Continuación numérica

La continuación numérica es un método para calcular soluciones aproximadas de un sistema de ecuaciones no lineales parametrizadas,

F(\mathbf {u} ,\lambda )=0.

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El parámetro $\lambda$ suele ser un escalar real y la solución $\mathbf {u}$ es un vector de n elementos . Para un valor de parámetro fijo $\lambda$ , ${\textstyle F(\cdot,\lambda)}$ mapea el espacio euclidiano n-dimensional en sí mismo.

A menudo, el mapeo original $F$ es de un espacio de Banach en sí mismo, y el espacio euclidiano n- dimensional es un espacio de Banach de dimensión finita.

Un estado estacionario , o punto fijo , de una familia parametrizada de flujos o mapas tiene esta forma, y al discretizar trayectorias de un flujo o iterar un mapa, las órbitas periódicas y las órbitas heteroclínicas también pueden plantearse como una solución de $F=0$ .

Otras formas

En algunos sistemas no lineales, los parámetros son explícitos. En otros son implícitos, y el sistema de ecuaciones no lineales se escribe

F(\mathbf {u} )=0

dónde $\mathbf {u}$ es un vector de n elementos y su imagen $F(\mathbf {u} )$ es un vector n − 1.

Esta formulación, sin un espacio de parámetros explícito , no suele ser adecuada para las formulaciones de las siguientes secciones, ya que se refieren a sistemas dinámicos no lineales autónomos parametrizados de la forma:

\mathbf {u} '=F(\mathbf {u} ,\lambda ).

Sin embargo, en un sistema algebraico no hay distinción entre incógnitas. $\mathbf {u}$ y los parámetros.

Movimientos periódicos

Un movimiento periódico es una curva cerrada en el espacio de fases. Es decir, durante algún período $T$ ,

\mathbf {u} '=F(\mathbf {u} ,\lambda ),\,\mathbf {u} (0)=\mathbf {u} (T).

El ejemplo clásico de movimiento periódico es el péndulo sin amortiguación .

Si el espacio de fases es periódico en una o más coordenadas, por ejemplo $\mathbf {u} (t)=\mathbf {u} (t+\Omega )$ , con $\Omega$ un vector , entonces hay un segundo tipo de movimientos periódicos definidos por

\mathbf {u} '=\mathbf {F} (\mathbf {u} ,\lambda ),\,\mathbf {u} (0)=\mathbf {u} (T+N.\Omega )

para cada entero $N$ .

El primer paso para escribir un sistema implícito para un movimiento periódico es mover el período. $T$ De las condiciones de contorno a la EDO :

\mathbf {u} '=T\mathbf {F} (\mathbf {u} ,\lambda ),\,\mathbf {u} (0)=\mathbf {u} (1+N.\Omega ).

El segundo paso consiste en añadir una ecuación adicional, una restricción de fase , que puede interpretarse como la que determina el período. Esto es necesario porque cualquier solución del problema de contorno anterior puede desplazarse en el tiempo una cantidad arbitraria (el tiempo no aparece en las ecuaciones de definición; el sistema dinámico se denomina autónomo).

Existen varias opciones para la restricción de fase. Si $\mathbf {u} _{0}(t)$ es una órbita periódica conocida en un valor de parámetro $\lambda _{0}$ cerca $\lambda$ , entonces, Poincaré usó

\langle \mathbf {u} (0)-\mathbf {u} _{0}(0),\mathbf {F} (\mathbf {u} _{0}(0),\lambda _{0})\rangle =0.

que afirma que $\mathbf {u}$ se encuentra en un plano ortogonal al vector tangente de la curva cerrada. Este plano se llama sección de Poincaré .

Para un problema general, una mejor restricción de fase es una restricción integral introducida por Eusebius Doedel, que elige la fase de manera que se minimice la distancia entre las órbitas conocidas y desconocidas:

\int _{0}^{1}\langle \mathbf {u} (t)-\mathbf {u} _{0}(t),\mathbf {F} (\mathbf {u} _{0}(t),\lambda _{0})\rangle dt=0.

Movimientos homoclinicos y heteroclinicos

Definiciones

Componente de la solución

Un componente de la solución $\Gamma (\mathbf {u} _{0},\lambda _{0})$ del sistema no lineal $F$ es un conjunto de puntos $(\mathbf {u},\lambda)$ que satisfacen $F(\mathbf {u} ,\lambda )=0$ y están conectados a la solución inicial ${\ Displaystyle (\ mathbf {u} _ {0}, \ lambda _ {0})}$ por un camino de soluciones $(\mathbf {u} (s),\lambda (s))$ para qué $(\mathbf {u} (0),\lambda (0))=(\mathbf {u} _{0},\lambda _ {0}),\,(\mathbf {u} (1),\lambda (1))=(\mathbf {u} ,\lambda )$ y $F(\mathbf {u} (s),\lambda (s))=0$ .

Continuación numérica

Una continuación numérica es un algoritmo que toma como entrada un sistema de ecuaciones no lineales parametrizadas y una solución inicial. ${\ Displaystyle (\ mathbf {u} _ {0}, \ lambda _ {0})}$ , ${\ Displaystyle F (\ mathbf {u} _ {0}, \ lambda _ {0}) = 0}$ y produce un conjunto de puntos en el componente de la solución. $\Gamma (\mathbf {u} _{0},\lambda _{0})$ .

Punto regular

Un punto regular de $F$ es un punto $(\mathbf {u},\lambda)$ en el cual el jacobino de $F$ es rango completo $(n)$ .

Cerca de un punto regular, el componente de la solución es una curva aislada que pasa por el punto regular (el teorema de la función implícita ). En la figura anterior, el punto ${\ Displaystyle (\ mathbf {u} _ {0}, \ lambda _ {0})}$ Es un punto habitual.

Punto singular

Un punto singular de $F$ es un punto $(\mathbf {u},\lambda)$ en el que el jacobiano de F no tiene rango completo.

Cerca de un punto singular, el componente de la solución puede no ser una curva aislada que pasa por el punto regular. La estructura local está determinada por derivadas de orden superior de $F$ En la figura anterior, el punto donde se cruzan las dos curvas azules es un punto singular.

En general, los componentes de la solución $\Gamma$ son curvas ramificadas . Los puntos de ramificación son puntos singulares. Encontrar las curvas solución que parten de un punto singular se llama cambio de rama y utiliza técnicas de la teoría de bifurcación ( teoría de singularidades , teoría de catástrofes ).

Para sistemas de dimensión finita (como se definió anteriormente), la descomposición de Lyapunov-Schmidt puede utilizarse para generar dos sistemas a los que se aplica el Teorema de la Función Implícita. La descomposición de Lyapunov-Schmidt utiliza la restricción del sistema al complemento del espacio nulo del jacobiano y a la imagen del jacobiano.

Si las columnas de la matriz $\Phi$ son una base ortonormal para el espacio nulo de

J=\left[{\begin{array}{cc}F_{x}&F_{\lambda }\\\end{array}}\right]

y las columnas de la matriz $\Psi$ son una base ortonormal para el espacio nulo izquierdo de $J$ , entonces el sistema $F(x,\lambda )=0$ puede reescribirse como

\left[{\begin{array}{l}(I-\Psi \Psi ^{T})F(x+\Phi \xi +\eta )\\\Psi ^{T}F(x+\Phi \xi +\eta )\\\end{array}}\right]=0,

dónde $\eta$ está en el complemento del espacio nulo de $J$ $(\Phi ^{T}\,\eta =0)$ .

En la primera ecuación, que está parametrizada por el espacio nulo del jacobiano ( $\xi$ ), el jacobiano con respecto a $\eta$ es no singular. Por lo tanto, el teorema de la función implícita establece que existe una aplicación $\eta (\xi )$ de tal manera que $\eta (0)=0$ y $(I-\Psi \Psi ^{T})F(x+\Phi \xi +\eta (\xi ))=0)$ . La segunda ecuación (con $\eta (\xi )$ (sustituida) se denomina ecuación de bifurcación (aunque puede ser un sistema de ecuaciones).

La ecuación de bifurcación posee un desarrollo de Taylor que carece de términos constantes y lineales. Al escalar las ecuaciones y el espacio nulo del jacobiano del sistema original, se puede obtener un sistema con un jacobiano no singular. El término constante en la serie de Taylor de la ecuación de bifurcación escalada se denomina ecuación de bifurcación algebraica, y el teorema de la función implícita aplicado a las ecuaciones de bifurcación establece que, para cada solución aislada de la ecuación de bifurcación algebraica, existe una rama de soluciones del problema original que pasa por el punto singular.

Otro tipo de punto singular es una bifurcación de punto de inflexión , o bifurcación de nodo de silla , donde la dirección del parámetro $\lambda$ La tendencia se invierte al seguir la curva. La curva roja en la figura anterior ilustra un punto de inflexión.

Algoritmos particulares

continuación de parámetros naturales

La mayoría de los métodos de solución de sistemas de ecuaciones no lineales son métodos iterativos . Para un valor de parámetro particular $\lambda _{0}$ Se aplica repetidamente un mapeo a una suposición inicial. $\mathbf {u} _{0}$ . Si el método converge y es consistente, entonces en el límite la iteración se aproxima a una solución de $F(\mathbf {u} ,\lambda _{0})=0$ .

La continuación de parámetros naturales es una adaptación muy simple del solucionador iterativo a un problema parametrizado. La solución en un valor de $\lambda$ se utiliza como estimación inicial para la solución en $\lambda +\Delta \lambda$ . Con $\Delta \lambda$ Si la iteración aplicada a la estimación inicial es suficientemente pequeña, debería converger.

Una ventaja de la continuación de parámetros naturales es que utiliza el método de solución del problema como una caja negra. Lo único que se requiere es que se proporcione una solución inicial (algunos solucionadores solían comenzar siempre con una estimación inicial fija). Se ha trabajado mucho en el área de la continuación a gran escala aplicando algoritmos más sofisticados a solucionadores de caja negra (véase, por ejemplo, LOCA ).

Sin embargo, la continuación de parámetros naturales falla en los puntos de inflexión, donde la rama de soluciones cambia de dirección. Por lo tanto, para problemas con puntos de inflexión, debe utilizarse un método más sofisticado, como la continuación de pseudo-longitud de arco (véase más abajo).

Continuación simplicial o lineal por partes

La continuación simplicial, o continuación lineal por partes (Allgower y Georg), se basa en tres resultados básicos.

El primero es

El segundo resultado es:

Para obtener más detalles, consulte el artículo sobre continuación lineal por partes .

Con estas dos operaciones, este algoritmo de continuación es fácil de enunciar (aunque, por supuesto, una implementación eficiente requiere un enfoque más sofisticado. Véase [B1]). Se supone que se da un simplex inicial, a partir de una descomposición simplicial de referencia de $\mathbb {R} ^{n}$ El simplex inicial debe tener al menos una cara que contenga un cero del único interpolante lineal en esa cara. A continuación, se comprueban las demás caras del simplex y, por lo general, habrá una cara adicional con un cero interno. El simplex inicial se reemplaza entonces por el simplex que abarca cualquiera de las caras que contienen cero, y el proceso se repite.

Referencias: Allgower y Georg [B1] proporcionan una descripción clara y concisa del algoritmo.

Continuación de pseudo-longitud de arco

Este método se basa en la observación de que la parametrización "ideal" de una curva es la longitud de arco. La pseudo-longitud de arco es una aproximación de la longitud de arco en el espacio tangente de la curva. El método de continuación natural modificado resultante realiza un paso en la pseudo-longitud de arco (en lugar de $\lambda$ ). El solucionador iterativo debe encontrar un punto en la pseudo-longitud de arco dada, lo que requiere agregar una restricción adicional (la restricción de pseudo-longitud de arco) a la $n$ por $n+1$ Jacobiano. Produce un jacobiano cuadrado, y si el tamaño del paso es suficientemente pequeño, el jacobiano modificado es de rango completo.

La continuación de pseudo-longitud de arco fue desarrollada independientemente por Edward Riks y Gerald Wempner para aplicaciones de elementos finitos a finales de la década de 1960, y publicada en revistas a principios de la década de 1970 por H.B. Keller. Una descripción detallada de estos primeros desarrollos se encuentra en el libro de texto de M.A. Crisfield: Análisis no lineal de elementos finitos de sólidos y estructuras, vol. 1: Conceptos básicos, Wiley, 1991. Crisfield fue uno de los desarrolladores más activos de esta clase de métodos, que actualmente son procedimientos estándar en programas comerciales de elementos finitos no lineales.

El algoritmo es un método predictor-corrector. El paso de predicción encuentra el punto $(u,\lambda )=(u_{0},\lambda _{0})+\Delta s\cdot ({\dot {u}}_{0},{\dot {\lambda }}_{0})$ (en $\mathbb {R} ^{n+1}$ ) que es un paso de tamaño $\Delta s$ a lo largo del vector tangente $({\dot {u}}_{0},{\dot {\lambda }}_{0})$ La predicción se corrige buscando en la dirección transversal al vector tangente. Por lo general, se utiliza el método de Newton para resolver el sistema no lineal.

{\begin{array}{l}F(u,\lambda )=0\\{\dot {u}}_{0}(u-u_{0})+{\dot {\lambda }}_{0}(\lambda -\lambda _{0})=\Delta s\\\end{array}}

con la suposición inicial $(u,\lambda )=(u_{0},\lambda _{0})+\Delta s\cdot ({\dot {u}}_{0},{\dot {\lambda }}_{0})$ El jacobiano de este sistema es la matriz bordeada

\left[{\begin{array}{cc}F_{u}&F_{\lambda }\\{\dot {u}}^{*}&{\dot {\lambda }}\\\end{array}}\right]

En puntos regulares, donde el jacobiano sin modificar tiene rango completo, el vector tangente abarca el espacio nulo de la última fila de este nuevo jacobiano. Añadir el vector tangente como última fila puede interpretarse como la determinación del coeficiente del vector nulo en la solución general del sistema de Newton (solución particular más un múltiplo arbitrario del vector nulo).

continuación de Gauss-Newton

Este método es una variante de la continuación de pseudo-longitud de arco. En lugar de usar la tangente en el punto inicial de la restricción de longitud de arco, se usa la tangente en la solución actual. Esto es equivalente a usar la pseudoinversa del jacobiano en el método de Newton y permite realizar pasos más largos. [B17]

Continuación en más de un parámetro

El parámetro $\lambda$ En los algoritmos descritos anteriormente, es un escalar real. La mayoría de los problemas físicos y de diseño generalmente tienen muchos más de un parámetro. La continuación de dimensiones superiores se refiere al caso en que $\lambda$ es un k-vector.

Se aplica la misma terminología. Una solución regular es aquella en la que el jacobiano tiene rango completo. $(n)$ Una solución singular es aquella en la que el jacobiano es menor que el rango completo.

Una solución regular se encuentra en una superficie k-dimensional, la cual puede parametrizarse mediante un punto en el espacio tangente (el espacio nulo del jacobiano). Esto constituye, una vez más, una aplicación directa del Teorema de la Función Implícita.

Aplicaciones de técnicas de continuación numérica

Las técnicas de continuación numérica han tenido una gran aceptación en el estudio de sistemas dinámicos caóticos y otros sistemas pertenecientes al ámbito de la teoría de catástrofes . Esto se debe a que diversos sistemas dinámicos no lineales se comportan de manera determinista y predecible dentro de un rango de parámetros incluidos en sus ecuaciones. Sin embargo, para un determinado valor de un parámetro, el sistema comienza a comportarse de forma caótica, por lo que resulta necesario analizar dicho parámetro para poder descifrar cuándo el sistema deja de ser predecible y qué es exactamente (teóricamente) lo que lo vuelve inestable.

El análisis de la continuación de parámetros puede proporcionar una mayor comprensión de las bifurcaciones de puntos estables/críticos. El estudio de las bifurcaciones de silla-nodo, transcríticas, de horquilla, de duplicación de período, de Hopf y de Hopf secundarias (Neimark) de soluciones estables permite un análisis teórico de las circunstancias y los sucesos que surgen en los puntos críticos. La continuación de parámetros también ofrece un sistema más fiable para analizar un sistema dinámico, ya que es más estable que las soluciones numéricas interactivas con pasos de tiempo. Esto es especialmente útil en casos donde el sistema dinámico tiende a divergir en ciertos valores de parámetros (o combinaciones de valores para múltiples parámetros). ^{[ 2 ]}

Resulta sumamente esclarecedor el estudio de ecuaciones diferenciales no lineales, donde la discretización temporal mediante el algoritmo de Crank-Nicolson es extremadamente lenta e inestable en casos de crecimiento no lineal de las variables dependientes del sistema. El estudio de la turbulencia es otro campo donde se han utilizado técnicas de continuación numérica para estudiar la aparición de turbulencia en un sistema que comienza con números de Reynolds bajos. Asimismo, la investigación que utiliza estas técnicas ha permitido encontrar variedades estables y bifurcaciones a toros invariantes en el caso del problema restringido de tres cuerpos en la gravedad newtoniana, y también ha proporcionado información interesante y profunda sobre el comportamiento de sistemas como las ecuaciones de Lorenz .

Software

(En construcción) Véase también la lista del Grupo de Actividad de SIAM sobre Sistemas Dinámicos http://www.dynamicalsystems.org/sw/sw/

AUTO: Cálculo de soluciones para problemas de contorno de dos puntos (TPBVP) con restricciones integrales. https://sourceforge.net/projects/auto-07p/ Disponible en SourceForge.
HOMCONT: Cálculo de órbitas homoclinas y heteroclinas. Incluido en AUTO
MATCENT: Caja de herramientas de Matlab para continuación numérica y bifurcación.Disponible en SourceForge.
DDEBIFTOOL: Cálculo de soluciones de ecuaciones diferenciales con retardo. Un paquete de MATLAB. Disponible en KU Leuven.
PyCont: Una caja de herramientas de Python para continuación numérica y bifurcación. Algoritmos nativos de Python para continuación de punto fijo, interfaz sofisticada para AUTO para otros tipos de problemas. Incluido como parte de PyDSTool.
CANDYS/QA: Disponible en la Universidad de Potsdam [A16]
MANPAK: Disponible en Netlib [A15]
PDDE-CONT: http://seis.bris.ac.uk/~rs1909/pdde/
multifario: http://multifario.sourceforge.net/
LOCA: https://trilinos.org/packages/nox-and-loca/
Herramienta DS
GAIO
OSCILL8: Oscill8 es una herramienta de sistemas dinámicos que permite al usuario explorar el espacio de parámetros de alta dimensión de ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales mediante técnicas analíticas de bifurcación. Disponible en SourceForge .
MANLAB : Cálculo de soluciones de equilibrio, periódicas y cuasiperiódicas de ecuaciones diferenciales mediante el desarrollo de la solución mediante series de Fourier ( método de balance armónico ) y el desarrollo de la rama de la solución mediante series de Taylor (método numérico asintótico). Disponible en LMA Marseille.
BifurcationKit.jl : Este paquete de Julia tiene como objetivo realizar un análisis automático de bifurcación de ecuaciones de gran dimensión $F(u,λ)=0$ donde $\lambda \in \mathbb {R}$ aprovechando métodos iterativos, formulación dispersa y hardware específico (por ejemplo, GPU).
COCO: Núcleo y herramientas de continuación. Plataforma de desarrollo y herramientas para la continuación de parámetros, por ejemplo, análisis de bifurcación de sistemas dinámicos y optimización de diseño con restricciones. Disponible en SourceForge.

Ejemplos

Este problema, de encontrar los puntos que F mapea en el origen, aparece en gráficos por computadora como los problemas de dibujar mapas de contorno (n=2) o isosuperficies (n=3). El contorno con valor h es el conjunto de todos los componentes de la solución de Fh=0.

Véase también

continuación de la homotopía

Referencias

↑ Introducción a los métodos de continuación numérica por Eugene L. Allgower y Kurt Georg, Universidad Estatal de Colorado, 1990
↑ Engelnkemper, S.; Gurevich, SV; Uecker, H.; Wetzel, D.; Thiele, U. (7 de julio de 2018). Modelado computacional de bifurcaciones e inestabilidades en dinámica de fluidos . Saltador. págs. 459– 501. arXiv : 1808.02321 . doi : 10.1007/978-3-319-91494-7_13 . ISBN 9783319914930.

Libros

[B1] " Introducción a los métodos de continuación numérica ", Eugene L. Allgower y Kurt Georg, SIAM Classics in Applied Mathematics 45. 2003.

[B2] " Métodos numéricos para bifurcaciones de equilibrios dinámicos ", Willy JF Govaerts, SIAM 2000.

[B3] " Métodos de Lyapunov-Schmidt en análisis no lineal y aplicaciones ", Nikolay Sidorov, Boris Loginov, Aleksandr Sinitsyn y Michail Falaleev, Kluwer Academic Publishers, 2002.

[B4] " Métodos de la teoría de la bifurcación ", Shui-Nee Chow y Jack K. Hale, Springer-Verlag 1982.

[B5] " Elementos de la teoría de bifurcación aplicada ", Yuri A. Kunetsov, Springer-Verlag Applied Mathematical Sciences 112, 1995.

[B6] "Oscilaciones no lineales, sistemas dinámicos y bifurcaciones de campos vectoriales", John Guckenheimer y Philip Holmes , Springer-Verlag Applied Mathematical Sciences 42, 1983.

[B7] " Teoría elemental de la estabilidad y la bifurcación ", Gerard Iooss y Daniel D. Joseph, Springer-Verlag Undergraduate Texts in Mathematics , 1980.

[B8] " Teoría de la singularidad y una introducción a la teoría de las catástrofes ", Yung-Chen Lu, Springer-Verlag, 1976.

[B9] " Bifurcaciones globales y caos, métodos analíticos ", S. Wiggins, Springer-Verlag Applied Mathematical Sciences 73, 1988.

[B10] " Singularidades y grupos en la teoría de bifurcaciones, volumen I ", Martin Golubitsky y David G. Schaeffer, Springer-Verlag Applied Mathematical Sciences 51, 1985.

[B11] " Singularidades y grupos en la teoría de bifurcaciones, volumen II ", Martin Golubitsky , Ian Stewart y David G. Schaeffer, Springer-Verlag Applied Mathematical Sciences 69, 1988.

[B12] " Resolución de sistemas polinomiales mediante continuación para problemas de ingeniería y científicos ", Alexander Morgan, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ 1987.

[B13] " Caminos hacia soluciones, puntos fijos y equilibrios ", CB Garcia y WI Zangwill, Prentice-Hall, 1981.

[B14] " El teorema de la función implícita: historia, teoría y aplicaciones ", Steven G. Krantz y Harold R. Parks , Birkhauser, 2002.

[B15] " Análisis funcional no lineal ", JT Schwartz, Gordon and Breach Science Publishers, Notes on Mathematics and its Applications, 1969.

[B16] " Temas de análisis funcional no lineal ", Louis Nirenberg (notas de Ralph A. Artino), AMS Courant Lecture Notes in Mathematics 6, 1974.

[B17] " Métodos de Newton para problemas no lineales: invariancia afín y algoritmos adaptativos ", P. Deuflhard, Serie Matemáticas Computacionales 35, Springer, 2006.

Artículos de revistas

[A1] " Un algoritmo para la aproximación lineal por partes de superficies bidimensionales definidas implícitamente ", Eugene L. Allgower y Stefan Gnutzmann, SIAM Journal on Numerical Analysis, Volumen 24, Número 2, 452—469, 1987.

[A2] " Métodos simpliciales y de continuación para aproximaciones, puntos fijos y soluciones a sistemas de ecuaciones ", EL Allgower y K. Georg, SIAM Review, Volumen 22, 28—85, 1980.

[A3] " Un algoritmo para la aproximación lineal por partes de una variedad definida implícitamente ", Eugene L. Allgower y Phillip H. Schmidt, SIAM Journal on Numerical Analysis, Volumen 22, Número 2, 322—346, abril de 1985.

[A4] " Trazado de contornos mediante aproximaciones lineales por partes ", David P. Dobkin , Silvio VF Levy, William P. Thurston y Allan R. Wilks, ACM Transactions on Graphics, 9(4) 389-423, 1990.

[A5] " Solución numérica de problemas de valores propios de bifurcación y no lineales ", HB Keller, en "Aplicaciones de la teoría de bifurcación", P. Rabinowitz ed., Academic Press, 1977.

[A6] " Un proceso de continuación parametrizado localmente ", WC Rheinboldt y JV Burkardt, ACM Transactions on Mathematical Software, Volumen 9, 236—246, 1983.

[A7] " Numéricos no lineales " E. Doedel, International Journal of Bifurcation and Chaos , 7(9):2127-2143, 1997.

[A8] " Computación no lineal ", R. Seydel, International Journal of Bifurcation and Chaos , 7(9):2105-2126, 1997.

[A9] " Sobre un algoritmo de marco móvil y la triangulación de variedades de equilibrio ", WC Rheinboldt, en T. Kuper, R. Seydel y H. Troger (eds.), "ISNM79: Bifurcación: análisis, algoritmos, aplicaciones", páginas 256-267. Birkhauser, 1987.

[A10] " Sobre el cálculo de variedades de soluciones multidimensionales de ecuaciones parametrizadas ", WC Rheinboldt, Numerishe Mathematik, 53, 1988, páginas 165-181.

[A11] " Sobre la aproximación simplicial de variedades bidimensionales definidas implícitamente ", ML Brodzik y WC Rheinboldt, Computers and Mathematics with Applications, 28(9): 9-21, 1994.

[A12] " El cálculo de aproximaciones simpliciales de p-variedades definidas implícitamente ", ML Brodzik, Computers and Mathematics with Applications, 36(6):93-113, 1998.

[A13] " Nuevo algoritmo para continuación numérica bidimensional ", R. Melville y DS Mackey, Computers and Mathematics with Applications, 30(1):31-46, 1995.

[A14] " Continuación de parámetros múltiples: cálculo de k-variedades definidas implícitamente ", ME Henderson, IJBC 12[3]:451-76, 2003.

[A15] " MANPACK: un conjunto de algoritmos para cálculos en variedades definidas implícitamente ", WC Rheinboldt, Comput. Math. Applic. 27 páginas 15–9, 1996.

[A16] " CANDYS/QA - Un sistema de software para el análisis cualitativo de sistemas dinámicos no lineales ", Feudel, U. y W. Jansen, Int. J. Bifurcation and Chaos, vol. 2 n.º 4, págs. 773–794, World Scientific, 1992.

[1] Introducción a los métodos de continuación numérica por Eugene L. Allgower y Kurt Georg, Universidad Estatal de Colorado, 1990

[2] Engelnkemper, S.; Gurevich, SV; Uecker, H.; Wetzel, D.; Thiele, U. (7 de julio de 2018). Modelado computacional de bifurcaciones e inestabilidades en dinámica de fluidos . Saltador. págs. 459– 501. arXiv : 1808.02321 . doi : 10.1007/978-3-319-91494-7_13 . ISBN 9783319914930.

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