  • Método de elementos discretos extendido : agrega propiedades como la tensión a cada partícula
  • Autómata celular móvil : combinación de autómatas celulares con elementos discretos
• Métodos sin malla : no utilizan una malla, sino una vista de partículas del campo
  • Método de mínimos cuadrados discretos sin malla , basado en la minimización de la suma ponderada de los residuos al cuadrado
  • Método de elementos difusos
  • Método de puntos finitos : representar el continuo mediante una nube de puntos
  • Método semi-implícito de partículas en movimiento
  • Método de soluciones fundamentales (MFS): representa la solución como una combinación lineal de soluciones fundamentales
  • Variantes de MFS con puntos de origen en el límite físico:
    • Método del nudo delimitador (BKM)
    • Método de partículas límite (BPM)
    • Método regularizado sin malla (RMM)
    • Método de límites singulares (SBM)
• Métodos diseñados para problemas del electromagnetismo:
  • Método de dominio del tiempo de diferencias finitas : un método de diferencias finitas
  • Análisis riguroso de ondas acopladas : método semianalítico del espacio de Fourier basado en el teorema de Floquet
  • Método de matriz de líneas de transmisión (TLM): basado en la analogía entre el campo electromagnético y la malla de líneas de transmisión
  • Teoría uniforme de difracción : diseñada específicamente para problemas de dispersión
• Partícula en celda : se utiliza especialmente en dinámica de fluidos
  • Método de partículas en celdas multifásicas : considera las partículas sólidas como partículas numéricas y partículas fluidas.
• Esquema de alta resolución
• Método de captura de impactos
• Confinamiento de vorticidad : para flujos dominados por vórtices en dinámica de fluidos, similar a la captura de choques
• Método de pasos divididos
• Método de marcha rápida
• Colocación ortogonal
• Métodos de Boltzmann en red : para la solución de las ecuaciones de Navier-Stokes
• Solucionador de Roe : para la solución de la ecuación de Euler
• Relajación (método iterativo) : un método para resolver ecuaciones diferenciales parciales elípticas convirtiéndolas en ecuaciones de evolución.
• Amplias clases de métodos:
  • Métodos miméticos : métodos que respetan en algún sentido la estructura del problema original.
  • Multifísica : modelos que constan de varios submodelos con diferentes físicas
  • Método de límite inmerso : para simular estructuras elásticas sumergidas en fluidos
• Integrador multisimpléctico : extensión de los integradores simplécticos, que son para ecuaciones diferenciales ordinarias.
• Método de cuadrícula estirada : para solucionar problemas que puedan relacionarse con el comportamiento de una cuadrícula elástica.

• Método de múltiples mallas : utiliza una jerarquía de mallas anidadas para acelerar los métodos
• Métodos de descomposición de dominios : divide el dominio en algunos subdominios y resuelve la PDE en estos subdominios
  • Método aditivo de Schwarz
  • Método aditivo de Schwarz abstracto : versión abstracta del método aditivo de Schwarz sin referencia a información geométrica
  • Método de descomposición del dominio de equilibrio (BDD): preacondicionador para matrices definidas positivas simétricas
  • Descomposición del dominio de equilibrio por restricciones (BDDC): mayor desarrollo de BDD
  • Desgarro e interconexión de elementos finitos (FETI)
  • FETI-DP : desarrollo posterior de FETI
  • Método de dominio ficticio : preacondicionador construido con una malla estructurada en un dominio ficticio de forma simple
  • Métodos de mortero : las mallas en el subdominio no se engranan
  • Método de Neumann-Dirichlet : combina el problema de Neumann en un subdominio con el problema de Dirichlet en otro subdominio
  • Métodos de Neumann-Neumann : métodos de descomposición de dominios que utilizan problemas de Neumann en los subdominios
  • Operador de Poincaré-Steklov : asigna el campo eléctrico tangencial a la corriente eléctrica equivalente
  • Método del complemento de Schur : método básico y temprano sobre subdominios que no se superponen
  • Método alterno de Schwarz : método básico y temprano sobre subdominios que se superponen
• Espacio grueso : variante del problema que utiliza una discretización con menos grados de libertad.
• Refinamiento de malla adaptativo : utiliza la solución calculada para refinar la malla solo cuando es necesario
• Método multipolar rápido : método jerárquico para evaluar interacciones entre partículas
• Capa perfectamente adaptada : capa absorbente artificial para ecuaciones de onda, utilizada para implementar condiciones de contorno absorbentes

• Clasificación de mallas / Tipos de mallas :
  • Malla poligonal : consta de polígonos en 2D o 3D
  • Malla triangular : consta de triángulos en 2D o 3D
    • Triangulación (geometría) : subdivisión de una región determinada en triángulos o un análogo de dimensión superior.
    • Malla no obtusa : malla en la que todos los ángulos son menores o iguales a 90°
    • Triangulación de puntos : malla de triángulos en la que un conjunto dado de puntos son todos vértices de un triángulo
    • Triangulación de polígonos : malla de triángulos dentro de un polígono
    • Triangulación de Delaunay : triangulación en la que ningún vértice está dentro del circuncentro de un triángulo.
    • Triangulación de Delaunay restringida : generalización de la triangulación de Delaunay que fuerza ciertos segmentos requeridos en la triangulación.
    • Triangulación de Pitteway : para cualquier punto, el triángulo que lo contiene tiene como vértice el vecino más cercano del punto.
    • Triangulación de peso mínimo : triangulación de la longitud mínima total del borde
    • Triangulación cinética : una triangulación que se mueve a lo largo del tiempo.
    • Red irregular triangulada
    • Cuasi-triangulación : subdivisión en símplices, donde los vértices no son puntos sino segmentos de línea con pendiente arbitraria.
  • Malla de volumen : consta de formas tridimensionales
  • Cuadrícula regular : consta de paralelogramos congruentes o análogos de dimensiones superiores.
  • Cuadrícula no estructurada
  • Cuadrícula geodésica : cuadrícula isótropa sobre una esfera
• Generación de malla
  • Mallado basado en imágenes : procedimiento automático de generación de mallas a partir de datos de imágenes 3D
  • Cubos de marcha : extrae una malla poligonal de un campo escalar
  • Generación de malla paralela
  • Algoritmo de Ruppert : crea una triangularización de Delauney de calidad a partir de datos lineales por partes
• Subdivisiones:
• Red apolínea : gráfico no dirigido formado al subdividir recursivamente un triángulo
• Subdivisión baricéntrica : forma estándar de dividir polígonos convexos arbitrarios en triángulos, o su análogo de mayor dimensión.
• Mejorar una malla existente:
  • Segundo algoritmo de Chew : mejora la triangularización de Delauney al refinar triángulos de baja calidad
  • Suavizado laplaciano : mejora las mallas polinómicas al mover los vértices
• Algoritmo de salto y caminata : para encontrar un triángulo en una malla que contiene un punto determinado
• Continuum de torsión espacial : representación dual de una malla formada por hexaedros
• Pseudotriángulo : región simplemente conectada entre tres conjuntos convexos tangentes entre sí
• Complejo simple : todos los vértices, segmentos de línea, triángulos, tetraedros, ..., que forman una malla

• Teorema de equivalencia laxa : un método consistente es convergente si y solo si es estable
• Condición de Courant-Friedrichs-Lewy : condición de estabilidad para ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas
• Análisis de estabilidad de von Neumann : todos los componentes de Fourier del error deben ser estables
• Difusión numérica : difusión introducida por el método numérico, por encima de la que está presente de forma natural.
  • Falsa difusión
• Dispersión numérica
• Resistividad numérica : lo mismo, con resistividad en lugar de difusión
• Formulación débil : una reformulación analítico-funcional de la EDP necesaria para algunos métodos
• Variación total decreciente : propiedad de los esquemas que no introducen oscilaciones espurias
• Teorema de Godunov : los esquemas lineales monótonos solo pueden ser de primer orden
• Problema de Motz : problema de referencia para problemas de singularidad

• Variantes del método Monte Carlo:
  • Simulación directa Monte Carlo
  • Método cuasi-Monte Carlo
  • Cadena de Markov Monte Carlo
    • Algoritmo Metropolis-Hastings
      • Metropolis de múltiples intentos : modificación que permite tamaños de paso más grandes
      • Algoritmo de Wang y Landau : extensión de Metropolis Monte Carlo
      • Cálculos de ecuaciones de estado mediante máquinas de computación rápidas : artículo de 1953 que propone el algoritmo Metropolis Monte Carlo
      • Conjunto multicanónico : técnica de muestreo que utiliza Metropolis-Hastings para calcular integrales
    • Muestreo de Gibbs
    • Acoplamiento del pasado
    • Cadena de Markov con salto reversible, método Monte Carlo
  • Método dinámico de Monte Carlo
    • Monte Carlo cinético
    • Algoritmo de Gillespie
  • Filtro de partículas
    • Filtro auxiliar de partículas
  • Monte Carlo inverso
  • Algoritmo del demonio
• Muestreo de números pseudoaleatorios
  • Muestreo por transformada inversa : método general y sencillo, pero computacionalmente costoso
  • Muestreo de rechazo : toma una muestra de una distribución más simple pero rechaza algunas de las muestras
    • Algoritmo Ziggurat : utiliza una tabla precalculada que cubre la distribución de probabilidad con segmentos rectangulares.
  • Para el muestreo de una distribución normal:
    • Transformada de Box-Muller
    • Método polar de Marsaglia
  • Generador de números aleatorios por convolución : genera una variable aleatoria como una suma de otras variables aleatorias
  • Búsqueda indexada
• Técnicas de reducción de varianza :
  • Variantes antitéticas
  • Variantes de control
  • Muestreo de importancia
  • Muestreo estratificado
  • Algoritmo VEGAS
• Secuencia de baja discrepancia
  • Construcciones de secuencias de baja discrepancia
• Generador de eventos
• Templado paralelo
• Muestreo con paraguas : mejora el muestreo en sistemas físicos con barreras energéticas significativas
• Montecarlo híbrido
• Filtro Kalman de conjunto : filtro recursivo adecuado para problemas con una gran cantidad de variables
• Muestreo de trayectoria de transición
• Método de caminar sobre esferas : para generar puntos de salida del movimiento browniano a partir de dominios acotados
• Aplicaciones:
  • Pronóstico de conjunto : produce múltiples predicciones numéricas a partir de condiciones o parámetros ligeramente iniciales
  • Modelo de fluctuación de enlaces : para simular la conformación y la dinámica de los sistemas poliméricos
  • Filtrado iterado
  • Transporte ligero Metropolis
  • Localización de Monte Carlo : estima la posición y orientación de un robot
  • Métodos de Monte Carlo para el transporte de electrones
  • Método de Monte Carlo para el transporte de fotones
  • Métodos de Monte Carlo en finanzas
    • Métodos de Monte Carlo para la determinación del precio de las opciones
    • Métodos cuasi-Monte Carlo en finanzas
  • Modelado molecular de Monte Carlo
    • Dinámica molecular de integrales de trayectorias : incorpora integrales de trayectorias de Feynman
  • Montecarlo cuántico
    • Difusión Monte Carlo : utiliza una función de Green para resolver la ecuación de Schrödinger
    • Monte Carlo cuántico gaussiano
    • Ruta integral de Monte Carlo
    • Reptación Monte Carlo
    • Monte Carlo variacional
  • Métodos para simular el modelo de Ising:
    • Algoritmo de Swendsen-Wang : toda la muestra se divide en grupos de espín igual
    • Algoritmo de Wolff : mejora del algoritmo de Swendsen-Wang
    • Algoritmo Metropolis-Hastings
  • Campo auxiliar Monte Carlo : calcula promedios de operadores en problemas mecánicos cuánticos de muchos cuerpos
  • Método de entropía cruzada : para optimización multiextrema y muestreo de importancia
• Vea también la lista de temas de estadísticas

• Física computacional
  • Electromagnetismo computacional
  • Dinámica de fluidos computacional (CFD)
    • Métodos numéricos en mecánica de fluidos
    • Simulación de grandes remolinos
    • Hidrodinámica de partículas suavizadas
    • Analogía aeroacústica : se utiliza en aeroacústica numérica para reducir las fuentes de sonido a tipos de emisores simples.
    • Método lagrangiano euleriano estocástico : utiliza la descripción euleriana para fluidos y lagrangiana para estructuras
    • Modelo de estrés algebraico explícito
  • Magnetohidrodinámica computacional (CMHD): estudia fluidos conductores de electricidad
  • Modelo climático
  • Predicción numérica del tiempo
    • Cuadrícula geodésica
  • Mecánica celeste
    • Modelo numérico del Sistema Solar
  • Método de salto cuántico : se utiliza para simular sistemas cuánticos abiertos y funciona con una función de onda.
  • Método de análisis de diseño dinámico (DDAM): para evaluar el efecto de las explosiones submarinas en los equipos
• Química computacional
  • Listas de celdas
  • Clúster acoplado
  • Teoría del funcional de la densidad
  • DIIS — inversión directa en (o del) subespacio iterativo
• Sociología computacional
• Estadísticas computacionales

Para obtener una lista grande de software, consulte la lista de software de análisis numérico .

• Acta Numérica
• Matemáticas de la computación (publicado por la Sociedad Americana de Matemáticas )
• Revista de Matemáticas Computacionales y Aplicadas
• Matemática numérica BIT
• Matemática numérica
• Revistas de la Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas
  • Revista SIAM sobre análisis numérico
  • Revista SIAM sobre computación científica

• Moler Cleve
• Gene H. Golub
• James H. Wilkinson
• Margaret H. Wright
• Nicolás J. Higham
• Nick Trefethen
• Pedro Lax
• Richard S. Vargas
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