Método de volumen finito

El método de volumen finito ( MVF ) es un método para representar y evaluar ecuaciones diferenciales parciales en forma de ecuaciones algebraicas. ^{[ 1 ]} En el método de volumen finito, las integrales de volumen en una ecuación diferencial parcial que contienen un término de divergencia se convierten en integrales de superficie , utilizando el teorema de la divergencia . Estos términos se evalúan como flujos en las superficies de cada volumen finito. Debido a que el flujo que entra en un volumen dado es idéntico al que sale del volumen adyacente, estos métodos son conservativos . Otra ventaja del método de volumen finito es que se formula fácilmente para permitir mallas no estructuradas. El método se utiliza en muchos paquetes de dinámica de fluidos computacional . "Volumen finito" se refiere al pequeño volumen que rodea cada nodo en una malla. ^{[ 2 ]}

Los métodos de volumen finito pueden compararse y contrastarse con los métodos de diferencias finitas , que aproximan derivadas utilizando valores nodales, o con los métodos de elementos finitos , que crean aproximaciones locales de una solución utilizando datos locales y construyen una aproximación global uniéndolas. En cambio, un método de volumen finito evalúa expresiones exactas para el valor promedio de la solución sobre un volumen determinado y utiliza estos datos para construir aproximaciones de la solución dentro de las celdas. ^{[ 3 ] [ 4 ]}

Consideremos un problema de advección unidimensional simple :

Aquí,${\displaystyle \rho =\rho \left(x,t\right)}$representa la variable de estado y${\displaystyle f=f\left(\rho \left(x,t\right)\right)}$representa el flujo o corriente de${\displaystyle \rho }$. Convencionalmente, positivo${\displaystyle f}$representa el flujo hacia la derecha mientras que negativo${\displaystyle f}$representa el flujo hacia la izquierda. Si asumimos que la ecuación ( 1 ) representa un medio fluido de área constante, podemos subdividir el dominio espacial,${\displaystyle x}$, en volúmenes finitos o celdas con centros de celda indexados como${\displaystyle i}$. Para una célula en particular,${\displaystyle i}$, podemos definir el valor promedio del volumen de${\displaystyle {\rho }_{i}\left(t\right)=\rho \left(x,t\right)}$en ese momento${\displaystyle {t=t_{1}}}$y${\displaystyle {x\in \left[x_{i-1/2},x_{i+1/2}\right]}}$, como

y en ese momento${\displaystyle t=t_{2}}$como,

dónde${\displaystyle x_{i-1/2}}$y${\displaystyle x_{i+1/2}}$representan las ubicaciones de las caras o bordes aguas arriba y aguas abajo respectivamente de la${\displaystyle i^{\text{th}}}$celúla.

Integrando la ecuación ( 1 ) en el tiempo, tenemos:

dónde${\displaystyle f_{x}={\frac {\partial f}{\partial x}}}$.

Para obtener el volumen promedio de${\displaystyle \rho \left(x,t\right)}$en ese momento${\displaystyle t=t_{2}}$, integramos${\displaystyle \rho \left(x,t_{2}\right)}$sobre el volumen celular,${\displaystyle \left[x_{i-1/2},x_{i+1/2}\right]}$y divide el resultado por${\displaystyle \Delta x_{i}=x_{i+1/2}-x_{i-1/2}}$, es decir

Suponemos que${\displaystyle f\ }$se comporta bien y podemos invertir el orden de integración. Además, recordemos que el flujo es normal al área unitaria de la celda. Ahora bien, dado que en una dimensión${\displaystyle f_{x}\triangleq \nabla \cdot f}$, podemos aplicar el teorema de la divergencia , es decir${\displaystyle \oint _{v}\nabla \cdot fdv=\oint _{S}f\,dS}$y sustituir la integral de volumen de la divergencia con los valores de${\displaystyle f(x)}$evaluado en la superficie celular (bordes)${\displaystyle x_{i-1/2}}$y${\displaystyle x_{i+1/2}}$) del volumen finito de la siguiente manera:

dónde${\displaystyle f_{i\pm 1/2}=f\left(x_{i\pm 1/2},t\right)}$.

Por lo tanto, podemos derivar un esquema numérico semidiscreto para el problema anterior con centros de celdas indexados como${\displaystyle i}$y con flujos de borde celular indexados como${\displaystyle i\pm 1/2}$, diferenciando ( 6 ) con respecto al tiempo para obtener:

donde los valores para los flujos de borde,${\displaystyle f_{i\pm 1/2}}$, puede reconstruirse mediante interpolación o extrapolación de los promedios de las celdas. La ecuación ( 7 ) es exacta para los promedios de volumen; es decir, no se han realizado aproximaciones durante su derivación.

Este método también se puede aplicar a una situación bidimensional considerando las caras norte y sur, junto con las caras este y oeste, alrededor de un nodo.

También podemos considerar el problema general de la ley de conservación , representado por la siguiente EDP ,

Aquí,${\displaystyle \mathbf {u} }$representa un vector de estados y${\displaystyle \mathbf {f} }$representa el tensor de flujo correspondiente . Nuevamente podemos subdividir el dominio espacial en volúmenes o celdas finitas. Para una celda en particular,${\displaystyle i}$, tomamos la integral de volumen sobre el volumen total de la célula,${\displaystyle v_{i}}$, lo cual da,

Al integrar el primer término para obtener el promedio de volumen y aplicar el teorema de la divergencia al segundo, se obtiene:

dónde${\displaystyle S_{i}}$representa el área superficial total de la célula y${\displaystyle {\mathbf {n} }}$es un vector unitario normal a la superficie y que apunta hacia afuera. Por lo tanto, finalmente podemos presentar el resultado general equivalente a ( 8 ), es decir

Nuevamente, los valores de los flujos en los bordes pueden reconstruirse mediante interpolación o extrapolación de los promedios de las celdas. El esquema numérico específico dependerá de la geometría del problema y la construcción de la malla. La reconstrucción MUSCL se utiliza frecuentemente en esquemas de alta resolución donde existen discontinuidades o choques en la solución.

Los esquemas de volumen finito son conservadores, ya que los promedios de las celdas cambian a través de los flujos en los bordes. En otras palabras, ¡ la pérdida de una celda siempre es la ganancia de otra !

• Método de elementos finitos
• limitador de flujo
• El plan de Godunov
• Teorema de Godunov
• Esquema de alta resolución
• KIVA (software)
• Modelo de circulación general del MIT
• Plan MUSCL
• Sergei K. Godunov
• Variación total decreciente
• Método de volumen finito para flujo no estacionario

• Eymard, R. Gallouët, TR, Herbin, R. (2000) El método de volumen finito Manual de análisis numérico, vol. VII, 2000, págs.  713–1020. Editores: PG Ciarlet y JL Lions .
• Hirsch, C. (1990), Cálculo numérico de flujos internos y externos, Volumen 2: Métodos computacionales para flujos no viscosos y viscosos , Wiley.
• Laney, Culbert B. (1998), Dinámica computacional de gases , Cambridge University Press.
• LeVeque, Randall (1990), Métodos numéricos para leyes de conservación , Serie de conferencias de matemáticas de la ETH, Birkhauser-Verlag.
• LeVeque, Randall (2002), Métodos de volumen finito para problemas hiperbólicos , Cambridge University Press.
• Patankar, Suhas V. (1980), Transferencia de calor numérica y flujo de fluidos , Hemisphere.
• Tannehill, John C., et al., (1997), Mecánica de fluidos computacional y transferencia de calor , 2.ª ed., Taylor and Francis.
• Toro, EF (1999), Solucionadores de Riemann y métodos numéricos para la dinámica de fluidos , Springer-Verlag.
• Wesseling, Pieter (2001), Principios de dinámica de fluidos computacional , Springer-Verlag.

• Métodos de volumen finito por R. Eymard, T. Gallouët y R. Herbin , actualización del artículo publicado en Handbook of Numerical Analysis, 2000.
• Rübenkönig, Oliver. "El método de volumen finito (MVF) – Una introducción" . Archivado del original el 2 de octubre de 2009., disponible bajo la GFDL .
• FiPy: Un solucionador de EDP de volumen finito que utiliza Python, desarrollado por NIST.
• CLAWPACK : un paquete de software diseñado para calcular soluciones numéricas a ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas utilizando un enfoque de propagación de ondas.