Falsa difusión

La falsa difusión es un tipo de error que se observa cuando se utiliza el esquema de barlovento para aproximar el término de convección en ecuaciones de convección-difusión . Se puede utilizar el esquema de diferencia central más preciso para el término de convección , pero para cuadrículas con un número de Peclet de celdas mayor que 2, el esquema de diferencia central es inestable y se utiliza a menudo el esquema de barlovento más simple. El error resultante del esquema de diferenciación de barlovento tiene una apariencia similar a la difusión en sistemas de coordenadas bidimensionales o tridimensionales y se denomina "falsa difusión". Los errores de falsa difusión en soluciones numéricas de problemas de convección-difusión, en dos y tres dimensiones, surgen de las aproximaciones numéricas del término de convección en las ecuaciones de conservación. En los últimos 20 años se han desarrollado muchas técnicas numéricas para resolver ecuaciones de convección-difusión y ninguna está libre de problemas, pero la falsa difusión es uno de los problemas más graves y un tema importante de controversia y confusión entre los analistas numéricos .

La falsa difusión se define como un error que tiene una apariencia similar a la difusión y que se obtiene cuando se utiliza el esquema de barlovento en casos multidimensionales para calcular la distribución de las propiedades transportadas que fluyen de manera no ortogonal a uno o más de los ejes principales del sistema. El error no existe cuando el flujo es ortogonal o paralelo a cada eje principal.

En la figura 1, u  = 2 y v  = 2 m/s en todas partes, por lo que el campo de velocidad es uniforme y perpendicular a la diagonal (XX). Las condiciones de contorno para la temperatura en las paredes norte y oeste son 100 ̊C y para las paredes este y sur son 0 ̊C. Esta región está enmallada en cuadrículas iguales de 10×10. Tomemos dos casos, (i) con coeficiente de difusión ≠ 0 y, caso (ii) con coeficiente de difusión = 0.

En este caso, el calor de las paredes oeste y sur se transmite por convección hacia las paredes norte y este. El calor también se difunde a través de la diagonal XX desde el triángulo superior al inferior. La figura 2 muestra la distribución aproximada de la temperatura.

En este caso, el calor de las paredes oeste y sur se transporta por convección hacia el norte y el este. No habrá difusión a través de la diagonal XX, pero cuando se aplica el esquema de barlovento, los resultados son similares al caso (i), donde se produce una difusión real. Este error se conoce como difusión falsa.

En los primeros enfoques, las derivadas en la forma diferencial de la ecuación de transporte gobernante fueron reemplazadas por aproximaciones de diferencias finitas, generalmente aproximaciones de diferenciación central con precisión de segundo orden. Sin embargo, para números de Peclet grandes (generalmente > 2) esta aproximación dio resultados inexactos. Varios investigadores ^{[1] [2] reconocieron de forma independiente que se puede emplear} el esquema de contraviento , menos costoso pero que es el único con precisión de primer orden , pero que este esquema produce resultados con difusión falsa para casos multidimensionales. Se han desarrollado muchos esquemas nuevos para contrarrestar la difusión falsa, pero aún no se dispone de un esquema de discretización confiable, preciso y económico.

La difusión falsa con el esquema de barlovento se reduce al aumentar la densidad de la malla. En los resultados de las figuras 3 y 4, el error de difusión falsa es más bajo en la figura 4(b) con un tamaño de malla más fino.

El error de difusión falsa también se puede reducir mediante el uso de esquemas como el esquema de ley de potencia , el esquema QUICK , el esquema exponencial y SUCCA , entre otros. ^{[3] [4]}

La falsa difusión con el esquema simple de barlovento se produce porque el esquema no tiene en cuenta la inclinación de la dirección de la rejilla/flujo. De Vahl Davis y Mallinson (1972) han dado una expresión aproximada para el término de falsa difusión en dos dimensiones ^[5].

donde U es la velocidad resultante y θ es el ángulo que forma el vector de velocidad con la dirección x . No hay difusión falsa cuando el flujo resultante está alineado con cualquiera de los conjuntos de líneas de la cuadrícula y es mayor cuando la dirección del flujo es de 45˚ con respecto a las líneas de la cuadrícula.

Utilizando la serie de Taylor para y en el tiempo t  +  kt son $estilo de visualización {\phi _{W}}$$estilo de visualización {\phi _{P}}$

De acuerdo con la aproximación de convección en contra del viento (UAC), . Despreciando el orden superior en la ecuación (2a), el error del flujo convectivo debido a esta aproximación es . Tiene la forma de flujo de por falsa difusión con un coeficiente de difusión ^[6]${\displaystyle {\phi _{wk}=\phi _{Wk}}}$${\displaystyle {-\rho _{w}u_{w}\delta y_{i}\left({\frac {\delta x_{i}}{2}}\right)\left({\frac {\partial \phi }{\partial x}}\right)_{wk}}}$${\displaystyle {\phi }}$

El subíndice fc es un recordatorio de que se trata de una difusión falsa que surge de la estimación del flujo convectivo en el instante utilizando UAC. ${\displaystyle t+k\,\Delta t}$

El SUCCA tiene en cuenta la dirección del flujo local al introducir la influencia de las celdas de las esquinas en contra del viento en la ecuación de conservación discretizada en la ecuación de transporte de gobierno general. En la figura 5, el SUCCA se aplica dentro de un grupo de cuadrícula de nueve celdas. Considerando la entrada de la esquina SO para la celda P, las ecuaciones del SUCCA para el transporte convectivo de las especies conservadas son ${\displaystyle {\phi }}$

es decir,

es decir,

Esta formulación satisface todos los criterios de convergencia y estabilidad. ^[7]

En la figura 6, a medida que se refina la malla, el esquema de barlovento proporciona resultados más precisos pero SUCCA ofrece una solución casi exacta y es más útil para evitar errores de difusión falsa multidimensionales.

• Dinámica de fluidos computacional
• Ecuaciones de Navier-Stokes
• Difusión numérica
• Método de volumen finito
• Serie de Taylor

• Patankar, Suhas V. (1980), Transferencia numérica de calor y flujo de fluidos , Taylor & Francis Group, ISBN 9780891165224
• Wesseling, Pieter (2001), Principios de dinámica de fluidos computacional , Springer, ISBN 978-3-540-67853-3
• Fecha, Anil W. (2005), Introducción a la dinámica de fluidos computacional , Cambridge University Press, ISBN 9780521853262