Orden de precisión

En el análisis numérico , el orden de precisión cuantifica la tasa de convergencia de una aproximación numérica de una ecuación diferencial a la solución exacta. Consideremos${\displaystyle u}$, la solución exacta de una ecuación diferencial en un espacio normado apropiado${\displaystyle (V,||\ ||)}$Consideremos una aproximación numérica.${\displaystyle u_{h}}$, dónde${\displaystyle h}$es un parámetro que caracteriza la aproximación, como el tamaño del paso en un esquema de diferencias finitas o el diámetro de las celdas en un método de elementos finitos . La solución numérica${\displaystyle u_{h}}$Se dice que${\displaystyle \mathbf {n} }$preciso de orden n si el error${\displaystyle E(h):=||u-u_{h}||}$es proporcional al tamaño del paso${\displaystyle h}$hacia${\displaystyle n}$potencia: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle E(h)=||u-u_{h}||\leq Ch^{n}}$

donde la constante${\displaystyle C}$es independiente de${\displaystyle h}$y normalmente depende de la solución${\displaystyle u}$. ^{[ 2 ]} Usando la notación de la gran O un${\displaystyle n}$El método numérico de orden n se denota como

${\displaystyle ||u-u_{h}||=O(h^{n})}$

Esta definición depende estrictamente de la norma utilizada en el espacio; la elección de dicha norma es fundamental para estimar correctamente la tasa de convergencia y, en general, todos los errores numéricos.

El tamaño del error de una aproximación precisa de primer orden es directamente proporcional a${\displaystyle h}$Se dice que las ecuaciones diferenciales parciales que varían tanto en el tiempo como en el espacio son precisas hasta el orden${\displaystyle n}$a tiempo y según lo solicitado${\displaystyle m}$en el espacio. ^{[ 3 ]}