Método de elementos finitos en mecánica estructural

El método de elementos finitos (MEF) es una técnica potente desarrollada originalmente para la solución numérica de problemas complejos en mecánica estructural , y sigue siendo el método de elección para el análisis de sistemas complejos. En el MEF, el sistema estructural se modela mediante un conjunto de elementos finitos apropiados interconectados en puntos discretos llamados nodos. Los elementos pueden tener propiedades físicas como espesor, coeficiente de dilatación térmica , densidad , módulo de Young , módulo de cizalladura y coeficiente de Poisson .

El origen del método de elementos finitos se remonta al análisis matricial de estructuras ^{[ 1 ] [ 2 ]} , donde se introdujo el concepto de matriz de desplazamiento o rigidez. Los conceptos de elementos finitos se desarrollaron a partir de métodos de ingeniería en la década de 1950. El método de elementos finitos obtuvo su verdadero impulso en las décadas de 1960 y 1970 gracias a John Argyris y sus colaboradores; en la Universidad de Stuttgart , por Ray W. Clough ; en la Universidad de California, Berkeley , por Olgierd Zienkiewicz y sus colaboradores Ernest Hinton y Bruce Irons ; ^{[ 3 ]} en la Universidad de Swansea , por Philippe G. Ciarlet ; en la Universidad de París ; y en la Universidad de Cornell , por Richard Gallagher y sus colaboradores. Los trabajos originales, como los de Argyris ^{[ 4 ]} y Clough ^{[ 5 ],} sentaron las bases de los métodos de análisis estructural de elementos finitos actuales.

• Elementos rectos o curvos unidimensionales con propiedades físicas como rigidez axial, a flexión y a torsión. Este tipo de elemento es adecuado para modelar cables, arriostramientos, cerchas, vigas, rigidizadores, rejillas y pórticos. Los elementos rectos suelen tener dos nodos, uno en cada extremo, mientras que los curvos requieren al menos tres nodos, incluyendo los de los extremos. Los elementos se ubican en el eje centroidal de los elementos reales.
• Elementos bidimensionales que resisten únicamente fuerzas en el plano mediante acción de membrana ( tensión plana, deformación plana ), y placas que resisten cargas transversales mediante acción de corte transversal y flexión (placas y láminas ). Pueden tener diversas formas, como triángulos y cuadriláteros planos o curvos . Los nodos se ubican generalmente en las esquinas del elemento, y se pueden colocar nodos adicionales a lo largo de los bordes del elemento o incluso dentro del mismo para mayor precisión. Los elementos se posicionan en la superficie media del espesor real de la capa.
• Elementos toroidales para problemas axisimétricos como membranas, placas gruesas, láminas y sólidos. La sección transversal de los elementos es similar a la de los tipos descritos anteriormente: unidimensional para placas delgadas y láminas, y bidimensional para sólidos, placas gruesas y láminas.
• Elementos tridimensionales para modelar sólidos 3D, como componentes de maquinaria , presas , terraplenes o masas de suelo. Las formas de elementos más comunes incluyen tetraedros y hexaedros . Los nodos se ubican en los vértices y, posiblemente, en las caras del elemento o dentro del mismo.

Desde el punto de vista de la aplicación, es importante modelar el sistema de tal manera que:

• Se aprovechan las condiciones de simetría o antisimetría para reducir el tamaño del modelo.
• Se garantiza la compatibilidad de desplazamientos, incluyendo cualquier discontinuidad necesaria, en los nodos y, preferiblemente, también a lo largo de los bordes de los elementos, especialmente cuando los elementos adyacentes son de diferente tipo, material o espesor. La compatibilidad de desplazamientos de múltiples nodos generalmente se puede imponer mediante relaciones de restricción.
• El comportamiento de los elementos debe reflejar las acciones dominantes del sistema real, tanto a nivel local como global.
• La malla de elementos debe ser suficientemente fina para obtener una precisión aceptable. Para evaluar la precisión, la malla se refina hasta que los resultados importantes presenten poca variación. Para una mayor precisión, la relación de aspecto de los elementos debe ser lo más cercana posible a la unidad, y se utilizan elementos más pequeños en las zonas con mayor gradiente de tensión .
• Se imponen restricciones de soporte adecuadas, prestando especial atención a los nodos situados en los ejes de simetría.

Los paquetes de software comerciales a gran escala suelen ofrecer herramientas para generar la malla y la visualización gráfica de la entrada y la salida, lo que facilita enormemente la verificación tanto de los datos de entrada como de la interpretación de los resultados.

Si bien la teoría del método de elementos finitos (MEF) puede presentarse desde diferentes perspectivas o con distintos enfoques, su desarrollo para el análisis estructural sigue el método más tradicional, basado en el principio del trabajo virtual o el principio de la mínima energía potencial total . El principio del trabajo virtual es más general, ya que se aplica tanto a comportamientos lineales como no lineales de los materiales. Este método expresa la conservación de la energía : para sistemas conservativos, el trabajo añadido al sistema por un conjunto de fuerzas aplicadas es igual a la energía almacenada en el sistema en forma de energía de deformación de los componentes de la estructura.

El principio de desplazamientos virtuales para el sistema estructural expresa la identidad matemática del trabajo virtual externo e interno:

En otras palabras, la suma del trabajo realizado sobre el sistema por el conjunto de fuerzas externas es igual al trabajo almacenado como energía de deformación en los elementos que componen el sistema.

El trabajo interno virtual en el lado derecho de la ecuación anterior se puede obtener sumando el trabajo virtual realizado sobre los elementos individuales. Esto último requiere el uso de funciones fuerza-desplazamiento que describan la respuesta de cada elemento individual. Por lo tanto, el desplazamiento de la estructura se describe mediante la respuesta de los elementos individuales (discretos) en conjunto. Las ecuaciones se escriben solo para el pequeño dominio de los elementos individuales de la estructura, en lugar de una sola ecuación que describa la respuesta del sistema en su conjunto (un continuo). Esto último daría lugar a un problema intratable, de ahí la utilidad del método de elementos finitos. Como se muestra en las secciones siguientes, la ecuación ( 1 ) conduce a la siguiente ecuación de equilibrio que rige el sistema:

dónde

${\displaystyle \mathbf {R} }$= vector de fuerzas nodales, que representa las fuerzas externas aplicadas a los nodos del sistema.

${\displaystyle \mathbf {K} }$= matriz de rigidez del sistema, que es el efecto colectivo de las matrices de rigidez de los elementos  individuales :${\displaystyle \mathbf {k} ^{e}}$.

${\displaystyle \mathbf {r} }$= vector de los desplazamientos nodales del sistema.

${\displaystyle \mathbf {R} ^{o}}$= vector de fuerzas nodales equivalentes, que representa todos los efectos externos distintos de las fuerzas nodales que ya están incluidas en el vector de fuerzas nodales precedente R. Estos efectos externos pueden incluir fuerzas superficiales distribuidas o concentradas, fuerzas de volumen, efectos térmicos, tensiones y deformaciones iniciales.

Una vez consideradas las restricciones de los apoyos, los desplazamientos nodales se obtienen resolviendo el sistema de ecuaciones lineales ( 2 ), simbólicamente:

Posteriormente, las deformaciones y tensiones en los elementos individuales se pueden encontrar de la siguiente manera:

dónde

${\displaystyle \mathbf {q} }$= vector de desplazamientos nodales: un subconjunto del vector de desplazamiento del sistema r que pertenece a los elementos en consideración.

${\displaystyle \mathbf {B} }$= matriz de deformación-desplazamiento que transforma los desplazamientos nodales q en deformaciones en cualquier punto del elemento.

${\displaystyle \mathbf {E} }$= matriz de elasticidad que transforma las deformaciones efectivas en tensiones en cualquier punto del elemento.

${\displaystyle \mathbf {\epsilon } ^{o}}$= vector de deformaciones iniciales en los elementos.

${\displaystyle \mathbf {\sigma } ^{o}}$= vector de tensiones iniciales en los elementos.

Aplicando la ecuación de trabajo virtual ( 1 ) al sistema, podemos establecer las matrices de elementos.${\displaystyle \mathbf {B} }$,${\displaystyle \mathbf {k} ^{e}}$así como la técnica de ensamblaje de las matrices del sistema${\displaystyle \mathbf {R} ^{o}}$y${\displaystyle \mathbf {K} }$. Otras matrices como${\displaystyle \mathbf {\epsilon } ^{o}}$,${\displaystyle \mathbf {\sigma } ^{o}}$,${\displaystyle \mathbf {R} }$y${\displaystyle \mathbf {E} }$ son valores conocidos y se pueden configurar directamente a partir de la entrada de datos.

Dejar${\displaystyle \mathbf {q} }$Sea el vector de desplazamientos nodales de un elemento típico. Los desplazamientos en cualquier otro punto del elemento se pueden encontrar mediante el uso de funciones de interpolación , como se muestra simbólicamente:

dónde

${\displaystyle \mathbf {u} }$= vector de desplazamientos en cualquier punto {x,y,z} del elemento.

${\displaystyle \mathbf {N} }$= matriz de funciones de forma que sirven como funciones de interpolación .

La ecuación ( 6 ) da lugar a otras cantidades de gran interés:

• Desplazamientos virtuales que son función de los desplazamientos nodales virtuales:
• Deformaciones en los elementos que resultan de los desplazamientos de los nodos del elemento:

  dónde${\displaystyle \mathbf {D} }$= matriz de operadores diferenciales que convierten desplazamientos en deformaciones utilizando la teoría de elasticidad lineal . La ecuación ( 7 ) muestra que la matriz B en ( 4 ) es

• Deformaciones virtuales consistentes con los desplazamientos nodales virtuales del elemento:

Para un elemento típico de volumen${\displaystyle V^{e}}$, el trabajo virtual interno debido a los desplazamientos virtuales se obtiene sustituyendo ( 5 ) y ( 9 ) en ( 1 ):

Sumando el trabajo virtual interno ( 14 ) para todos los elementos se obtiene el lado derecho de ( 1 ):

Considerando ahora el lado izquierdo de ( 1 ), el trabajo virtual externo del sistema consiste en:

• El trabajo realizado por las fuerzas nodales R :
• El trabajo realizado por fuerzas externas${\displaystyle \mathbf {T} ^{e}}$por parte${\displaystyle \mathbf {S} ^{e}}$de los bordes o superficies de los elementos, y por las fuerzas del cuerpo${\displaystyle \mathbf {f} ^{e}}$

  ${\displaystyle \sum _{e}\int _{S^{e}}\delta \ \mathbf {u} ^{T}\mathbf {T} ^{e}\,dS^{e}+\sum _{e}\int _{V^{e}}\delta \ \mathbf {u} ^{T}\mathbf {f} ^{e}\,dV^{e}}$

  La sustitución de ( 6b ) da como resultado:

  ${\displaystyle \delta \ \mathbf {q} ^{T}\sum _{e}\int _{S^{e}}\mathbf {N} ^{T}\mathbf {T} ^{e}\,dS^{e}+\delta \ \mathbf {q} ^{T}\sum _{e}\int _{V^{e}}\mathbf {N} ^{T}\mathbf {f} ^{e}\,dV^{e}}$

  o

  donde hemos introducido matrices de elementos adicionales definidas a continuación:

  Nuevamente, la integración numérica es conveniente para su evaluación. Un reemplazo similar de q en ( 17a ) por r da, después de reordenar y expandir los vectores${\displaystyle \mathbf {Q} ^{te},\mathbf {Q} ^{fe}}$:

Sumando ( 16 ), ( 17b ) e igualando la suma a ( 15 ) se obtiene: ${\displaystyle \delta \ \mathbf {r} ^{T}\mathbf {R} -\delta \ \mathbf {r} ^{T}\sum _{e}\left(\mathbf {Q} ^{te}+\mathbf {Q} ^{fe}\right)=\delta \ \mathbf {r} ^{T}\left(\sum _{e}\mathbf {k} ^{e}\right)\mathbf {r} +\delta \ \mathbf {r} ^{T}\sum _{e}\mathbf {Q} ^{oe}}$

Dado que los desplazamientos virtuales${\displaystyle \delta \ \mathbf {r} }$son arbitrarios, la igualdad precedente se reduce a:

${\displaystyle \mathbf {R} =\left(\sum _{e}\mathbf {k} ^{e}\right)\mathbf {r} +\sum _{e}\left(\mathbf {Q} ^{oe}+\mathbf {Q} ^{te}+\mathbf {Q} ^{fe}\right)}$

La comparación con ( 2 ) muestra que:

• La matriz de rigidez del sistema se obtiene sumando las matrices de rigidez de los elementos:

  ${\displaystyle \mathbf {K} =\sum _{e}\mathbf {k} ^{e}}$

• El vector de fuerzas nodales equivalentes se obtiene sumando los vectores de carga de los elementos:

  ${\displaystyle \mathbf {R} ^{o}=\sum _{e}\left(\mathbf {Q} ^{oe}+\mathbf {Q} ^{te}+\mathbf {Q} ^{fe}\right)}$

En la práctica, las matrices de elementos no se expanden ni se reorganizan. En cambio, la matriz de rigidez del sistema${\displaystyle \mathbf {K} }$se ensambla sumando coeficientes individuales${\displaystyle {k}_{ij}^{e}}$a${\displaystyle {K}_{kl}}$donde los subíndices ij, kl significan que los desplazamientos nodales del elemento${\displaystyle {q}_{i}^{e},{q}_{j}^{e}}$coinciden respectivamente con los desplazamientos nodales del sistema${\displaystyle {r}_{k},{r}_{l}}$. Similarmente,${\displaystyle \mathbf {R} ^{o}}$se ensambla sumando coeficientes individuales${\displaystyle {Q}_{i}^{e}}$a${\displaystyle {R}_{k}^{o}}$dónde${\displaystyle {q}_{i}^{e}}$partidos${\displaystyle {r}_{k}}$. Esta adición directa de${\displaystyle {k}_{ij}^{e}}$en${\displaystyle {K}_{kl}}$le da al procedimiento el nombre de Método de Rigidez Directa .

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