Hispanopedia Wiki
Articulo de referencia

Método de rigidez directa

En ingeniería estructural , el método de rigidez directa , también conocido como método de rigidez matricial , es una técnica de análisis estructural particularmente adecuada pa...

Hispanopedia WikiContenido en espanolLectura gratuita

En ingeniería estructural , el método de rigidez directa , también conocido como método de rigidez matricial , es una técnica de análisis estructural particularmente adecuada para el análisis automatizado por computadora de estructuras complejas, incluyendo las estáticamente indeterminadas . Es un método matricial que utiliza las relaciones de rigidez de los elementos para calcular las fuerzas y los desplazamientos en las estructuras. El método de rigidez directa es la implementación más común del método de elementos finitos (MEF). Al aplicar este método, el sistema debe modelarse como un conjunto de elementos idealizados más simples interconectados en los nodos. Las propiedades de rigidez del material de estos elementos se compilan, mediante álgebra lineal , en una única ecuación matricial que rige el comportamiento de toda la estructura idealizada. Los desplazamientos y las fuerzas desconocidas de la estructura se pueden determinar resolviendo esta ecuación. El método de rigidez directa constituye la base de la mayoría del software de elementos finitos.

El método de rigidez directa se originó en el campo aeroespacial . Los investigadores analizaron diversos enfoques para el análisis de estructuras de aviones complejas, incluyendo la teoría de la elasticidad , los principios energéticos de la mecánica estructural , el método de flexibilidad y el método de rigidez matricial . Fue a través del análisis de estos métodos que el método de rigidez directa surgió como un método eficiente, ideal para su implementación informática.

Historia

Entre 1934 y 1938, AR Collar y WJ Duncan publicaron los primeros artículos con la representación y la terminología para sistemas matriciales que se utilizan hoy en día. La investigación aeroelástica continuó durante la Segunda Guerra Mundial , pero las restricciones de publicación entre 1938 y 1947 dificultan el seguimiento de este trabajo. El segundo gran avance en el análisis estructural matricial se produjo entre 1954 y 1955, cuando el profesor John H. Argyris sistematizó el concepto de ensamblar los componentes elementales de una estructura en un sistema de ecuaciones. Finalmente, el 6 de noviembre de 1959, MJ Turner , jefe de la Unidad de Dinámica Estructural de Boeing , publicó un artículo que describía el método de rigidez directa como un modelo eficiente para su implementación informática ( Felippa 2001 ) .

Relaciones de rigidez de los miembros

Una relación típica de rigidez de un elemento tiene la siguiente forma general:

dónde

m = número de miembro m .
Qmetro{\displaystyle \mathbf {Q} ^{m}}= vector de fuerzas características del miembro, que son fuerzas internas desconocidas.
kmetro{\displaystyle \mathbf {k} ^{m}}= matriz de rigidez del elemento que caracteriza la resistencia del elemento a las deformaciones.
qmetro{\displaystyle \mathbf {q} ^{m}}= vector de desplazamientos o deformaciones características del elemento.
Qometro{\displaystyle \mathbf {Q} ^{om}}= vector de fuerzas características del elemento causadas por efectos externos (como fuerzas conocidas y cambios de temperatura) aplicados al elemento mientrasqmetro=0{\displaystyle \mathbf {q} ^{m}=0}.

Siqmetro{\displaystyle \mathbf {q} ^{m}}son deformaciones de los elementos en lugar de desplazamientos absolutos, entoncesQmetro{\displaystyle \mathbf {Q} ^{m}}son fuerzas independientes de los miembros, y en tal caso (1) se puede invertir para obtener la llamada matriz de flexibilidad de los miembros , que se utiliza en el método de flexibilidad .

Relación de rigidez del sistema

Para un sistema con muchos miembros interconectados en puntos llamados nodos, las relaciones de rigidez de los miembros, como la ecuación (1), se pueden integrar utilizando las siguientes observaciones:

  • Las deformaciones de los miembrosqmetro{\displaystyle \mathbf {q} ^{m}}Se puede expresar en términos de desplazamientos nodales del sistema r para garantizar la compatibilidad entre los elementos. Esto implica que r será la incógnita principal.
  • Las fuerzas miembrosQmetro{\displaystyle \mathbf {Q} ^{m}}ayuda a mantener los nodos en equilibrio bajo las fuerzas nodales R. Esto implica que el lado derecho de (1) se integrará en el lado derecho de las siguientes ecuaciones de equilibrio nodal para todo el sistema:

dónde

R{\displaystyle \mathbf {R} }= vector de fuerzas nodales, que representa las fuerzas externas aplicadas a los nodos del sistema.
K{\displaystyle \mathbf {K} }= matriz de rigidez del sistema, que se establece mediante el ensamblaje de las matrices de rigidez de los miembros.kmetro{\displaystyle \mathbf {k} ^{m}}.
r{\displaystyle \mathbf {r} }= vector de desplazamientos nodales del sistema que puede definir todas las posibles configuraciones deformadas del sistema sujeto a fuerzas nodales arbitrarias R.
Ro{\displaystyle \mathbf {R} ^{o}}= vector de fuerzas nodales equivalentes, que representa todos los efectos externos distintos de las fuerzas nodales que ya están incluidas en el vector de fuerza nodal precedente R. Este vector se establece mediante el ensamblaje de los miembros.Qometro{\displaystyle \mathbf {Q} ^{om}}.

Solución

La matriz de rigidez del sistema K es cuadrada ya que los vectores R y r tienen el mismo tamaño. Además, es simétrica porquekmetro{\displaystyle \mathbf {k} ^{m}}es simétrico. Una vez consideradas las restricciones de los apoyos en (2), los desplazamientos nodales se obtienen resolviendo el sistema de ecuaciones lineales (2), simbólicamente:

r=K−1(R−Ro)(3){\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {K} ^{-1}(\mathbf {R} -\mathbf {R} ^{o})\qquad \qquad \qquad \mathrm {(3)} }

Posteriormente, las fuerzas características de los miembros se pueden encontrar a partir de la ecuación (1) dondeqmetro{\displaystyle \mathbf {q} ^{m}}se puede encontrar desde r por consideración de compatibilidad.

El método de rigidez directa

Es común tener la ecuación (1) en una forma dondeqmetro{\displaystyle \mathbf {q} ^{m}}yQometro{\displaystyle \mathbf {Q} ^{om}}son, respectivamente, los desplazamientos y fuerzas en los extremos de los elementos que coinciden en dirección con r y R. En tal caso,K{\displaystyle \mathbf {K} }yRo{\displaystyle \mathbf {R} ^{o}}se puede obtener mediante la suma directa de las matrices de los miembroskmetro{\displaystyle \mathbf {k} ^{m}}yQometro{\displaystyle \mathbf {Q} ^{om}}El método se conoce entonces como el método de rigidez directa.

En el artículo sobre el método de flexibilidad se comparan y analizan las ventajas y desventajas del método de rigidez de la matriz .

Ejemplo

Descomponer

El primer paso al utilizar el método de rigidez directa es identificar los elementos individuales que componen la estructura.

Una vez identificados los elementos, la estructura se desconecta en los nodos, que son los puntos que conectan los diferentes elementos entre sí.

Cada elemento se analiza individualmente para desarrollar ecuaciones de rigidez. Las fuerzas y los desplazamientos se relacionan mediante la matriz de rigidez del elemento, que depende de la geometría y las propiedades del mismo.

Un elemento de celosía solo puede transmitir fuerzas de compresión o tensión. Esto significa que, en dos dimensiones, cada nodo tiene dos grados de libertad (GDL): desplazamiento horizontal y vertical. La ecuación resultante contiene una matriz de rigidez de cuatro por cuatro.

[Fincógnita1Fy1Fincógnita2Fy2]=[k11k12k13k14k21k22k23k24k31k32k33k34k41k42k43k44][túincógnita1túy1túincógnita2túy2]{\displaystyle {\begin{bmatrix}f_{x1}\\f_{y1}\\f_{x2}\\f_{y2}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}k_{11}&k_{12}&k_{13}&k_{14}\\k_{21}&k_{22}&k_{23}&k_{24}\\k_{31}&k_{32}&k_{33}&k_{34}\\k_{41}&k_{42}&k_{43}&k_{44}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{x1}\\u_{y1}\\u_{x2}\\u_{y2}\\\end{bmatrix}}}

Un elemento de estructura puede soportar momentos flectores, además de compresión y tracción. Esto resulta en tres grados de libertad: desplazamiento horizontal, desplazamiento vertical y rotación en el plano. La matriz de rigidez en este caso es de seis por seis.

[Fincógnita1Fy1metroz1Fincógnita2Fy2metroz2]=[k11k12k13k14k15k16k21k22k23k24k25k26k31k32k33k34k35k36k41k42k43k44k45k46k51k52k53k54k55k56k61k62k63k64k65k66][túincógnita1túy1θz1túincógnita2túy2θz2]{\displaystyle {\begin{bmatrix}f_{x1}\\f_{y1}\\m_{z1}\\f_{x2}\\f_{y2}\\m_{z2}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}k_{11}&k_{12}&k_{13}&k_{14}&k_{15}&k_{16}\\k_{21}&k_{22}&k_{23}&k_{24}&k_{25}&k_{26}\\k_{31}&k_{32}&k_{33}&k_{34}&k_{35}&k_{36}\\k_{41}&k_{42}&k_{43}&k_{44}&k_{45}&k_{46}\\k_{51}&k_{52}&k_{53}&k_{54}&k_{55}&k_{56}\\k_{61}&k_{62}&k_{63}&k_{64}&k_{65}&k_{66}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{x1}\\u_{y1}\\\theta _{z1}\\u_{x2}\\u_{y2}\\\theta _{z2}\\\end{bmatrix}}}

En el método de rigidez directa también se pueden incorporar otros elementos, como placas y láminas, y para ello deben desarrollarse ecuaciones similares.

Asamblea

Una vez desarrolladas las relaciones de rigidez de los elementos individuales, deben integrarse en la estructura original. El primer paso consiste en convertir las relaciones de rigidez de los elementos individuales en un sistema global para toda la estructura. En el caso de un elemento de celosía, la forma global del método de rigidez depende del ángulo del elemento con respecto al sistema de coordenadas global (generalmente el sistema de coordenadas cartesianas tradicional ).

[Fincógnita1Fy1Fincógnita2Fy2]=miAL[do2sdo−do2−sdosdos2−sdo−s2−do2−sdodo2sdo−sdo−s2sdos2][túincógnita1túy1túincógnita2túy2]s=pecado⁡βdo=porque⁡β{\displaystyle {\begin{bmatrix}f_{x1}\\f_{y1}\\f_{x2}\\f_{y2}\\\end{bmatrix}}={\frac {EA}{L}}{\begin{bmatrix}c^{2}&sc&-c^{2}&-sc\\sc&s^{2}&-sc&-s^{2}\\-c^{2}&-sc&c^{2}&sc\\-sc&-s^{2}&sc&s^{2}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{x1}\\u_{y1}\\u_{x2}\\u_{y2}\\\end{bmatrix}}{\begin{array}{r }s=\sin \beta \\c=\cos \beta \\\end{array}}}(para un elemento de celosía en ángulo β) Equivalentemente, [Fincógnita1Fy1Fincógnita2Fy2]=miAL[doincógnitadoincógnitadoincógnitadoy−doincógnitadoincógnita−doincógnitadoydoydoincógnitadoydoy−doydoincógnita−doydoy−doincógnitadoincógnita−doincógnitadoydoincógnitadoincógnitadoincógnitadoy−doydoincógnita−doydoydoydoincógnitadoydoy][túincógnita1túy1túincógnita2túy2]{\displaystyle {\begin{bmatrix}f_{x1}\\f_{y1}\\\hline f_{x2}\\f_{y2}\end{bmatrix}}={\frac {EA}{L}}\left[{\begin{array}{c c|c c}c_{x}c_{x}&c_{x}c_{y}&-c_{x}c_{x}&-c_{x}c_{y}\\c_{y}c_{x}&c_{y}c_{y}&-c_{y}c_{x}&-c_{y}c_{y}\\\hline -c_{x}c_{x}&-c_{x}c_{y}&c_{x}c_{x}&c_{x}c_{y}\\-c_{y}c_{x}&-c_{y}c_{y}&c_{y}c_{x}&c_{y}c_{y}\\\end{array}}\right]{\begin{bmatrix}u_{x1}\\u_{y1}\\\hline u_{x2}\\u_{y2}\end{bmatrix}}}

dóndedoincógnita{\displaystyle c_{x}}ydoy{\displaystyle c_{y}}son los cosenos directores del elemento de la celosía (es decir, son componentes de un vector unitario alineado con el elemento). Esta forma revela cómo generalizar la rigidez del elemento a celosías espaciales tridimensionales simplemente extendiendo el patrón que se evidencia en esta formulación.

Tras desarrollar la matriz de rigidez de los elementos en el sistema de coordenadas global, estas deben combinarse en una única matriz de rigidez "maestra" o "global". Al combinar estas matrices, deben cumplirse dos reglas: compatibilidad de desplazamientos y equilibrio de fuerzas en cada nodo. Estas reglas se garantizan relacionando los desplazamientos nodales de los elementos con los desplazamientos nodales globales.

Los vectores globales de desplazamiento y fuerza contienen una entrada por cada grado de libertad de la estructura. Las matrices de rigidez de los elementos se combinan aumentando o expandiendo cada matriz de acuerdo con los vectores globales de desplazamiento y carga.

k(1)=miAL[10−100000−10100000]→K(1)=miAL[10−1000000000−101000000000000000000000]{\displaystyle k^{(1)}={\frac {EA}{L}}{\begin{bmatrix}1&0&-1&0\\0&0&0&0\\-1&0&1&0\\0&0&0&0\\\end{bmatrix}}\rightarrow K^{(1)}={\frac {EA}{L}}{\begin{bmatrix}1&0&-1&0&0&0\\0&0&0&0&0&0\\-1&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0\\\end{bmatrix}}}(para el elemento (1) de la estructura anterior)

Finalmente, la matriz de rigidez global se construye sumando las matrices de elementos expandidos individuales.

Solución

Una vez construidas la matriz de rigidez global, el vector de desplazamiento y el vector de fuerza, el sistema puede expresarse como una única ecuación matricial.

Para cada grado de libertad en la estructura, se conoce el desplazamiento o la fuerza.

Tras introducir el valor conocido para cada grado de libertad, la ecuación maestra de rigidez queda completa y lista para su evaluación. Existen diversos métodos para evaluar una ecuación matricial, entre los que se incluyen la descomposición de Cholesky y la evaluación por fuerza bruta de sistemas de ecuaciones. Si una estructura no está debidamente sujeta, la aplicación de una fuerza provocará un movimiento rígido y será necesario añadir condiciones de apoyo adicionales.

El método descrito en esta sección ofrece una visión general del método de rigidez directa. Para obtener más detalles sobre el proceso y las suposiciones sobre las propiedades del material inherentes al mismo, se recomienda consultar fuentes adicionales.

Aplicaciones

El método de rigidez directa se desarrolló específicamente para implementarse de forma eficaz y sencilla en software informático para evaluar estructuras complejas con un gran número de elementos. Actualmente, casi todos los solucionadores de elementos finitos disponibles se basan en este método. Si bien todos los programas utilizan el mismo proceso, muchos se han optimizado para reducir el tiempo de cálculo y la memoria requerida. Para ello, se han desarrollado atajos.

Una de las áreas donde más se utiliza el método de rigidez directa es el análisis estructural, donde se ha integrado en software de modelado. Este software permite modelar una estructura y, tras definir las propiedades del material de los elementos, genera automáticamente las relaciones de rigidez, tanto individuales como globales. Al aplicar diversas condiciones de carga, el software evalúa la estructura y genera las deflexiones correspondientes.

Véase también

  • Aplicación del método de rigidez directa a un sistema de resortes unidimensional.
  • Análisis estructural de matrices
  • Animaciones de simulaciones de análisis de rigidez

Referencias

  • Felippa, Carlos A. (2001), "Esbozo histórico del análisis estructural matricial: una obra en tres actos" (PDF) , Computers & Structures , 79 (14): 1313–1324 , doi : 10.1016/S0045-7949(01)00025-6 , ISSN 0045-7949 , archivado del original (PDF) el 29-06-2007 , recuperado el 05-10-2005. 
  • Felippa, Carlos A. Introducción al método de elementos finitos. Otoño de 2001. Universidad de Colorado. 18 de septiembre de 2005.
  • Robinson, John. Análisis de matrices estructurales para ingenieros. Nueva York: John Wiley & Sons, 1966.
  • Rubinstein, Moshe F. Análisis computacional matricial de estructuras. Nueva Jersey: Prentice-Hall, 1966.
  • McGuire, W., Gallagher, RH y Ziemian, RD Análisis estructural de matrices, 2.ª ed. Nueva York: John Wiley & Sons, 2000.
Lecturas relacionadas
6 articulos
Ingeniería estructuralIngeniería estructuralLa ingeniería estructural es una subdisciplina de la ingeniería civil en la que los ingenieros estructurales están capacitados para diseñar los "hu...Una armadura triangular simple con cargas impuestas.Análisis estructuralEl análisis estructural es una rama de la mecánica de sólidos que utiliza modelos simplificados para sólidos como barras, vigas y láminas para la t...{\displaystyle \suma \mathbf {F} = 0:}Estáticamente indeterminadoEn estática y mecánica estructural , una estructura es estáticamente indeterminada cuando las ecuaciones de equilibrio (condiciones de equilibrio d...Dos corchetes altos con m filas, cada una de las cuales contiene n variables con la letra "a" como subíndice. A cada letra "a" se le asigna un número de fila y un número de columna como subíndice.Matriz (matemáticas)En matemáticas , una matriz ( pl.: matrices ) es una matriz rectangular o tabla de números , símbolos o expresiones , con elementos o entradas disp...RigidezRigidezLa rigidez es el grado en que un objeto resiste la deformación en respuesta a una fuerza aplicada . [1]Método de elementos finitosMétodo de elementos finitosVisualización de cómo se deforma un automóvil en un choque asimétrico mediante análisis de elementos finitos El método de elementos finitos ( MEF )...