limitador de flujo

Los limitadores de flujo se utilizan en esquemas de alta resolución , esquemas numéricos empleados para resolver problemas en ciencia e ingeniería, particularmente en dinámica de fluidos , descritos por ecuaciones diferenciales parciales (EDP). Se emplean en esquemas de alta resolución, como el esquema MUSCL , para evitar las oscilaciones espurias (ondulaciones) que, de otro modo, se producirían con esquemas de discretización espacial de alto orden debido a choques, discontinuidades o cambios bruscos en el dominio de la solución. El uso de limitadores de flujo, junto con un esquema de alta resolución adecuado, hace que las soluciones presenten una variación total decreciente (TVD).

Cabe destacar que los limitadores de flujo también se denominan limitadores de pendiente, ya que ambos tienen la misma forma matemática y ambos limitan el gradiente de la solución cerca de discontinuidades o choques. En general, el término limitador de flujo se utiliza cuando el limitador actúa sobre los flujos del sistema , y ​​limitador de pendiente se utiliza cuando actúa sobre los estados del sistema (como la presión, la velocidad, etc.).

La idea principal detrás de la construcción de esquemas limitadores de flujo es limitar las derivadas espaciales a valores realistas; para problemas científicos y de ingeniería, esto generalmente significa valores físicamente realizables y significativos. Se utilizan en esquemas de alta resolución para resolver problemas descritos por EDP y solo entran en funcionamiento cuando hay frentes de onda abruptos. Para ondas que cambian suavemente, los limitadores de flujo no operan y las derivadas espaciales pueden representarse mediante aproximaciones de orden superior sin introducir oscilaciones espurias. Considere el esquema semidiscreto 1D a continuación:

${\displaystyle {\frac {du_{i}}{dt}}+{\frac {1}{\Delta x_{i}}}\left[F\left(u_{i+{1}/{2}}\right)-F\left(u_{i-{1}/{2}}\right)\right]=0,}$

dónde,${\displaystyle F\left(u_{i+{1}/{2}}\right)}$y${\displaystyle F\left(u_{i-1/2}\right)}$representan los flujos de borde para la i -ésima celda. Si estos flujos de borde se pueden representar mediante esquemas de baja y alta resolución, entonces un limitador de flujo puede alternar entre estos esquemas dependiendo de los gradientes cercanos a la celda en particular, como sigue:

$${\displaystyle F\left(u_{i+1/2}\right)=f_{i+1/2}^{\text{bajo}}-\phi \left(r_{i}\right)\left(f_{i+1/2}^{\text{bajo}}-f_{i+1/2}^{\text{alto}}\right),}$$$${\displaystyle F\left(u_{i-1/2}\right)=f_{i-1/2}^{\text{bajo}}-\phi \left(r_{i-1}\right)\left(f_{i-1/2}^{\text{bajo}}-f_{i-1/2}^{\text{alto}}\right),}$$

dónde

• ${\displaystyle f^{\text{bajo}}}$es el flujo de baja resolución,
• ${\displaystyle f^{\text{alto}}}$es el flujo de alta resolución,
• ${\displaystyle \phi \ (r)}$es la función limitadora de flujo, y
• ${\displaystyle r}$representa la relación de gradientes sucesivos en la malla de la solución, es decir,$${\displaystyle r_{i}={\frac {u_{i}-u_{i-1}}{u_{i+1}-u_{i}}}.}$$

La función limitadora está restringida a ser mayor o igual que cero, es decir,${\displaystyle \phi \ (r)\geq 0}$Por lo tanto, cuando el limitador es igual a cero (pendiente pronunciada, pendientes opuestas o pendiente cero), el flujo se representa mediante un esquema de baja resolución . De manera similar, cuando el limitador es igual a 1 (solución suave), se representa mediante un esquema de alta resolución . Los distintos limitadores presentan características de conmutación diferentes y se seleccionan según el problema y el esquema de solución específicos. No se ha encontrado ningún limitador que funcione bien para todos los problemas, y la elección suele realizarse mediante prueba y error.

Las siguientes son formas comunes de función limitadora de flujo/pendiente,${\displaystyle \phi (r)}$:

• CHARM [no es de segunda categoría de TVD] ^{[ 1 ]}$${\displaystyle \phi _{cm}(r)={\begin{cases}{\frac {r\left(3r+1\right)}{\left(r+1\right)^{2}}},&r>0,&\lim _{r\to \infty }\phi _{cm}(r)=3\\0\quad \quad \,,&r\leq 0\end{cases}}}$$
• HCUS [no TVD de segundo orden] ^{[ 2 ]}$${\displaystyle \phi _{hc}(r)={\frac {1.5\left(r+\left|r\right|\right)}{\left(r+2\right)}};\quad \lim _{r\to \infty }\phi _{hc}(r)=3.}$$
• HQUICK [no es TVD de segundo orden] ^{[ 2 ]}$${\displaystyle \phi _{hq}(r)={\frac {2\left(r+\left|r\right|\right)}{\left(r+3\right)}};\quad \lim _{r\to \infty }\phi _{hq}(r)=4.}$$
• Koren ^{[ 3 ]} – precisión de tercer orden para datos suficientemente suaves ^{[ 4 ]}$${\displaystyle \phi _{kn}(r)=\max \left[0,\min \left(2r,{\dfrac {(1+2r)}{3}},2\right)\right];\quad \lim _{r\to \infty }\phi _{kn}(r)=2.}$$
• minmod – simétrico ^{[ 5 ]}$${\displaystyle \phi _{mm}(r)=\max \left[0,\min \left(1,r\right)\right];\quad \lim _{r\to \infty }\phi _{mm}(r)=1.}$$
• central monotonizado (MC) – simétrico ^{[ 6 ]}$${\displaystyle \phi _{mc}(r)=\max \left[0,\min \left(2r,0.5(1+r),2\right)\right];\quad \lim _{r\to \infty }\phi _{mc}(r)=2.}$$
• Osher ^{[ 7 ]}$${\displaystyle \phi _{os}(r)=\max \left[0,\min \left(r,\beta \right)\right],\quad \left(1\leq \beta \leq 2\right);\quad \lim _{r\to \infty }\phi _{os}(r)=\beta .}$$
• ospre – simétrico ^{[ 2 ]}$${\displaystyle \phi _{op}(r)={\frac {1.5\left(r^{2}+r\right)}{\left(r^{2}+r+1\right)}};\quad \lim _{r\to \infty }\phi _{op}(r)=1.5\,.}$$
• inteligente [no TVD de segundo orden] ^{[ 8 ]}$${\displaystyle \phi _{sm}(r)=\max \left[0,\min \left(2r,\left(0.25+0.75r\right),4\right)\right];\quad \lim _{r\to \infty }\phi _{sm}(r)=4.}$$
• superbee – simétrico ^{[ 5 ]}$${\displaystyle \phi _{sb}(r)=\max \left[0,\min \left(2r,1\right),\min \left(r,2\right)\right];\quad \lim _{r\to \infty }\phi _{sb}(r)=2.}$$
• Telaraña – simétrica ^{[ 9 ]}$${\displaystyle \phi _{sw}(r)=\max \left[0,\min \left(\beta r,1\right),\min \left(r,\beta \right)\right],\quad \left(1\leq \beta \leq 2\right);\quad \lim _{r\to \infty }\phi _{sw}(r)=\beta .}$$
• UMIST – simétrico ^{[ 10 ]}$${\displaystyle \phi _{um}(r)=\max \left[0,\min \left(2r,\left(0.25+0.75r\right),\left(0.75+0.25r\right),2\right)\right];\quad \lim _{r\to \infty }\phi _{um}(r)=2.}$$
• van Albada 1 – simétrico ^{[ 11 ]}$${\displaystyle \phi _{va1}(r)={\frac {r^{2}+r}{r^{2}+1}};\quad \lim _{r\to \infty }\phi _{va1}(r)=1.}$$
• van Albada 2 – forma alternativa [no TVD de segundo orden] utilizada en esquemas de alto orden espacial ^{[ 12 ]}$${\displaystyle \phi _{va2}(r)={\frac {2r}{r^{2}+1}};\quad \lim _{r\to \infty }\phi _{va2}(r)=0.}$$
• van Leer – simétrico ^{[ 13 ]}$${\displaystyle \phi _{vl}(r)={\frac {r+\left|r\right|}{1+\left|r\right|}};\quad \lim _{r\to \infty }\phi _{vl}(r)=2.}$$
• Todos los limitadores mencionados anteriormente, indicados como simétricos , exhiben la siguiente propiedad de simetría:$${\displaystyle {\frac {\phi \left(r\right)}{r}}=\phi \left({\frac {1}{r}}\right).}$$

Esta es una propiedad deseable, ya que garantiza que las acciones limitantes para los gradientes hacia adelante y hacia atrás operen de la misma manera.

Salvo indicación contraria, las funciones limitadoras anteriores son TVD de segundo orden . Esto significa que están diseñadas para pasar por una región específica de la solución, conocida como región TVD, con el fin de garantizar la estabilidad del esquema. Los limitadores TVD de segundo orden cumplen al menos los siguientes criterios:

• ${\displaystyle r\leq \phi (r)\leq 2r,\left(0\leq r\leq 1/2\right)\ }$,
• ${\displaystyle r\leq \phi (r)\leq 1,\left(1/2\leq r\leq 1\right)\ }$,
• ${\displaystyle \phi (1)=1\ }$,
• ${\displaystyle 1\leq \phi (r)\leq r,\left(1\leq r\leq 2\right)\ }$,
• ${\displaystyle 1\leq \phi (r)\leq 2,\left(r>2\right)\ }$,

La región de limitación admisible para esquemas TVD de segundo orden se muestra en el diagrama de Sweby de la página opuesta, ^{[ 9 ]} y a continuación se muestran gráficos que muestran las funciones de limitación superpuestas a la región TVD. En esta imagen, se han generado gráficos para los limitadores de Osher y Sweby utilizando${\displaystyle \beta =1.5}$.

• Teorema de Godunov
• Esquema de alta resolución
• Plan MUSCL
• Sergei K. Godunov
• Variación total decreciente

• Hirsch, C. (1990), Cálculo numérico de flujos internos y externos, Volumen 2: Métodos computacionales para flujos no viscosos y viscosos , Wiley, ISBN 978-0-471-92452-4
• Leonard, BP; Leschziner, MA; McGuirk, J. (1978), "El algoritmo QUICK: un método de diferencias finitas de tercer orden uniforme para flujos altamente convectivos", Actas de la 1.ª Conferencia sobre Métodos Numéricos en Flujo Laminar y Turbulento , Swansea, pág.  807.{{citation}}: CS1 mantenimiento: falta el editor de ubicación ( enlace )

• Laney, Culbert B. (1998), Dinámica de gases computacional , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-57069-5
• LeVeque, Randall (1990), Métodos numéricos para leyes de conservación , Serie de conferencias de matemáticas de la ETH, Birkhauser-Verlag, ISBN 3-7643-2464-3
• LeVeque, Randall (2002), Métodos de volumen finito para problemas hiperbólicos , Cambridge University Press, ISBN 0-521-00924-3
• Toro, EF (1999), Solucionadores de Riemann y métodos numéricos para la dinámica de fluidos (2.ª  ed.), Springer-Verlag, ISBN 3-540-65966-8
• Tannehill, John C.; Anderson, Dale Arden; Pletcher, Richard H. (1997), Mecánica de fluidos computacional y transferencia de calor (2.ª  ed.), Taylor and Francis, ISBN 1-56032-046-X
• Wesseling, Pieter (2001), Principios de la dinámica de fluidos computacional , Springer-Verlag, ISBN 3-540-67853-0