Elemento finito de intervalo

En el análisis numérico , el método de elementos finitos de intervalo ( FEM de intervalo ) es un método de elementos finitos que utiliza parámetros de intervalo. El FEM de intervalo se puede aplicar en situaciones en las que no es posible obtener características probabilísticas confiables de la estructura. Esto es importante en estructuras de hormigón, estructuras de madera, geomecánica, estructuras compuestas, biomecánica y en muchas otras áreas. ^[1] El objetivo del elemento finito de intervalo es encontrar límites superiores e inferiores de diferentes características del modelo (por ejemplo, tensión , desplazamientos , superficie de fluencia , etc.) y utilizar estos resultados en el proceso de diseño. Esto se denomina diseño del peor caso, que está estrechamente relacionado con el diseño de estado límite .

El diseño del peor caso requiere menos información que el diseño probabilístico , pero los resultados son más conservadores [Köylüoglu y Elishakoff 1998]. ^{[ cita requerida ]}

Considere la siguiente ecuación: donde a y b son números reales , y . $${\displaystyle ax=b}$$${\displaystyle x={\frac {b}{a}}}$

Muy a menudo, los valores exactos de los parámetros a y b son desconocidos.

Supongamos que y . En este caso, es necesario resolver la siguiente ecuación ${\displaystyle a\in [1,2]=\mathbf {a} }$${\displaystyle b\in[1,4]=\mathbf {b}}$$${\displaystyle [1,2]x=[1,4]}$$

Existen varias definiciones del conjunto solución de esta ecuación con parámetros de intervalo.

En este enfoque la solución es el siguiente conjunto $${\displaystyle \mathbf {x} =\left\{x:ax=b,a\in \mathbf {a} ,b\in \mathbf {b} \right\}={\frac {\mathbf {b} }{\mathbf {a} }}={\frac {[1,4]}{[1,2]}}=[0.5,4]}$$

Este es el conjunto de soluciones más popular de la ecuación de intervalo y este conjunto de soluciones se aplicará en este artículo.

En el caso multidimensional, el conjunto de soluciones unificadas es mucho más complicado. El conjunto de soluciones del siguiente sistema de ecuaciones lineales de intervalo se muestra en la siguiente imagen. $${\displaystyle {\begin{bmatrix}{[-4,-3]}&{[-2,2]}\\{[-2,2]}&{[-4,-3]}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{[-8,8]}\\{[-8,8]}\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle \sum {_{\existe \existe }}(\mathbf {A} ,\mathbf {b} )=\{x:Ax=b,A\in \mathbf {A} ,b\in \mathbf {b} \}}$$

El conjunto de soluciones exactas es muy complicado, por lo que es necesario encontrar el intervalo más pequeño que contenga el conjunto de soluciones exactas. $${\displaystyle \diamondsuit \left(\sum {_{\exists \exists }}(\mathbf {A} ,\mathbf {b} )\right)=\diamondsuit \{x:Ax=b,A\in \mathbf {A} ,b\in \mathbf {b} \}}$$ o simplemente donde Véase también [1] $${\displaystyle \diamondsuit \left(\sum {_{\exists \exists }}(\mathbf {A} ,\mathbf {b} )\right)=[{\underline {x}}_{1},{\overline {x}}_{1}]\times [{\underline {x}}_{2},{\overline {x}}_{2}]\times \dots \times [{\underline {x}}_{n},{\overline {x}}_{n}]}$$$${\displaystyle {\underline {x}}_{i}=\min\{x_{i}:Ax=b,A\in \mathbf {A} ,b\in \mathbf {b} \},\ \ {\overline {x}}_{i}=\max\{x_{i}:Ax=b,A\in \mathbf {A} ,b\in \mathbf {b} \}}$$ $${\displaystyle x_{i}\in \{x_{i}:Ax=b,A\in \mathbf {A} ,b\in \mathbf {b} \}=[{\underline {x}}_{i},{\overline {x}}_{i}]}$$

El método de elementos finitos de intervalo requiere la solución de un sistema de ecuaciones dependiente de parámetros (generalmente con una matriz definida positiva simétrica). Un ejemplo del conjunto de soluciones de un sistema general de ecuaciones dependiente de parámetros

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}p_{1}&p_{2}\\p_{2}+1&p_{1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {p_{1}+6p_{2}}{5.0}}\\2p_{1}-6\end{bmatrix}},\ \ {\text{para}}\ \ p_{1}\en [2,4],p_{2}\en [-2,1].}$$ se muestra en la imagen de abajo. ^[2]

En este enfoque, x es un número de intervalo para el cual se satisface la ecuación . En otras palabras, el lado izquierdo de la ecuación es igual al lado derecho de la ecuación. En este caso particular, la solución es porque $${\displaystyle [1,2]x=[1,4]}$$${\displaystyle x=[1,2]}$$${\displaystyle ax=[1,2][1,2]=[1,4]}$$

Si la incertidumbre es mayor, es decir , entonces debido a que ${\displaystyle a=[1,4]}$${\displaystyle x=[1,1]}$$${\displaystyle ax=[1,4][1,1]=[1,4]}$$

Si la incertidumbre es aún mayor, es decir , entonces la solución no existe. Es muy complejo encontrar una interpretación física del conjunto de soluciones de intervalos algebraicos. Por lo tanto, en las aplicaciones, se suele aplicar el conjunto de soluciones unificadas. ${\displaystyle a=[1,8]}$

Considere la EDP con los parámetros de intervalo

donde es un vector de parámetros que pertenecen a intervalos dados ${\displaystyle p=(p_{1},\dots ,p_{m})\in {\mathbf {p} }}$$${\displaystyle p_{i}\in [{\underline {p}}_{i},{\overline {p}}_{i}]={\mathbf {p} }_{i},}$$ $${\displaystyle {\mathbf {p} }={\mathbf {p} }_{1}\times {\mathbf {p} }_{2}\times \cdots \times {\mathbf {p} }_{m}.}$$

Por ejemplo, la ecuación de transferencia de calor donde son los parámetros del intervalo (es decir, ). $${\displaystyle k_{x}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+k_{y}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+q=0{\text{ for }}x\in \Omega }$$ $${\displaystyle u(x)=u^{*}(x){\text{ for }}x\in \partial \Omega }$$${\displaystyle k_{x},k_{y}}$${\displaystyle k_{x}\in {\mathbf {k} }_{x},\ k_{y}\in {\mathbf {k} }_{y}}$

La solución de la ecuación ( 1 ) se puede definir de la siguiente manera $${\displaystyle {\tilde {u}}(x):=\{u(x):G(x,u,p)=0,p\in {\mathbf {p} }\}}$$

Por ejemplo, en el caso de la ecuación de transferencia de calor $${\displaystyle {\tilde {u}}(x)=\left\{u(x):k_{x}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+k_{y}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+q=0{\text{ for }}x\in \Omega ,u(x)=u^{*}(x){\text{ for }}x\in \partial \Omega ,k_{x}\in {\mathbf {k} }_{x},\ k_{y}\in {\mathbf {k} }_{y}\right\}}$$

La solución es muy complicada porque en la práctica es más interesante encontrar el intervalo más pequeño posible que contenga el conjunto solución exacto . ${\displaystyle {\tilde {u}}}$${\displaystyle {\tilde {u}}}$

$${\displaystyle {\mathbf {u} }(x)=\lozenge {\tilde {u}}(x)=\lozenge \{u(x):G(x,u,p)=0,p\in {\mathbf {p} }\}}$$

Por ejemplo, en el caso de la ecuación de transferencia de calor $${\displaystyle {\mathbf {u} }(x)=\lozenge \left\{u(x):k_{x}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+k_{y}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+q=0{\text{ for }}x\in \Omega ,u(x)=u^{*}(x){\text{ for }}x\in \partial \Omega ,k_{x}\in {\mathbf {k} }_{x},\ k_{y}\in {\mathbf {k} }_{y}\right\}}$$

El método de elementos finitos conduce al siguiente sistema de ecuaciones algebraicas dependiente de parámetros, donde K es una matriz de rigidez y Q es un lado derecho. $${\displaystyle K(p)u=Q(p),\ \ \ p\in {\mathbf {p} }}$$

La solución de intervalo se puede definir como una función multivalor. $${\displaystyle {\mathbf {u} }=\lozenge \{u:K(p)u=Q(p),p\in {\mathbf {p} }\}}$$

En el caso más simple, el sistema anterior puede tratarse como un sistema de ecuaciones de intervalo lineal .

También es posible definir la solución de intervalo como una solución del siguiente problema de optimización $${\displaystyle {\underline {u}}_{i}=\min\{u_{i}:K(p)u=Q(p),p\in {\mathbf {p} }\}}$$ $${\displaystyle {\overline {u}}_{i}=\max\{u_{i}:K(p)u=Q(p),p\in {\mathbf {p} }\}}$$

En el caso multidimensional la solución del intervalo se puede escribir como $${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {u} _{1}\times \cdots \times \mathbf {u} _{n}=[{\underline {u}}_{1},{\overline {u}}_{1}]\times \cdots \times [{\underline {u}}_{n},{\overline {u}}_{n}]}$$

Es importante saber que los parámetros de intervalo generan resultados diferentes a los de las variables aleatorias distribuidas uniformemente .

El parámetro de intervalo tiene en cuenta todas las distribuciones de probabilidad posibles (para ). ${\displaystyle \mathbf {p} =[{\underline {p}},{\overline {p}}]}$${\displaystyle p\in [{\underline {p}},{\overline {p}}]}$

Para definir el parámetro de intervalo es necesario conocer solo el límite superior e inferior . ${\displaystyle {\overline {p}}}$${\displaystyle {\underline {p}}}$

Los cálculos de características probabilísticas requieren el conocimiento de muchos resultados experimentales.

Es posible demostrar que la suma de n números de intervalo es 1 veces más amplia que la suma de variables aleatorias distribuidas normalmente apropiadas. ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$

La suma de n números de intervalo es igual a ${\displaystyle \mathbf {p} =[{\underline {p}},{\overline {p}}]}$$${\displaystyle n\mathbf {p} =[n{\underline {p}},n{\overline {p}}]}$$

El ancho de ese intervalo es igual a $${\displaystyle n{\overline {p}}-n{\underline {p}}=n({\overline {p}}-{\underline {p}})=n\Delta p}$$

Consideremos una variable aleatoria X con distribución normal tal que $${\displaystyle m_{X}=E[X]={\frac {{\overline {p}}+{\underline {p}}}{2}},\sigma _{X}={\sqrt {\operatorname {Var} [X]}}={\frac {\Delta p}{6}}}$$

La suma de n variables aleatorias normalmente distribuidas es una variable aleatoria normalmente distribuida con las siguientes características (ver Six Sigma ) $${\displaystyle E[nX]=n{\frac {{\overline {p}}+{\underline {p}}}{2}},\sigma _{nX}={\sqrt {n\operatorname {Var} [X]}}={\sqrt {n}}\sigma ={\sqrt {n}}{\frac {\Delta p}{6}}}$$

Podemos suponer que el ancho del resultado probabilístico es igual a 6 sigma (compara Six Sigma ). $${\displaystyle 6\sigma _{nX}=6{\sqrt {n}}{\frac {\Delta p}{6}}={\sqrt {n}}\Delta p}$$

Ahora podemos comparar el ancho del resultado del intervalo y el resultado probabilístico. $${\displaystyle {\frac {{\text{width of }}n{\text{ intervals}}}{{\text{width of }}n{\text{ random variables}}}}={\frac {n\Delta p}{{\sqrt {n}}\Delta p}}={\sqrt {n}}}$$

Por ello, los resultados del método de elementos finitos de intervalo (o, en general, el análisis del peor de los casos) pueden sobreestimarse en comparación con el análisis de elementos finitos estocásticos (véase también propagación de la incertidumbre ). Sin embargo, en el caso de la incertidumbre no probabilística, no es posible aplicar métodos probabilísticos puros, ya que las características probabilísticas en ese caso no se conocen con exactitud ( Elishakoff 2000).

Es posible considerar variables aleatorias (y variables aleatorias difusas) con parámetros de intervalo (por ejemplo, con la media de intervalo, la varianza, etc.). Algunos investigadores utilizan mediciones de intervalo (difusas) en cálculos estadísticos (por ejemplo, [2] Archivado el 16 de junio de 2010 en Wayback Machine ). Como resultado de tales cálculos obtendremos la denominada probabilidad imprecisa .

La probabilidad imprecisa se entiende en un sentido muy amplio. Se utiliza como término genérico para abarcar todos los modelos matemáticos que miden el azar o la incertidumbre sin probabilidades numéricas precisas. Incluye tanto los modos cualitativos (probabilidad comparativa, ordenamientos de preferencias parciales, ...) como los cuantitativos (probabilidades de intervalo, funciones de creencia, previsiones superior e inferior, ...). Los modelos de probabilidad imprecisa son necesarios en problemas de inferencia donde la información relevante es escasa, vaga o conflictiva, y en problemas de decisión donde las preferencias también pueden ser incompletas [3].

En el problema de tensión - compresión , la siguiente ecuación muestra la relación entre el desplazamiento u y la fuerza P : donde L es la longitud, A es el área de una sección transversal y E es el módulo de Young . $${\displaystyle {\frac {EA}{L}}u=P}$$

Si el módulo de Young y la fuerza son inciertos, entonces $${\displaystyle E\in [{\underline {E}},{\overline {E}}],P\in [{\underline {P}},{\overline {P}}]}$$

Para encontrar los límites superior e inferior del desplazamiento u , calcule las siguientes derivadas parciales : $${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial E}}={\frac {-PL}{E^{2}A}}<0}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial P}}={\frac {L}{EA}}>0}$$

Calcule los valores extremos del desplazamiento de la siguiente manera: $${\displaystyle {\underline {u}}=u({\overline {E}},{\underline {P}})={\frac {{\underline {P}}L}{{\overline {E}}A}}}$$ $${\displaystyle {\overline {u}}=u({\underline {E}},{\overline {P}})={\frac {{\overline {P}}L}{{\underline {E}}A}}}$$

Calcule la tensión utilizando la siguiente fórmula: $${\displaystyle \varepsilon ={\frac {1}{L}}u}$$

Calcular la derivada de la deformación utilizando la derivada de los desplazamientos: $${\displaystyle {\frac {\partial \varepsilon }{\partial E}}={\frac {1}{L}}{\frac {\partial u}{\partial E}}={\frac {-P}{E^{2}A}}<0}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial \varepsilon }{\partial P}}={\frac {1}{L}}{\frac {\partial u}{\partial P}}={\frac {1}{EA}}>0}$$

Calcule los valores extremos del desplazamiento de la siguiente manera: $${\displaystyle {\underline {\varepsilon }}=\varepsilon ({\overline {E}},{\underline {P}})={\frac {\underline {P}}{{\overline {E}}A}}}$$ $${\displaystyle {\overline {\varepsilon }}=\varepsilon ({\underline {E}},{\overline {P}})={\frac {\overline {P}}{{\underline {E}}A}}}$$

También es posible calcular valores extremos de deformación utilizando los desplazamientos entonces $${\displaystyle {\frac {\partial \varepsilon }{\partial u}}={\frac {1}{L}}>0}$$$${\displaystyle {\underline {\varepsilon }}=\varepsilon ({\underline {u}})={\frac {\underline {P}}{{\overline {E}}A}}}$$ $${\displaystyle {\overline {\varepsilon }}=\varepsilon ({\overline {u}})={\frac {\overline {P}}{{\underline {E}}A}}}$$

La misma metodología se puede aplicar al estrés entonces y $${\displaystyle \sigma =E\varepsilon }$$$${\displaystyle {\frac {\partial \sigma }{\partial E}}=\varepsilon +E{\frac {\partial \varepsilon }{\partial E}}=\varepsilon +E{\frac {1}{L}}{\frac {\partial u}{\partial E}}={\frac {P}{EA}}-{\frac {P}{EA}}=0}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial \sigma }{\partial P}}=E{\frac {\partial \varepsilon }{\partial P}}=E{\frac {1}{L}}{\frac {\partial u}{\partial P}}={\frac {1}{A}}>0}$$$${\displaystyle {\underline {\sigma }}=\sigma ({\underline {P}})={\frac {\underline {P}}{A}}}$$ $${\displaystyle {\overline {\sigma }}=\sigma ({\overline {P}})={\frac {\overline {P}}{A}}}$$

Si tratamos el estrés como una función de la tensión, entonces $${\displaystyle {\frac {\partial \sigma }{\partial \varepsilon }}={\frac {\partial }{\partial \varepsilon }}(E\varepsilon )=E>0}$$$${\displaystyle {\underline {\sigma }}=\sigma ({\underline {\varepsilon }})=E{\underline {\varepsilon }}={\frac {\underline {P}}{A}}}$$ $${\displaystyle {\overline {\sigma }}=\sigma ({\overline {\varepsilon }})=E{\overline {\varepsilon }}={\frac {\overline {P}}{A}}}$$

La estructura es segura si la tensión es menor que un valor dado , es decir, esta condición es verdadera si ${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \sigma _{0}}$$${\displaystyle \sigma <\sigma _{0}}$$$${\displaystyle {\overline {\sigma }}<\sigma _{0}}$$

Después del cálculo sabemos que esta relación se cumple si $${\displaystyle {\frac {\overline {P}}{A}}<\sigma _{0}}$$

El ejemplo es muy simple pero muestra las aplicaciones de los parámetros de intervalo en mecánica. El método de elementos finitos de intervalo utiliza una metodología muy similar en casos multidimensionales [Pownuk 2004].

Sin embargo, en los casos multidimensionales la relación entre los parámetros inciertos y la solución no siempre es monótona. En esos casos, se deben aplicar métodos de optimización más complejos. ^[1]

En el caso de un problema de tensión- compresión , la ecuación de equilibrio tiene la siguiente forma , donde u es el desplazamiento, E es el módulo de Young , A es el área de la sección transversal y n es una carga distribuida. Para obtener una solución única, es necesario agregar condiciones de contorno apropiadas, por ejemplo: $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(EA{\frac {du}{dx}}\right)+n=0}$$$${\displaystyle u(0)=0}$$ $${\displaystyle \left.{\frac {du}{dx}}\right|_{x=0}EA=P}$$

Si el módulo de Young E y n son inciertos, entonces la solución del intervalo se puede definir de la siguiente manera

$${\displaystyle {\mathbf {u} }(x)=\left\{u(x):{\frac {d}{dx}}\left(EA{\frac {du}{dx}}\right)+n=0,u(0)=0,{\frac {du(0)}{dx}}EA=P,E\in [{\underline {E}},{\overline {E}}],P\in [{\underline {P}},{\overline {P}}]\right\}}$$

Para cada elemento FEM es posible multiplicar la ecuación por la función de prueba v donde$${\displaystyle \int _{0}^{L^{e}}\left({\frac {d}{dx}}\left(EA{\frac {du}{dx}}\right)+n\right)v=0}$$${\displaystyle x\in [0,L^{(e)}].}$

Después de la integración por partes obtendremos la ecuación en forma débil donde$${\displaystyle \int _{0}^{L^{(e)}}EA{\frac {du}{dx}}{\frac {dv}{dx}}dx=\int _{0}^{L^{(e)}}nv\,dx}$$${\displaystyle x\in [0,L^{(e)}].}$

Introduzcamos un conjunto de puntos de cuadrícula , donde es un número de elementos, y funciones de forma lineal para cada elemento FEM donde${\displaystyle x_{0},x_{1},\dots ,x_{Ne}}$${\displaystyle Ne}$$${\displaystyle N_{1}^{(e)}(x)=1-{\frac {1-x_{0}^{(e)}}{x_{1}^{(e)}-x_{0}^{(e)}}},\ \ N_{2}^{(e)}(x)={\frac {1-x_{0}^{(e)}}{x_{1}^{(e)}-x_{0}^{(e)}}}.}$$${\displaystyle x\in [x_{0}^{(e)},x_{1}^{(e)}].}$

${\displaystyle x_{1}^{(e)}}$punto extremo izquierdo del elemento, punto extremo izquierdo del elemento número "e". La solución aproximada en el elemento "e"-ésimo es una combinación lineal de las funciones de forma ${\displaystyle x_{1}^{(e)}}$

$${\displaystyle u_{h}^{(e)}(x)=u_{1}^{e}N_{1}^{(e)}(x)+u_{2}^{e}N_{2}^{(e)}(x),\ \ v_{h}^{(e)}(x)=u_{1}^{e}N_{1}^{(e)}(x)+u_{2}^{e}N_{2}^{(e)}(x)}$$

Después de sustituir la forma débil de la ecuación obtendremos el siguiente sistema de ecuaciones

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {E^{(e)}A^{(e)}}{L^{(e)}}}&-{\frac {E^{(e)}A^{(e)}}{L^{(e)}}}\\-{\frac {E^{(e)}A^{(e)}}{L^{(e)}}}&{\frac {E^{(e)}A^{(e)}}{L^{(e)}}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{1}^{(e)}\\u_{2}^{(e)}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\int _{0}^{L^{(e)}}nN_{1}^{(e)}(x)dx\\\int _{0}^{L^{(e)}}nN_{2}^{(e)}(x)dx\end{bmatrix}}}$$ o en forma matricial $${\displaystyle K^{(e)}u^{(e)}=Q^{(e)}}$$

Para armar la matriz de rigidez global es necesario considerar una ecuación de equilibrio en cada nodo. Luego de eso la ecuación tiene la siguiente forma matricial donde es la matriz de rigidez global, es el vector solución, es el lado derecho. $${\displaystyle Ku=Q}$$$${\displaystyle K={\begin{bmatrix}K_{11}^{(1)}&K_{12}^{(1)}&0&\cdots &0\\K_{21}^{(1)}&K_{22}^{(1)}+K_{11}^{(2)}&K_{12}^{(2)}&\cdots &0\\0&K_{21}^{(2)}&K_{22}^{(2)}+K_{11}^{(3)}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &K_{22}^{(Ne-1)}+K_{11}^{(Ne)}&K_{11}^{(Ne)}\\0&0&\cdots &K_{21}^{(Ne)}&K_{22}^{(Ne)}\end{bmatrix}}}$$$${\displaystyle u={\begin{bmatrix}u_{0}\\u_{1}\\\vdots \\u_{Ne}\\\end{bmatrix}}}$$$${\displaystyle Q={\begin{bmatrix}Q_{0}\\Q_{1}\\\vdots \\Q_{Ne}\\\end{bmatrix}}}$$

En el caso del problema de tensión-compresión

$${\displaystyle K={\begin{bmatrix}{\frac {E^{(1)}A^{(1)}}{L^{(1)}}}&-{\frac {E^{(1)}A^{(1)}}{L^{(1)}}}&0&\cdots &0\\-{\frac {E^{(1)}A^{(1)}}{L^{(1)}}}&{\frac {E^{(1)}A^{(1)}}{L^{(1)}}}+{\frac {E^{(2)}A^{(2)}}{L^{(2)}}}&-{\frac {E^{(2)}A^{(2)}}{L^{(2)}}}&\cdots &0\\0&-{\frac {E^{(2)}A^{(2)}}{L^{(2)}}}&{\frac {E^{(2)}A^{(2)}}{L^{(2)}}}+{\frac {E^{(3)}A^{(3)}}{L^{(3)}}}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &{\frac {E^{(Ne-1)}A^{(Ne-1)}}{L^{(Ne-1)}}}+{\frac {E^{(Ne)}A^{(Ne)}}{L^{(Ne)}}}&-{\frac {E^{(Ne)}A^{(Ne)}}{L^{(Ne)}}}\\0&0&\cdots &-{\frac {E^{(Ne)}A^{(Ne)}}{L^{(Ne)}}}&{\frac {E^{(Ne)}A^{(Ne)}}{L^{(Ne)}}}\end{bmatrix}}}$$

Si descuidamos la carga distribuida n

$${\displaystyle Q={\begin{bmatrix}R\\0\\\vdots \\0\\P\\\end{bmatrix}}}$$

Después de tener en cuenta las condiciones de contorno, la matriz de rigidez tiene la siguiente forma

$${\displaystyle K={\begin{bmatrix}1&0&0&\cdots &0\\0&{\frac {E^{(1)}A^{(1)}}{L^{(1)}}}+{\frac {E^{(2)}A^{(2)}}{L^{(2)}}}&-{\frac {E^{(2)}A^{(2)}}{L^{(2)}}}&\cdots &0\\0&-{\frac {E^{(2)}A^{(2)}}{L^{(2)}}}&{\frac {E^{(2)}A^{(2)}}{L^{(2)}}}+{\frac {E^{(3)}A^{(3)}}{L^{(3)}}}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &{\frac {E^{(e-1)}A^{(e-1)}}{L^{(e-1)}}}+{\frac {E^{(e)}A^{(e)}}{L^{(e)}}}&-{\frac {E^{(e)}A^{(e)}}{L^{(e)}}}\\0&0&\cdots &-{\frac {E^{(e)}A^{(e)}}{L^{(e)}}}&{\frac {E^{(e)}A^{(e)}}{L^{(e)}}}\end{bmatrix}}=K(E,A)=K{\left(E^{(1)},\dots ,E^{(Ne)},A^{(1)},\dots ,A^{(Ne)}\right)}}$$

El lado derecho tiene la siguiente forma

$${\displaystyle Q={\begin{bmatrix}0\\0\\\vdots \\0\\P\\\end{bmatrix}}=Q(P)}$$

Supongamos que el módulo de Young E , el área de la sección transversal A y la carga P son inciertos y pertenecen a algunos intervalos. $${\displaystyle E^{(e)}\in [{\underline {E}}^{(e)},{\overline {E}}^{(e)}]}$$ $${\displaystyle A^{(e)}\in [{\underline {A}}^{(e)},{\overline {A}}^{(e)}]}$$ $${\displaystyle P\in [{\underline {P}},{\overline {P}}]}$$

La solución del intervalo se puede definir calculando de la siguiente manera

$${\displaystyle \mathbf {u} =\lozenge \left\{u:K(E,A)u=Q(P),E^{(e)}\in [{\underline {E}}^{(e)},{\overline {E}}^{(e)}],A^{(e)}\in [{\underline {A}}^{(e)},{\overline {A}}^{(e)}],P\in [{\underline {P}},{\overline {P}}]\right\}}$$

El cálculo del vector de intervalo es en general NP-difícil , sin embargo en casos específicos es posible calcular la solución que se puede utilizar en muchas aplicaciones de ingeniería. ${\displaystyle {\mathbf {u} }}$

Los resultados de los cálculos son los desplazamientos de intervalo. $${\displaystyle u_{i}\in [{\underline {u}}_{i},{\overline {u}}_{i}]}$$

Supongamos que los desplazamientos en la columna deben ser menores que un valor dado (por razones de seguridad). $${\displaystyle u_{i}<u_{i}^{\max }}$$

El sistema incierto es seguro si la solución del intervalo satisface todas las condiciones de seguridad.

En este caso particular o simple $${\displaystyle u_{i}<u_{i}^{\max },\ \ \ u_{i}\in [{\underline {u}}_{i},{\overline {u}}_{i}]}$$$${\displaystyle {\overline {u}}_{i}<u_{i}^{\max }}$$

En el posprocesamiento es posible calcular las funciones de tensión de intervalo, deformación de intervalo y estado límite de intervalo y utilizar estos valores en el proceso de diseño.

El método de elementos finitos de intervalo se puede aplicar a la solución de problemas en los que no hay suficiente información para crear características probabilísticas confiables de las estructuras ( Elishakoff 2000). El método de elementos finitos de intervalo también se puede aplicar en la teoría de probabilidad imprecisa .

Es posible resolver la ecuación para todas las combinaciones posibles de puntos finales del intervalo . La lista de todos los vértices del intervalo se puede escribir como . Los límites superior e inferior de la solución se pueden calcular de la siguiente manera ${\displaystyle K(p)u(p)=Q(p)}$${\displaystyle {\hat {p}}}$
${\displaystyle {\hat {p}}}$${\displaystyle L=\{p_{1}^{*},...,p_{n}^{*}\}}$

$${\displaystyle {\underline {u}}_{i}=\min\{u_{i}(p_{k}^{*}):K(p_{k}^{*})u(p_{k}^{*})=Q(p_{k}^{*}),p_{k}^{*}\in L\}}$$ $${\displaystyle {\overline {u}}_{i}=\max\{u_{i}(p_{k}^{*}):K(p_{k}^{*})u(p_{k}^{*})=Q(p_{k}^{*}),p_{k}^{*}\in L\}}$$

El método de combinación de puntos finales proporciona una solución que suele ser exacta; desafortunadamente, el método tiene una complejidad computacional exponencial y no se puede aplicar a problemas con muchos parámetros de intervalo. ^[3]

La función se puede expandir utilizando la serie de Taylor . En el caso más simple, la serie de Taylor utiliza solo una aproximación lineal. ${\displaystyle u=u(p)}$

$${\displaystyle u_{i}(p)\approx u_{i}(p_{0})+\sum _{j}{\frac {\partial u(p_{0})}{\partial p_{j}}}\Delta p_{j}}$$

El límite superior e inferior de la solución se pueden calcular utilizando la siguiente fórmula

$${\displaystyle {\underline {u}}_{i}\approx u_{i}(p_{0})-\left|\sum _{j}{\frac {\partial u(p_{0})}{\partial p_{j}}}\right|\Delta p_{j}}$$

$${\displaystyle {\overline {u}}_{i}\approx u_{i}(p_{0})+\left|\sum _{j}{\frac {\partial u(p_{0})}{\partial p_{j}}}\right|\Delta p_{j}}$$

El método es muy eficiente, pero no es muy preciso.
Para mejorar la precisión, es posible aplicar una expansión de Taylor de orden superior [Pownuk 2004].
Este enfoque también se puede aplicar en el método de diferencias finitas de intervalos y en el método de elementos de contorno de intervalos .

Si el signo de las derivadas es constante, entonces la función es monótona y la solución exacta se puede calcular muy rápido. ${\displaystyle {\frac {\partial u_{i}}{\partial p_{j}}}}$${\displaystyle u_{i}=u_{i}(p)}$

Si entonces${\displaystyle {\frac {\partial u_{i}}{\partial p_{j}}}\geq 0}$${\displaystyle p_{i}^{\min }={\underline {p}}_{i},\ p_{i}^{\max }={\overline {p}}_{i}}$

Si entonces${\displaystyle {\frac {\partial u_{i}}{\partial p_{j}}}<0}$${\displaystyle p_{i}^{\min }={\overline {p}}_{i},\ p_{i}^{\max }={\underline {p}}_{i}}$

Los valores extremos de la solución se pueden calcular de la siguiente manera

$${\displaystyle {\underline {u}}_{i}=u_{i}(p^{\min }),\ {\overline {u}}_{i}=u_{i}(p^{\max })}$$

En muchas aplicaciones de ingeniería estructural, el método proporciona una solución exacta.
Si la solución no es monótona, la solución suele ser razonable. Para mejorar la precisión del método, es posible aplicar pruebas de monotonía y análisis de sensibilidad de orden superior. El método se puede aplicar a la solución de problemas lineales y no lineales de mecánica computacional [Pownuk 2004]. Las aplicaciones del método de análisis de sensibilidad a la solución de problemas de ingeniería civil se pueden encontrar en el siguiente artículo [MV Rama Rao, A. Pownuk e I. Skalna 2008].
Este enfoque también se puede aplicar en el método de diferencias finitas de intervalo y en el método de elementos de contorno de intervalo .

Muhanna y Mullen aplicaron la formulación elemento por elemento a la solución de la ecuación de elementos finitos con parámetros de intervalo. ^[4] Usando ese método es posible obtener la solución con precisión garantizada en el caso de estructuras de celosía y marco.

La matriz de rigidez de la solución y el vector de carga se pueden expandir utilizando la teoría de perturbaciones . La teoría de perturbaciones conduce al valor aproximado de la solución de intervalo. ^[5] El método es muy eficiente y se puede aplicar a grandes problemas de mecánica computacional. ${\displaystyle u=u(p)}$ ${\displaystyle K=K(p)}$${\displaystyle Q=Q(p)}$

Es posible aproximar la solución utilizando la superficie de respuesta . Luego es posible utilizar la superficie de respuesta para obtener la solución de intervalo. ^[6] Utilizando el método de superficie de respuesta es posible resolver problemas muy complejos de mecánica computacional. ^[7]${\displaystyle u=u(p)}$

Varios autores han intentado aplicar métodos de intervalos puros a la solución de problemas de elementos finitos con parámetros de intervalo. En algunos casos es posible obtener resultados muy interesantes, por ejemplo [Popova, Iankov, Bonev 2008]. Sin embargo, en general el método genera resultados muy sobreestimados. ^[8]

Popova ^[9] y Skalna ^[10] introdujeron métodos para la solución de sistemas de ecuaciones lineales en los que los coeficientes son combinaciones lineales de parámetros de intervalo. En este caso, es posible obtener una solución muy precisa de las ecuaciones de intervalo con una precisión garantizada.

• Método de elementos de contorno de intervalo
• Intervalo (matemáticas)
• Aritmética de intervalos
• Probabilidad imprecisa
• Función multivalor
• Inclusión diferencial
• Error de observación
• Conjunto compacto aleatorio
• Confiabilidad (estadísticas)
• Intervalo de confianza
• Mejor, peor y promedio de los casos
• Diseño probabilístico
• Propagación de la incertidumbre
• Análisis de incertidumbre experimental
• Análisis de sensibilidad
• Teoría de la perturbación
• Mecánica de medios continuos
• Mecánica de sólidos
• Braguero
• Marco espacial
• Elasticidad lineal
• Resistencia de los materiales

• Dempster, AP (1967). "Probabilidades superiores e inferiores inducidas por una función multivaluada". Annals of Mathematical Statistics 38 (2): 325–339. [4]. Consultado el 23 de septiembre de 2009.
• Análisis de la incertidumbre en la ingeniería civil, por W. Fellin, H. Lessmann, M. Oberguggenberger y R. Vieider (eds.), Springer-Verlag, Berlín, 2005
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