Esquema de alta resolución

Los esquemas de alta resolución se utilizan en la solución numérica de ecuaciones diferenciales parciales donde se requiere alta precisión en presencia de choques o discontinuidades. Tienen las siguientes propiedades:

En las partes suaves de la solución se obtiene una precisión espacial de segundo orden o superior .
Las soluciones están libres de oscilaciones o vibraciones espurias.
Se obtiene una alta precisión en torno a choques y discontinuidades.
El número de puntos de la malla que contienen la onda es pequeño en comparación con un esquema de primer orden con una precisión similar.

Los métodos generales a menudo no son adecuados para la resolución precisa de fenómenos de gradiente pronunciado; suelen introducir efectos no físicos como la dispersión de la solución o oscilaciones espurias . Desde la publicación del teorema de barrera de orden de Godunov , que demostró que los métodos lineales no pueden proporcionar soluciones no oscilatorias de orden superior al primero ( Godunov 1954 , Godunov 1959 ), estas dificultades han atraído mucha atención y se han desarrollado varias técnicas que superan en gran medida estos problemas. Para evitar oscilaciones espurias o no físicas en presencia de choques, los esquemas que presentan una característica de disminución de la variación total (TVD) son especialmente atractivos. Dos técnicas que están demostrando ser particularmente efectivas son MUSCL ( Monotone Upstream-Centered Schemes for Conservation Laws ), un método limitador de flujo/pendiente ( van Leer 1979 , Hirsch 1991 , Anderson, Tannehill y Pletcher 2016 , Laney 1998 , Toro 1999 ) y el método WENO ( Weighted Essentially Non-Oscillatory ) ( Shu 1998 , Shu 2009 ). Ambos métodos suelen denominarse esquemas de alta resolución (véase el diagrama).

Los métodos MUSCL suelen tener una precisión de segundo orden en regiones suaves (aunque pueden formularse para órdenes superiores) y proporcionan soluciones monótonas y de buena resolución en torno a las discontinuidades. Son fáciles de implementar y computacionalmente eficientes.

Para problemas que incluyen tanto discontinuidades como estructuras de soluciones suaves y complejas, los esquemas WENO pueden proporcionar mayor precisión que los esquemas de segundo orden, además de una buena resolución en torno a las discontinuidades. La mayoría de las aplicaciones suelen utilizar un esquema WENO de quinto orden, mientras que se pueden usar esquemas de orden superior cuando el problema exige una mayor precisión en las regiones suaves.

El método de discretización holística analiza sistemáticamente la dinámica de la escala subgrid para construir algebraicamente cierres para discretizaciones numéricas que son precisas para cualquier orden de error especificado en regiones suaves y se adaptan automáticamente para acomodar variaciones rápidas de la malla a través del aprendizaje algebraico de estructuras subgrid ( Roberts 2003 ). Un servicio web analiza cualquier EDP en una clase que se pueda enviar .

Véase también

Referencias

Godunov, Sergei K. (1954). Tesis doctoral: Diferentes métodos para ondas de choque (Tesis). Universidad Estatal de Moscú.
Godunov, Sergei K. (1959). "Un esquema de diferencias para la solución numérica de la solución discontinua de ecuaciones hidrodinámicas". Mat. Sbornik . 47 : 271–306 .Traducido por el Servicio Conjunto de Investigación Pública de EE. UU., JPRS 7226, 1969.
Harten, A. (1983). "Esquemas de alta resolución para leyes de conservación hiperbólicas". J. Comput. Phys . 49 (3): 357– 393. Bibcode : 1983JCoPh..49..357H . doi : 10.1016/0021-9991(83)90136-5 . hdl : 2060/19830002586 .
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