Método de Galerkin discontinuo

En matemáticas aplicadas , los métodos de Galerkin discontinuos (métodos DG) constituyen una clase de métodos numéricos para la resolución de ecuaciones diferenciales . Combinan características de los métodos de elementos finitos y de volúmenes finitos , y se han aplicado con éxito a problemas hiperbólicos , elípticos , parabólicos y de forma mixta derivados de una amplia gama de aplicaciones. Los métodos DG han suscitado un interés particular en problemas con una parte de primer orden dominante, como en electrodinámica , mecánica de fluidos y física de plasmas . De hecho, las soluciones de estos problemas pueden implicar fuertes gradientes (e incluso discontinuidades), lo que hace que los métodos clásicos de elementos finitos fallen, mientras que los métodos de volúmenes finitos se limitan a aproximaciones de bajo orden.

Los métodos de Galerkin discontinuos se propusieron y analizaron por primera vez a principios de la década de 1970 como una técnica para resolver numéricamente ecuaciones diferenciales parciales. En 1973, Reed y Hill introdujeron un método DG para resolver la ecuación hiperbólica de transporte de neutrones .

El origen del método DG para problemas elípticos no se remonta a una sola publicación, ya que características como la penalización de saltos en el sentido moderno se desarrollaron gradualmente. Sin embargo, entre los primeros contribuyentes influyentes se encuentran Babuška , J.-L. Lions , Joachim Nitsche y Miloš Zlámal. Los métodos DG para problemas elípticos ya se habían desarrollado en un artículo de Garth Baker en el contexto de ecuaciones de cuarto orden en 1977. Una descripción más completa del desarrollo histórico y una introducción a los métodos DG para problemas elípticos se ofrece en una publicación de Arnold, Brezzi, Cockburn y Marini. Varias líneas de investigación y desafíos sobre los métodos DG se recogen en el volumen de actas editado por Cockburn, Karniadakis y Shu.

Descripción general

Al igual que el método de Galerkin continuo (CG) , el método de Galerkin discontinuo (DG) es un método de elementos finitos formulado en relación con una formulación débil de un sistema modelo particular. A diferencia de los métodos CG tradicionales, que son conformes , el método DG opera sobre un espacio de prueba de funciones que son continuas a trozos , y por lo tanto, a menudo comprenden espacios de funciones más inclusivos que los subespacios de producto interno de dimensión finita utilizados en los métodos conformes.

Como ejemplo, consideremos la ecuación de continuidad para una incógnita escalar. $\rho$ en un dominio espacial $\Omega$ sin "fuentes" ni "sumideros" :

{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {J} =0,

dónde $\mathbf {J}$ es el flujo de $\rho$ .

Ahora consideremos el espacio de dimensión finita de funciones polinómicas discontinuas por partes sobre el dominio espacial. $\Omega$ restringido a una triangulación discreta $\Omega _{h}$ , escrito como

S_{h}^{p}(\Omega _{h})=\{v_{|\Omega _{e_{i}}}\in P^{p}(\Omega _{e_{i}}),\ \ \forall \Omega _{e_{i}}\in \Omega _{h}\}

para $P^{p}(\Omega _ {e_ {i}})$ el espacio de polinomios con grados menores o iguales a $p$ sobre el elemento $\Omega _ {e_ {i}}$ indexado por $i$ . Luego, para las funciones de forma de elementos finitos $N_{j}\in P^{p}$ La solución está representada por

\rho _{h}^{i}=\sum _{j=1}^{\text{dofs}}\rho _{j}^{i}(t)N_{j}^{i}({\boldsymbol {x}}),\quad \forall {\boldsymbol {x}}\in \Omega _{e_{i}}.

Luego, de manera similar, se elige una función de prueba.

\varphi _{h}^{i}({\boldsymbol {x}})=\sum _{j=1}^{\text{dofs}}\varphi _{j}^{i}N_{j}^{i}({\boldsymbol {x}}),\quad \forall {\boldsymbol {x}}\in \Omega _{e_{i}},

multiplicando la ecuación de continuidad por $\varphi _{h}^{i}$ y al integrar por partes en el espacio , la formulación DG semidiscreta se convierte en:

{\frac {d}{dt}}\int _{\Omega _{e_{i}}}\rho _{h}^{i}\varphi _{h}^{i}\,d{\boldsymbol {x}}+\int _{\partial \Omega _{e_{i}}}\varphi _{h}^{i}\mathbf {J} _{h}\cdot {\boldsymbol {n}}\,d{\boldsymbol {x}}=\int _{\Omega _{e_{i}}}\mathbf {J} _{h}\cdot \nabla \varphi _{h}^{i}\,d{\boldsymbol {x}}.

Ley de conservación hiperbólica escalar

Una ley de conservación hiperbólica escalar tiene la forma

{\begin{aligned}\partial _{t}u+\partial _{x}f(u)&=0\quad {\text{para}}\quad t>0,\,x\in \mathbb {R} \\u(0,x)&=u_{0}(x)\,,\end{aligned}}

donde se intenta resolver la función escalar desconocida $u\equiv u(t,x)$ y las funciones $f,u_{0}$ se suelen dar.

Discretización espacial

El $x$ -el espacio se discretizará como

\mathbb {R} =\bigcup _{k}I_{k}\,,\quad I_{k}:=\left(x_{k},x_{k+1}\right)\quad {\text{para}}\quad x_{k}<x_{k+1}\,.

Además, necesitamos las siguientes definiciones.

h_{k}:=|I_{k}|\,,\quad h:=\sup _{k}h_{k}\,,\quad {\hat {x}}_{k}:=x_{k}+{\frac {h_{k}}{2}}\,.

Base para el espacio de funciones

Derivamos la representación base para el espacio de funciones de nuestra solución. $u$ . El espacio de funciones se define como

S_{h}^{p}:=\left\lbrace v\in L^{2}(\mathbb {R} ):v{\Big |}_{I_{k}}\in \Pi _{p}\right\rbrace \quad {\text{para}}\quad p\in \mathbb {N} _{0}\,,

dónde ${v|}_{I_{k}}$ denota la restricción de $v$ en el intervalo $I_{k}$ , y $\Pi _{p}$ denota el espacio de polinomios de grado máximo $p$ El índice $h$ debe mostrar la relación con una discretización subyacente dada por $\left(x_{k}\right)_{k}$ . Tenga en cuenta aquí que $v$ no está definido de forma única en los puntos de intersección $(x_{k})_{k}$ .

En primer lugar, utilizamos una base polinómica específica en el intervalo $[-1,1]$ , los polinomios de Legendre $(P_{n})_{n\in \mathbb {N} _{0}}$ , es decir,

P_{0}(x)=1\,,\quad P_{1}(x)=x\,,\quad P_{2}(x)={\frac {1}{2}}(3x^{2}-1)\,,\quad \dots

Nótese especialmente la relación de ortogonalidad.

\left\langle P_{i},P_{j}\right\rangle _{L^{2}([-1,1])}={\frac {2}{2i+1}}\delta _{ij}\quad \forall \,i,j\in \mathbb {N} _{0}\,.

Transformación en el intervalo $[0,1]$ y la normalización se logra mediante funciones $(\varphi _ {i})_ {i}$

\varphi _{i}(x):={\sqrt {2i+1}}P_{i}(2x-1)\quad {\text{para}}\quad x\in [0,1]\,,

que cumplen la relación de ortonormalidad

\left\langle \varphi _{i},\varphi _{j}\right\rangle _{L^{2}([0,1])}=\delta _{ij}\quad \forall \,i,j\in \mathbb {N} _{0}\,.

Transformación en un intervalo $I_{k}$ es dado por $\left({\bar {\varphi }}_{ki}\right)_{i}$

{\bar {\varphi }}_{ki}:={\frac {1}{\sqrt {h_{k}}}}\varphi _{i}\left({\frac {x-x_{k}}{h_{k}}}\right)\quad {\text{for}}\quad x\in I_{k}\,,

que cumplen

\left\langle {\bar {\varphi }}_{ki},{\bar {\varphi }}_{kj}\right\rangle _{L^{2}(I_{k})}=\delta _{ij}\quad \forall \,i,j\in \mathbb {N} _{0}\forall \,k\,.

Para $L^{\infty }$ -normalización que definimos $\varphi _{ki}:={\sqrt {h_{k}}}{\bar {\varphi }}_{ki}$ y para $L^{1}$ -normalización que definimos ${\tilde {\varphi }}_{ki}:={\frac {1}{\sqrt {h_{k}}}}{\bar {\varphi }}_{ki}$ , calle

\|\varphi _{ki}\|_{L^{\infty }(I_{k})}=\|\varphi _{i}\|_{L^{\infty }([0,1])}=:c_{i,\infty }\quad {\text{and}}\quad \|{\tilde {\varphi }}_{ki}\|_{L^{1}(I_{k})}=\|\varphi _{i}\|_{L^{1}([0,1])}=:c_{i,1}\,.

Finalmente, podemos definir la representación base de nuestras soluciones. $u_{h}$

{\begin{aligned}u_{h}(t,x):=&\sum _{i=0}^{p}u_{ki}(t)\varphi _{ki}(x)\quad {\text{for}}\quad x\in (x_{k},x_{k+1})\\u_{ki}(t)=&\left\langle u_{h}(t,\cdot ),{\tilde {\varphi }}_{ki}\right\rangle _{L^{2}(I_{k})}\,.\end{aligned}}

Tenga en cuenta aquí que $u_{h}$ no está definido en las posiciones de la interfaz.

Además, las bases prismáticas se emplean para estructuras de tipo plano y son capaces de hibridación 2D/3D.

Esquema DG

La ley de conservación se transforma en su forma débil mediante la multiplicación por funciones de prueba y la integración sobre intervalos de prueba.

{\begin{aligned}\partial _{t}u+\partial _{x}f(u)&=0\\\Rightarrow \quad \left\langle \partial _{t}u,v\right\rangle _{L^{2}(I_{k})}+\left\langle \partial _{x}f(u),v\right\rangle _{L^{2}(I_{k})}&=0\quad {\text{for}}\quad \forall \,v\in S_{h}^{p}\\\Leftrightarrow \quad \left\langle \partial _{t}u,{\tilde {\varphi }}_{ki}\right\rangle _{L^{2}(I_{k})}+\left\langle \partial _{x}f(u),{\tilde {\varphi }}_{ki}\right\rangle _{L^{2}(I_{k})}&=0\quad {\text{for}}\quad \forall \,k\;\forall \,i\leq p\,.\end{aligned}}

Al utilizar la integración parcial, uno queda con

{\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}u_{ki}(t)+f(u(t,x_{k+1})){\tilde {\varphi }}_{ki}(x_{k+1})-f(u(t,x_{k})){\tilde {\varphi }}_{ki}(x_{k})-\left\langle f(u(t,\,\cdot \,)),{\tilde {\varphi }}_{ki}'\right\rangle _{L^{2}(I_{k})}=0\quad {\text{for}}\quad \forall \,k\;\forall \,i\leq p\,.\end{aligned}}

Los flujos en las interfaces se aproximan mediante flujos numéricos. $g$ con

g_{k}:=g(u_{k}^{-},u_{k}^{+})\,,\quad u_{k}^{\pm }:=u(t,x_{k}^{\pm })\,,

dónde $u_{k}^{\pm }$ denota los límites izquierdo y derecho. Finalmente, el esquema DG se puede escribir como

{\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}u_{ki}(t)+g_{k+1}{\tilde {\varphi }}_{ki}(x_{k+1})-g_{k}{\tilde {\varphi }}_{ki}(x_{k})-\left\langle f(u(t,\,\cdot \,)),{\tilde {\varphi }}_{ki}'\right\rangle _{L^{2}(I_{k})}=0\quad {\text{for}}\quad \forall \,k\;\forall \,i\leq p\,.\end{aligned}}

Ecuación elíptica escalar

Una ecuación elíptica escalar tiene la forma

{\begin{aligned}-\partial _{xx}u&=f(x)\quad {\text{for}}\quad x\in (a,b)\\u(x)&=g(x)\,\quad {\text{for}}\,\quad x=a,b\end{aligned}}

Esta ecuación es la ecuación de calor en estado estacionario , donde $u$ es la temperatura. La discretización espacial es la misma que la anterior. Recordamos que el intervalo $(a,b)$ se divide en $N+1$ intervalos de longitud $h$ .

Presentamos el salto $[{}\cdot {}]$ y promedio $\{{}\cdot {}\}$ de funciones en el nodo $x_{k}$ :

[v]{\Big |}_{x_{k}}=v(x_{k}^{+})-v(x_{k}^{-}),\quad \{v\}{\Big |}_{x_{k}}=0.5(v(x_{k}^{+})+v(x_{k}^{-}))

El método de Galerkin discontinuo con penalización interior (IPDG) es: encontrar $u_{h}$ satisfactorio

A(u_{h},v_{h})+A_{\partial }(u_{h},v_{h})=\ell (v_{h})+\ell _{\partial }(v_{h})

donde las formas bilineales $A$ y $A_{\partial }$ son

A(u_{h},v_{h})=\sum _{k=1}^{N+1}\int _{x_{k-1}}^{x_{k}}\partial _{x}u_{h}\partial _{x}v_{h}-\sum _{k=1}^{N}\{\partial _{x}u_{h}\}_{x_{k}}[v_{h}]_{x_{k}}+\varepsilon \sum _{k=1}^{N}\{\partial _{x}v_{h}\}_{x_{k}}[u_{h}]_{x_{k}}+{\frac {\sigma }{h}}\sum _{k=1}^{N}[u_{h}]_{x_{k}}[v_{h}]_{x_{k}}

y

A_{\partial }(u_{h},v_{h})=\partial _{x}u_{h}(a)v_{h}(a)-\partial _{x}u_{h}(b)v_{h}(b)-\varepsilon \partial _{x}v_{h}(a)u_{h}(a)+\varepsilon \partial _{x}v_{h}(b)u_{h}(b)+{\frac {\sigma }{h}}{\big (}u_{h}(a)v_{h}(a)+u_{h}(b)v_{h}(b){\big )}

Las formas lineales $\ell$ y $\ell _{\partial }$ son

\ell (v_{h})=\int _{a}^{b}fv_{h}

y

\ell _{\partial }(v_{h})=-\varepsilon \partial _{x}v_{h}(a)g(a)+\varepsilon \partial _{x}v_{h}(b)g(b)+{\frac {\sigma }{h}}{\big (}g(a)v_{h}(a)+g(b)v_{h}(b){\big )}

El parámetro de penalización $\sigma$ es una constante positiva. Aumentar su valor reducirá los saltos en la solución discontinua. El término $\varepsilon$ se elige para que sea igual a $-1$ para el método de Galerkin de penalización interior simétrica; es igual a $+1$ para el método de Galerkin de penalización interior no simétrico.

Método de Galerkin discontinuo directo

El método de Galerkin discontinuo directo (DDG) es un nuevo método de Galerkin discontinuo para resolver problemas de difusión. En 2009, Liu y Yan propusieron por primera vez el método DDG para resolver ecuaciones de difusión. ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]} La ventaja de este método en comparación con el método de Galerkin discontinuo es que el método de Galerkin discontinuo directo deriva el formato numérico tomando directamente el flujo numérico de la función y el término de la primera derivada sin introducir variables intermedias. Podemos obtener resultados numéricos razonables utilizando este método, y debido al proceso de derivación más simple, la cantidad de cálculos se reduce considerablemente.

El método de elementos finitos discontinuos directos es una rama de los métodos de Galerkin discontinuos. Incluye principalmente la transformación del problema a una forma variacional, la división de unidades regionales, la construcción de funciones base, la formulación y resolución de ecuaciones de elementos finitos discontinuos, y el análisis de convergencia y error.

Por ejemplo, consideremos una ecuación de difusión no lineal, que es unidimensional:

U_{t}-{(a(U)\cdot U_{x})}_{x}=0\ \ in\ (0,1)\times (0,T)

, en el cual

U(x,0)=U_{0}(x)\ \ on\ (0,1)

Discretización espacial

En primer lugar, defina $\left\{I_{j}=\left(x_{j-{\frac {1}{2}}},\ x_{j+{\frac {1}{2}}}\right),j=1...N\right\}$ , y $\Delta x_{j}=x_{j+{\frac {1}{2}}}-x_{j-{\frac {1}{2}}}$ . Por lo tanto, hemos realizado la discretización espacial de $x$ . Además, defina $\Delta x=\max _{1\leq j<N}\ \Delta x_{j}$ .

Queremos encontrar una aproximación $u$ a $U$ de tal manera que $\forall t\in \left[0,T\right]$ , $u\in \mathbb {V} _{\Delta x}$ ,

$\mathbb {V} _{\Delta x}:=\left\{v\in L^{2}\left(0,1\right):{v|}_{I_{j}}\in P^{k}\left(I_{j}\right),\ j=1,...,N\right\}$ , $P^{k}\left(I_{j}\right)$ es el espacio de polinomios en $I_{j}$ con título como máximo $k$ .

Formulación del plan

Flujo: $h:=h\left(U,U_{x}\right)=a\left(U\right)U_{x}$ .

$U$ : la solución exacta de la ecuación.

Multiplica la ecuación por una función suave. $v\in H^{1}\left(0,1\right)$ de modo que obtenemos las siguientes ecuaciones:

$\int _{I_{j}}U_{t}vdx-h_{j+{\frac {1}{2}}}v_{j+{\frac {1}{2}}}+h_{j-{\frac {1}{2}}}v_{j-{\frac {1}{2}}}+\int a\left(U\right)U_{x}v_{x}dx=0$ ,

$\int _{I_{j}}U\left(x,0\right)v\left(x\right)dx=\int _{I_{j}}U_{0}\left(x\right)v\left(x\right)dx$

Aquí $v$ es arbitrario, la solución exacta $U$ de la ecuación se reemplaza por la solución aproximada $u$ , es decir, la solución numérica que necesitamos se obtiene resolviendo las ecuaciones diferenciales.

El flujo numérico

Elegir un flujo numérico adecuado es fundamental para la precisión del método DDG.

El flujo numérico debe satisfacer las siguientes condiciones:

♦ Es coherente con $h={b\left(u\right)}_{x}=a\left(u\right)u_{x}$

♦ El flujo numérico es conservativo en el valor único en $x_{j+{\frac {1}{2}}}$ .

♦ Tiene el $L^{2}$ -estabilidad;

♦ Puede mejorar la precisión del método.

Por lo tanto, se presenta un esquema general para el flujo numérico:

{\widehat {h}}=D_{x}b(u)=\beta _{0}{\frac {\left[b\left(u\right)\right]}{\Delta x}}+{\overline {{b\left(u\right)}_{x}}}+\sum _{m=1}^{\frac {k}{2}}\beta _{m}{\left(\Delta x\right)}^{2m-1}\left[\partial _{x}^{2m}b\left(u\right)\right]

En este flujo, $k$ es el orden máximo de polinomios en dos unidades de cálculo vecinas. $\left[\cdot \right]$ es el salto de una función. Tenga en cuenta que en cuadrículas no uniformes, $\Delta x$ debería ser $\left({\frac {\Delta x_{j}+\Delta x_{j+1}}{2}}\right)$ y ${\frac {1}{N}}$ en cuadrículas uniformes.

Estimaciones de error

Denotemos que el error entre la solución exacta $U$ y la solución numérica $u$ es $e=u-U$ .

Medimos el error con la siguiente norma:

$\left|\left|\left|v(\cdot ,t)\right|\right|\right|={\left(\int _{0}^{1}v^{2}dx+\left(1-\gamma \right)\int _{0}^{t}\sum _{j=1}^{N}\int _{I_{j}}v_{x}^{2}dxd\tau +\alpha \int _{0}^{t}\sum _{j=1}^{N}{\left[v\right]}^{2}/\Delta x\cdot d\tau \right)}^{0.5}$

Véase también

método de Galerkin

Referencias

↑ Hailiang Liu, Jue Yan, Métodos de Galerkin discontinuo directo (DDG) para problemas de difusión , SIAM J. NUMER. ANAL. Vol. 47, No. 1, pp. 675–698.
↑ Hailiang Liu, Jue Yan, El método de Galerkin discontinuo directo (DDG) para difusión con correcciones de interfaz , Commun. Comput. Phys. Vol. 8, No. 3, pp. 541-564.

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[1] Hailiang Liu, Jue Yan, Métodos de Galerkin discontinuo directo (DDG) para problemas de difusión , SIAM J. NUMER. ANAL. Vol. 47, No. 1, pp. 675–698.

[2] Hailiang Liu, Jue Yan, El método de Galerkin discontinuo directo (DDG) para difusión con correcciones de interfaz , Commun. Comput. Phys. Vol. 8, No. 3, pp. 541-564.

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