Método de flexibilidad

En ingeniería estructural , el método de flexibilidad , también llamado método de deformaciones consistentes , es el método tradicional para calcular las fuerzas y desplazamientos de los elementos en sistemas estructurales. Su versión moderna, formulada en términos de las matrices de flexibilidad de los elementos , también tiene el nombre de método de fuerza matricial debido a que utiliza las fuerzas de los elementos como incógnitas primarias. ^[1]

La flexibilidad es la inversa de la rigidez . Por ejemplo, considere un resorte que tiene Q y q como, respectivamente, su fuerza y ​​su deformación:

• La relación de rigidez del resorte es Q = kq donde k es la rigidez del resorte.
• Su relación de flexibilidad es q = f Q , donde f es la flexibilidad del resorte.
• Por lo tanto, f = 1/ k .

Una relación de flexibilidad de miembros típica tiene la siguiente forma general:

dónde

m = número de miembro m .

${\displaystyle \mathbf {q} ^{m}}$= vector de deformaciones características del elemento.

${\displaystyle \mathbf {f} ^{m}}$= matriz de flexibilidad del miembro que caracteriza la susceptibilidad del miembro a deformarse bajo fuerzas.

${\displaystyle \mathbf {Q} ^{m}}$= vector de fuerzas características independientes de los elementos, que son fuerzas internas desconocidas. Estas fuerzas independientes dan lugar a todas las fuerzas en los extremos de los elementos por equilibrio de los mismos.

${\displaystyle \mathbf {q} ^{om}}$= vector de deformaciones características del miembro causadas por efectos externos (tales como fuerzas conocidas y cambios de temperatura) aplicados al miembro aislado y desconectado (es decir, con ).${\displaystyle \mathbf {Q} ^{m}=0}$

Para un sistema compuesto de muchos miembros interconectados en puntos llamados nodos, las relaciones de flexibilidad de los miembros se pueden reunir en una única ecuación matricial, eliminando el superíndice m:

donde M es el número total de deformaciones o fuerzas características de los miembros del sistema.

A diferencia del método de rigidez matricial , en el que las relaciones de rigidez de los elementos se pueden integrar fácilmente a través de condiciones de compatibilidad y equilibrio nodal, la forma actual de flexibilidad de la ecuación ( 2 ) plantea serias dificultades. Con las fuerzas de los elementos como incógnitas principales, el número de ecuaciones de equilibrio nodal es insuficiente para la solución, en general, a menos que el sistema esté estáticamente determinado . ${\displaystyle \mathbf {Q} _ {M\times 1}}$

Para resolver esta dificultad, primero utilizamos las ecuaciones de equilibrio nodal para reducir el número de fuerzas independientes desconocidas en los elementos. La ecuación de equilibrio nodal para el sistema tiene la forma:

dónde

${\displaystyle \mathbf {R} _ {N\times 1}}$: Vector de fuerzas nodales en todos los N grados de libertad del sistema.

${\displaystyle \mathbf {b} _ {N\veces M}}$:La matriz de equilibrio nodal resultante

${\displaystyle \mathbf {W} _ {N\times 1}}$:El vector de fuerzas que surgen de la carga sobre los elementos.

En el caso de sistemas determinados, la matriz b es cuadrada y la solución para Q se puede encontrar inmediatamente a partir de ( 3 ) siempre que el sistema sea estable.

Para sistemas estáticamente indeterminados , M > N , y por lo tanto, podemos aumentar ( 3 ) con I = M − N ecuaciones de la forma:

El vector X es el llamado vector de fuerzas redundantes e I es el grado de indeterminación estática del sistema. Normalmente elegimos j , k , …, , y tal que es una reacción de apoyo o una fuerza interna en el extremo del miembro. Con elecciones adecuadas de fuerzas redundantes, el sistema de ecuaciones ( 3 ) ampliado por ( 4 ) ahora se puede resolver para obtener: ${\estilo de visualización \alpha}$${\estilo de visualización \beta}$$Estilo de visualización X_{i}}$

Sustituyendo en ( 2 ) obtenemos:

Las ecuaciones ( 5 ) y ( 6 ) son la solución para el sistema primario , que es el sistema original que se ha vuelto estáticamente determinado por cortes que exponen las fuerzas redundantes . La ecuación ( 5 ) reduce efectivamente el conjunto de fuerzas desconocidas a . ${\displaystyle \mathbf {X} }$${\displaystyle \mathbf {X} }$

A continuación, debemos establecer ecuaciones de compatibilidad para encontrar . Las ecuaciones de compatibilidad restablecen la continuidad requerida en las secciones de corte al establecer los desplazamientos relativos en las redundantes X en cero. Es decir, utilizando el método de fuerza ficticia unitaria : ${\displaystyle I}$${\displaystyle \mathbf {X} }$${\displaystyle \mathbf {r} _{X}}$

dónde

${\displaystyle \mathbf {F} _{XX}=\mathbf {B} _{X}^{T}\mathbf {f} \mathbf {B} _{X}}$

${\displaystyle \mathbf {r} _{X}^{o}=\mathbf {B} _{X}^{T}{\Big [}\mathbf {f} {\Big (}\mathbf {B} _{R}\mathbf {R} +\mathbf {Q} _{v}{\Big )}+\mathbf {q} ^{o}{\Big ]}}$

La ecuación ( 7b ) se puede resolver para X , y las fuerzas de los miembros se encuentran a continuación a partir de ( 5 ), mientras que los desplazamientos nodales se pueden encontrar mediante

${\displaystyle \mathbf {r} _{R}=\mathbf {B} _{R}^{T}\mathbf {q} =\mathbf {F} _{RR}\mathbf {R} +\mathbf {r} _{R}^{o}}$

dónde

${\displaystyle \mathbf {F} _{RR}=\mathbf {B} _{R}^{T}\mathbf {f} \mathbf {B} _{R}}$es la matriz de flexibilidad del sistema .

${\displaystyle \mathbf {r} _{R}^{o}=\mathbf {B} _{R}^{T}{\Big [}\mathbf {f} {\Big (}\mathbf {B} _{X}\mathbf {X} +\mathbf {Q} _{v}{\Big )}+\mathbf {q} ^{o}{\Big ]}}$

Los movimientos de soportes que tienen lugar en los redundantes se pueden incluir en el lado derecho de la ecuación ( 7 ), mientras que los movimientos de soportes en otros lugares también deben incluirse en y .${\displaystyle \mathbf {r} _{X}^{o}}$${\displaystyle \mathbf {r} _{R}^{o}}$

Si bien la elección de fuerzas redundantes en ( 4 ) parece ser arbitraria y problemática para el cálculo automático, esta objeción se puede superar procediendo de ( 3 ) directamente a ( 5 ) utilizando un proceso de eliminación de Gauss-Jordan modificado . Este es un procedimiento robusto que selecciona automáticamente un buen conjunto de fuerzas redundantes para garantizar la estabilidad numérica.

Del proceso anterior se desprende que el método de rigidez matricial es más fácil de comprender y de implementar para el cálculo automático. También es más fácil de extender para aplicaciones avanzadas como el análisis no lineal, la estabilidad, las vibraciones, etc. Por estas razones, el método de rigidez matricial es el método de elección para su uso en paquetes de software de análisis estructural de propósito general. Por otro lado, para sistemas lineales con un bajo grado de indeterminación estática, el método de flexibilidad tiene la ventaja de ser computacionalmente menos intensivo. Esta ventaja, sin embargo, es un punto discutible ya que las computadoras personales están ampliamente disponibles y son más potentes. El principal factor redentor en el aprendizaje de este método hoy en día es su valor educativo al impartir los conceptos de equilibrio y compatibilidad, además de su valor histórico. En contraste, el procedimiento del método de rigidez directa es tan mecánico que corre el riesgo de ser utilizado sin un gran conocimiento de los comportamientos estructurales.

Los argumentos anteriores eran válidos hasta finales de los años 90. Sin embargo, los avances recientes en computación numérica han demostrado un regreso del método de fuerza, especialmente en el caso de sistemas no lineales. Se han desarrollado nuevos marcos que permiten formulaciones "exactas" independientemente del tipo o la naturaleza de las no linealidades del sistema. Las principales ventajas del método de flexibilidad es que el error del resultado es independiente de la discretización del modelo y que es de hecho un método muy rápido. Por ejemplo, la solución elastoplástica de una viga continua utilizando el método de fuerza requiere solo 4 elementos de viga, mientras que un código FEM comercial "basado en rigidez" requiere 500 elementos para dar resultados con la misma precisión. Para concluir, se puede decir que en el caso en que la solución del problema requiere evaluaciones recursivas del campo de fuerza como en el caso de la optimización estructural o la identificación del sistema , la eficiencia del método de flexibilidad es indiscutible.

• Método de elementos finitos en mecánica estructural
• Análisis estructural
• Método de rigidez

• Deformaciones consistentes - Método de fuerza Archivado el 10 de agosto de 2008 en Wayback Machine