Análisis de incertidumbre experimental

Hay tres magnitudes que deben medirse: (1) la longitud del péndulo, desde su punto de suspensión hasta el centro de masa de la masa oscilante; (2) el periodo de oscilación ; (3) el ángulo de desplazamiento inicial. Se supone que la longitud es fija en este experimento y se medirá una sola vez, aunque podrían realizarse mediciones repetidas y promediarse los resultados.

El ángulo de desplazamiento inicial debe establecerse para cada medición repetida del período T , y se supone que este ángulo es constante. A menudo, el ángulo inicial se mantiene pequeño (menos de unos 10 grados) para que la corrección de este ángulo se considere despreciable; es decir, el término entre corchetes en la ecuación (2) se considera igual a la unidad. Sin embargo, para el experimento estudiado aquí, esta corrección es relevante, por lo que un valor típico de desplazamiento inicial podría oscilar entre 30 y 45 grados.

Supongamos que, sin que los estudiantes lo supieran, las mediciones de longitud eran, digamos, 5 mm menores de lo debido  . Esto podría deberse a un instrumento de medición defectuoso (por ejemplo, una regla) o, más probablemente, a un error sistemático en el uso de dicho instrumento para medir L. Esto podría ocurrir si los estudiantes olvidaron medir hasta el centro de masa de la masa y, en su lugar, midieron sistemáticamente hasta el punto donde se une la cuerda. Por lo tanto, este error no es aleatorio; ocurre cada vez que se mide la longitud.

A continuación, el periodo de oscilación T podría sufrir un error sistemático si, por ejemplo, los estudiantes contaran erróneamente los movimientos de vaivén del péndulo para obtener un número entero de ciclos. (A menudo, el procedimiento experimental requiere cronometrar varios ciclos, por ejemplo, cinco o diez, no solo uno). O tal vez el cronómetro digital que usaron tuviera un problema electrónico y registrara sistemáticamente un valor superior, digamos, en 0,02 segundos. Por supuesto, también habrá variaciones aleatorias en la medición del tiempo; este tema se abordará más adelante. Lo que nos preocupa aquí es un error sistemático, consistente y no aleatorio en la medición del periodo de oscilación del péndulo.

Finalmente, el ángulo inicial podría medirse con un transportador simple . Es difícil posicionar y leer el ángulo inicial con precisión (o exactitud, en realidad; esta medición tiene poca reproducibilidad ). Supongamos que los estudiantes colocan mal el transportador de forma sistemática , de modo que la lectura del ángulo es menor, digamos, en 5 grados. Entonces, todas las mediciones del ángulo inicial estarán sesgadas por esta cantidad.

Sin embargo, los sesgos no se conocen mientras el experimento está en curso . Si se supiera, por ejemplo, que las mediciones de longitud son 5  mm menores, los estudiantes podrían corregir su error de medición o añadir los 5  mm a sus datos para eliminar el sesgo. En cambio, lo más valioso es estudiar los efectos de posibles errores sistemáticos no aleatorios antes de realizar el experimento. Esto constituye un tipo de análisis de sensibilidad .

La idea es estimar la diferencia, o cambio fraccional , en la magnitud derivada, en este caso g , dado que las magnitudes medidas están sesgadas por una cantidad determinada. Por ejemplo, si el ángulo inicial fuera consistentemente menor en 5 grados, ¿qué efecto tendría esto en la estimación de g ? Si la longitud es consistentemente menor en 5  mm, ¿cuál es el cambio en la estimación de g ? Si las mediciones del período son consistentemente mayores en 0,02 segundos, ¿cuánto cambia la estimación de g ? ¿Qué sucede con la estimación de g si estos sesgos ocurren en diversas combinaciones?

Una de las razones para explorar estas cuestiones es que el diseño experimental , en lo que respecta al equipo y el procedimiento a utilizar (no en el sentido estadístico , que se abordará más adelante), depende del efecto relativo de los errores sistemáticos en las cantidades medidas. Si un sesgo de 5 grados en el ángulo inicial provocara un cambio inaceptable en la estimación de g , entonces quizás sea necesario idear un método más elaborado y preciso para esta medición. Por otro lado, si se puede demostrar, antes de realizar el experimento, que este ángulo tiene un efecto insignificante sobre g , entonces el uso del transportador es aceptable.

Otra motivación para este tipo de análisis de sensibilidad surge después de realizar el experimento, cuando el análisis de datos revela un sesgo en la estimación de g . Examinar el cambio en g que podría resultar de sesgos en los diversos parámetros de entrada , es decir, las cantidades medidas, puede ayudar a comprender la causa del sesgo en la estimación de g . Este análisis puede contribuir a identificar problemas como errores de medición, fallos en el equipo, suposiciones incorrectas sobre el modelo, etc.

La forma más directa, por no decir obvia, de abordar esto sería calcular directamente el cambio usando la ecuación (2) dos veces, una vez con valores sesgados teóricos y otra vez con los valores verdaderos e insesgados para los parámetros:

${\displaystyle \Delta {\hat {g}}\,\,\,=\,\,\,\,{\hat {g}}\left({L+\Delta L,\,\,\,T+\Delta T,\,\,\,\theta +\Delta \theta }\right)\,\,\,-\,\,\,{\hat {g}}\left({L,\,\,T,\,\,\theta }\right){\mathbf {\,\,\,\,\,\,\,\,\,Eq(3)} }}$

donde Δ L, etc., representan los sesgos en las cantidades medidas respectivas. (El símbolo sobre g significa el valor estimado de g ). Para que esto sea más concreto, consideremos un péndulo idealizado de 0,5 metros de longitud, con un ángulo de desplazamiento inicial de 30 grados; de la ecuación (1) el período será entonces de 1,443 segundos. Supongamos que los sesgos son −5  mm, −5 grados y +0,02 segundos, para L , θ y T respectivamente. Entonces, considerando primero solo el sesgo de longitud Δ L por sí mismo,

${\displaystyle \Delta {\hat {g}}\,\,\,=\,\,\,{\hat {g}}\left({0.495,\,\,\,1.443,\,\,\,30}\right)\,\,\,-\,\,\,{\hat {g}}\left({0.500,\,\,1.443,\,\,30}\right)\,\,\,=\,\,\,-0.098{\rm {\,\,\,m/s^{2}}}}$

y para este y los demás parámetros de medición T y θ, los cambios en g se registran en la Tabla 1 .

En el análisis de sensibilidad, es práctica común expresar los cambios como fracciones (o porcentajes). Entonces, el cambio fraccional exacto en g es

${\displaystyle {{\Delta {\hat {g}}} \over {\hat {g}}}\,\,\,=\,\,\,\,{{{\hat {g}}\left({L+\Delta L,\,\,\,T+\Delta T,\,\,\,\theta +\Delta \theta }\right)\,\,\,-\,\,\,{\hat {g}}\left({L,\,\,T,\,\,\theta }\right)} \over {{\hat {g}}\left({L,\,\,T,\,\,\theta }\right)}}{\mathbf {\,\,\,\,\,\,\,\,Eq(4)} }}$

Los resultados de estos cálculos para el sistema de péndulo de ejemplo se resumen en la Tabla 1.

A continuación, supongamos que no es práctico utilizar el método directo para hallar la dependencia de la magnitud derivada ( g ) con respecto a los parámetros de entrada medidos ( L, T, θ ). ¿Existe algún método alternativo? En cálculo, el concepto de diferencial total ^{[ 2 ]} resulta útil en este caso:

${\displaystyle dz={{\partial z} \over {\partial x_{1}}}dx_{1}\,\,\,+\,\,\,{{\partial z} \over {\partial x_{2}}}dx_{2}\,\,\,+\,\,\,{{\partial z} \over {\partial x_{3}}}dx_{3}\,\,\,+\,\,\,\cdots \,\,\,\,\,=\,\,\,\sum \limits _{i\,\,=\,\,1}^{p}{\,{{\partial z} \over {\partial x_{i}}}dx_{i}}{\mathbf {\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,Eq(5)} }}$

donde z es alguna función de varias ( p ) variables x . El símbolo ∂z / ∂x1 _representa la " derivada parcial " de la función z con respecto a una de las variables x que afectan a z . Para el propósito presente, encontrar esta derivada consiste en mantener constantes todas las variables excepto aquella con respecto a la cual se está encontrando la derivada parcial, y luego encontrar la primera derivada de la manera habitual (lo que puede, y a menudo lo hace, implicar la regla de la cadena ). En funciones que involucran ángulos, como lo hace la ecuación (2), los ángulos deben medirse en radianes .

La ecuación (5) es una función lineal que aproxima , por ejemplo, una curva en dos dimensiones ( p = 1) mediante una línea tangente en un punto de esa curva, o en tres dimensiones ( p = 2) aproxima una superficie mediante un plano tangente en un punto de esa superficie. La idea es que el cambio total en z en las proximidades de un punto específico se obtiene a partir de la ecuación (5). En la práctica, se utilizan diferencias finitas, en lugar de diferenciales, de modo que

${\displaystyle \Delta z\approx {{\partial z} \over {\partial x_{1}}}\Delta x_{1}\,\,\,+\,\,\,{{\partial z} \over {\partial x_{2}}}\Delta x_{2}\,\,\,+\,\,\,{{\partial z} \over {\partial x_{3}}}\Delta x_{3}\,\,\,+\,\,\,\cdots \,\,\,\,\,=\,\,\,\sum \limits _{i\,\,=\,\,1}^{p}{\,{{\partial z} \over {\partial x_{i}}}\Delta x_{i}}{\mathbf {\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,Eq(6)} }}$

y esto funciona muy bien siempre que los incrementos Δ x sean suficientemente pequeños. ^{[ 3 ]} Incluso las funciones altamente curvas son casi lineales en una región suficientemente pequeña. El cambio fraccional es entonces

${\displaystyle {{\Delta z} \over z}\,\,\,\approx \,\,\,{1 \over z}\,\,\sum \limits _{i\,\,=\,\,1}^{p}{\,{{\partial z} \over {\partial x_{i}}}\Delta x_{i}}{\mathbf {\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,Eq(7)} }}$

Una forma alternativa y útil de escribir la ecuación (6) utiliza el formalismo de matriz vectorial:

${\displaystyle \Delta z\,\,\approx \,\,{\begin{pmatrix}{\partial z \over \partial x_{1}}&{\partial z \over \partial x_{2}}&{\partial z \over \partial x_{3}}&\cdots &{\partial z \over \partial x_{p}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\Delta x_{1}}\\{\Delta x_{2}}\\{\Delta x_{3}}\\{\vdots }\\{\Delta x_{p}}\end{pmatrix}}{\mathbf {\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,Eq(8)} }}$

En la aplicación de estas derivadas parciales , tenga en cuenta que son funciones que se evaluarán en un punto ; es decir, todos los parámetros que aparecen en las derivadas parciales tendrán valores numéricos. Por lo tanto, el producto vectorial en la ecuación (8), por ejemplo, dará como resultado un único valor numérico. Para los estudios de sesgo, los valores utilizados en las derivadas parciales son los valores reales de los parámetros, ya que estamos aproximando la función z en una pequeña región cercana a estos valores reales.

Volviendo al ejemplo del péndulo y aplicando estas ecuaciones, el cambio absoluto en la estimación de g es

${\displaystyle \Delta {\hat {g}}\,\,\approx \,\,{{\partial {\hat {g}}} \over {\partial L}}\Delta L\,\,\,+\,\,\,{{\partial {\hat {g}}} \over {\partial T}}\Delta T\,\,\,+\,\,\,{{\partial {\hat {g}}} \over {\partial \theta }}\Delta \theta {\mathbf {\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,Eq(9)} }}$

y ahora la tarea es encontrar las derivadas parciales en esta ecuación. Esto simplificará considerablemente el proceso de definición.

${\displaystyle \alpha (\theta )\,\,\equiv \,\,\left[{\,1\,\,\,+\,\,\,{1 \over 4}\sin ^{2}\left({\theta \over 2}\right)\,}\right]^{2}}$

Reescribiendo la ecuación (2) y tomando los parciales,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {g}}&={{4\pi ^{2}L} \over {T^{2}}}\alpha (\theta )\\\\{{\partial {\hat {g}}} \over {\partial L}}\,\,&=\,\,\,{{4\,\pi ^{2}} \over {T^{2}}}\alpha (\theta )\\\\{{\partial {\hat {g}}} \over {\partial T}}\,\,&=\,\,{{-8\,L\,\pi ^{2}} \over {T^{3}}}\alpha (\theta )\\\\{{\partial {\hat {g}}} \over {\partial \theta }}\,\,&=\,\,{{L\,\pi ^{2}} \over {T^{2}}}\,\,{\sqrt {\alpha (\theta )}}\,\,\sin(\theta )\\\\{\mathbf {\,\,\,\,Eq(10)} }\end{aligned}}}$

Sustituyendo estas derivadas en la ecuación (9),

${\displaystyle \Delta {\hat {g}}\,\,\,\approx \,\,\,\left[{{{4\,\pi ^{2}} \over {T^{2}}}\alpha (\theta )}\right]\,\Delta L\,\,\,\,\,+\,\,\,\,\,\,\left[{{{-8\,L\,\pi ^{2}} \over {T^{3}}}\alpha (\theta )}\right]\Delta T\,\,\,+\,\,\,\,\left[{{{L\,\pi ^{2}} \over {T^{2}}}\,\,{\sqrt {\alpha (\theta )}}\,\,\sin(\theta )}\right]\Delta \theta {\mathbf {\,\,\,\,\,\,\,\,Eq(11)} }}$

y luego aplicando los mismos valores numéricos para los parámetros y sus sesgos que antes, se obtienen los resultados de la Tabla 1. Los valores son razonablemente cercanos a los encontrados usando la Ec. (3), pero no exactos, excepto para L. Esto se debe a que el cambio en g es lineal con L , lo que se puede deducir del hecho de que el parcial con respecto a (con respecto a) L no depende de L. Por lo tanto, la "aproximación" lineal resulta ser exacta para L. El parcial con respecto a θ es más complicado y resulta de aplicar la regla de la cadena a α . Además, al usar la Ec. (10) en la Ec. (9), tenga en cuenta que las medidas de ángulo, incluyendo Δ θ , deben convertirse de grados a radianes.

El cambio fraccional de aproximación linealizada en la estimación de g es, aplicando la ecuación (7) al ejemplo del péndulo,

${\displaystyle {{\Delta {\hat {g}}} \over {\hat {g}}}\,\,\,\,\approx \,\,\,\,{1 \over {\hat {g}}}\,\,{{\partial {\hat {g}}} \over {\partial L}}\Delta L\,\,\,+\,\,\,\,{1 \over {\hat {g}}}\,\,{{\partial {\hat {g}}} \over {\partial T}}\Delta T\,\,\,+\,\,\,\,{1 \over {\hat {g}}}\,\,{{\partial {\hat {g}}} \over {\partial \theta }}\Delta \theta }$

lo cual parece muy complicado, pero en la práctica esto suele resultar en una relación simple para el cambio fraccional. Por lo tanto,

${\displaystyle {{\Delta {\hat {g}}} \over {\hat {g}}}\,\,\,\approx \,\,\,\left[{{{{4\,\pi ^{2}} \over {T^{2}}}\alpha (\theta )} \over {{{4\,\pi ^{2}L} \over {T^{2}}}\alpha (\theta )}}\right]\,\Delta L\,\,\,\,\,+\,\,\,\,\,\,\left[{{{{-8\,L\,\pi ^{2}} \over {T^{3}}}\alpha (\theta )} \over {{{4\,\pi ^{2}L} \over {T^{2}}}\alpha (\theta )}}\right]\Delta T\,\,\,+\,\,\,\,\left[{{{{L\,\pi ^{2}} \over {T^{2}}}\,\,{\sqrt {\alpha (\theta )}}\,\,\sin(\theta )} \over {{{4\,\pi ^{2}L} \over {T^{2}}}\alpha (\theta )}}\right]\Delta \theta }$

lo cual se reduce a

${\displaystyle {{\Delta {\hat {g}}} \over {\hat {g}}}\,\,\,\approx \,\,\,{{\Delta L} \over L}\,\,\,-\,\,\,2\,\,{{\Delta T} \over T}\,\,\,+\,\,\,{{\sin(\theta )} \over {4\,{\sqrt {\alpha (\theta )}}}}\Delta \theta }$

Este, salvo el último término, es un resultado notablemente simple. Desarrollando el último término como una serie en θ ,

${\displaystyle {{\sin(\theta )} \over {4\left[{1\,\,\,+\,\,\,{1 \over 4}\sin ^{2}\left({\theta \over 2}\right)}\right]}}\,\,\,\approx \,\,\,{\theta \over 4}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,{\theta \over 4}\,\,\Delta \theta \,\,\,=\,\,\,{{\theta ^{2}} \over 4}{{\Delta \theta } \over \theta }}$

por lo tanto, el resultado para la aproximación linealizada para el cambio fraccional en la estimación de g es

${\displaystyle {{\Delta {\hat {g}}} \over {\hat {g}}}\,\,\,\approx \,\,\,{{\Delta L} \over L}\,\,\,\,\,-\,\,\,2\,\,{{\Delta T} \over T}\,\,\,\,\,+\,\,\,\,\,\left({\theta \over 2}\right)^{2}{{\Delta \theta } \over \theta }{\mathbf {\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,Eq(12)} }}$

Recordando que los ángulos se miden en radianes y que el valor utilizado en el ejemplo es de 30 grados, esto equivale aproximadamente a 0,524 radianes; dividido por la mitad y elevado al cuadrado, como indica el coeficiente del cambio fraccional en θ , este coeficiente es aproximadamente 0,07. De la ecuación (12) se puede concluir fácilmente que los parámetros de mayor a menor influencia son T, L y θ. Dicho de otro modo, la magnitud derivada g es más sensible, por ejemplo, a la magnitud medida T que a L o θ . Sustituyendo los valores numéricos del ejemplo, los resultados se muestran en la Tabla 1 y concuerdan razonablemente bien con los obtenidos mediante la ecuación (4).

La forma de la ecuación (12) suele ser el objetivo de un análisis de sensibilidad, ya que es general, es decir, no está ligada a un conjunto específico de valores de parámetros, como ocurría con el método de cálculo directo de las ecuaciones (3) o (4), y resulta evidente, mediante simple inspección, qué parámetros tienen mayor efecto en caso de errores sistemáticos. Por ejemplo, si la medición de la longitud L fuera un diez por ciento superior, la estimación de g también lo sería. Si el período T se subestimara en un 20 por ciento, la estimación de g se sobreestimaría en un 40 por ciento (nótese el signo negativo del término T ). Si el ángulo inicial θ se sobreestimara en un diez por ciento, la estimación de g se sobreestimaría en aproximadamente un 0,7 por ciento.

Esta información es muy valiosa para el análisis de datos posterior al experimento, ya que permite determinar qué mediciones podrían haber contribuido a un sesgo observado en el resultado general (estimación de g ). Por ejemplo, el ángulo podría descartarse rápidamente como la única fuente de un sesgo en g de, digamos, un 10 %. El ángulo tendría que tener un error de aproximadamente el 140 %, lo cual, esperemos, no es físicamente plausible.

A continuación, consideremos que, a medida que los estudiantes midan repetidamente el período de oscilación del péndulo, obtendrán valores diferentes en cada medición. Estas fluctuaciones son aleatorias: pequeñas diferencias en el tiempo de reacción al usar el cronómetro, diferencias al estimar cuándo el péndulo ha alcanzado su máximo recorrido angular, etc. Todos estos factores interactúan para producir variaciones en la magnitud medida. Esto no es el sesgo que se mencionó anteriormente, donde se asumió una discrepancia de 0,02 segundos entre la lectura del cronómetro y el período real T. El sesgo es un valor fijo y constante; la variación aleatoria es precisamente eso: aleatoria e impredecible.

Las variaciones aleatorias no son predecibles, pero tienden a seguir ciertas reglas, las cuales suelen resumirse mediante una función de densidad de probabilidad (FDP). Esta función, a su vez, posee algunos parámetros muy útiles para describir la variación de las mediciones observadas. Dos de estos parámetros son la media y la varianza de la FDP. Básicamente, la media representa la posición de la FDP en la recta numérica real, y la varianza describe la dispersión o amplitud de la FDP.

Para ilustrarlo, la Figura 1 muestra la denominada PDF normal , que se asumirá como la distribución de los períodos de tiempo observados en el experimento del péndulo. Ignorando por el momento todos los sesgos en las mediciones, entonces la media de esta PDF estará en el valor real de T para el péndulo idealizado de 0,5 metros, que tiene un ángulo inicial de 30 grados, es decir, de la Ec. (1), 1,443 segundos. En la figura hay 10000 mediciones simuladas en el histograma (que ordena los datos en intervalos de ancho pequeño, para mostrar la forma de la distribución), y la PDF normal es la línea continua. La línea vertical es la media.

Lo interesante de las fluctuaciones aleatorias es la varianza. La raíz cuadrada positiva de la varianza se define como la desviación estándar , y es una medida de la amplitud de la función de densidad de probabilidad (FDP). Existen otras medidas, pero la desviación estándar, simbolizada por la letra griega σ ("sigma"), es, con mucho, la más utilizada. Para esta simulación, se utilizó una sigma de 0,03 segundos para las mediciones de T ; se asumió una variabilidad despreciable para las mediciones de L y θ .

En la figura, las anchuras de una, dos y tres desviaciones estándar se indican mediante líneas verticales punteadas con flechas. Se observa que una anchura de tres desviaciones estándar a cada lado de la media abarca casi la totalidad de los datos de la función de densidad de probabilidad normal. El rango de valores de tiempo observados va de aproximadamente 1,35 a 1,55 segundos, pero la mayoría de estas mediciones de tiempo se encuentran en un intervalo más estrecho.

La Figura 1 muestra los resultados de medición para muchas mediciones repetidas del período del péndulo T. Supongamos que estas mediciones se usaran, una a la vez, en la Ecuación (2) para estimar g . ¿Cuál sería la PDF de esas estimaciones de g ? Con esa PDF, ¿cuáles son la media y la varianza de las estimaciones de g ? Esta no es una pregunta sencilla de responder, por lo que una simulación será la mejor manera de ver qué sucede. En la Figura 2 hay nuevamente 10000 mediciones de T , que luego se usan en la Ecuación (2) para estimar g, y esas 10000 estimaciones se colocan en el histograma. La media (línea negra vertical) concuerda estrechamente ^{[ 4 ]} con el valor conocido para g de 9.8  m/ ^s² .

A veces es posible derivar la PDF real de los datos transformados. En el ejemplo del péndulo, las mediciones de tiempo T se elevan al cuadrado en la ecuación (2) y se dividen en algunos factores que, por ahora, pueden considerarse constantes. Usando reglas para la transformación de variables aleatorias ^{[ 5 ],} se puede demostrar que si las mediciones de T tienen una distribución normal, como en la Figura 1, entonces las estimaciones de g siguen otra distribución (complicada) que puede derivarse analíticamente. Esa PDF de g se grafica con el histograma (línea negra) y la concordancia con los datos es muy buena. También se muestra en la Figura 2 una curva de PDF de g (línea discontinua roja) para los valores sesgados de T que se usaron en la discusión anterior sobre el sesgo. Así, la media de la PDF de g con T sesgado es de 9,800 − 0,266  m/s² ⁽ ver Tabla 1).

Consideremos nuevamente, como se hizo en la discusión sobre el sesgo anterior, una función

${\displaystyle z\,\,\,=\,\,\,f\left({x_{1}\,\,\,x_{2}\,\,\,x_{3}\,\,...\,\,\,x_{p}}\right)}$

donde f no tiene por qué ser, y a menudo no lo es, lineal, y las x son variables aleatorias que en general no tienen por qué tener una distribución normal, y que en general pueden estar correlacionadas entre sí. Al analizar los resultados de un experimento, la media y la varianza de la cantidad derivada z, que será una variable aleatoria , son de interés. Estas se definen como los valores esperados.

${\displaystyle \mu _{z}\,\,=\,\,\,{\rm {E}}\,[z]\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\sigma _{z}^{2}\,\,\,=\,\,\,{\rm {E}}\,\left[{\left({z\,\,-\,\,\mu _{z}}\right)^{2}}\right]}$

es decir, el primer momento de la PDF respecto al origen y el segundo momento de la PDF respecto a la media de la variable aleatoria derivada z . Estos valores esperados se encuentran utilizando una integral, para las variables continuas que se consideran aquí. Sin embargo, para evaluar estas integrales se necesita una forma funcional para la PDF de la cantidad derivada z . Se ha observado que ^{[ 6 ]}

El cálculo exacto de las varianzas de funciones no lineales de variables sujetas a error suele ser un problema de gran complejidad matemática. De hecho, una parte sustancial de la estadística matemática se centra en el problema general de derivar la función de densidad de probabilidad (FDP) completa de dichas funciones, a partir de la cual se puede obtener la varianza.

Para ilustrarlo, un ejemplo sencillo de este proceso es hallar la media y la varianza de la cantidad derivada z = x² ^donde la cantidad medida x se distribuye normalmente con media μ y varianza σ² . La cantidad derivada z tendrá una nueva función de densidad de probabilidad (PDF), que (a veces) se puede hallar utilizando las reglas del cálculo de probabilidades. ^{[ 7 ] En} este caso, se puede demostrar utilizando estas reglas que la PDF de z será

${\displaystyle {\rm {PDF}}_{z}\,\,\,\sim \,\,\,{1 \over {2{\sqrt {z}}}}\,\,\,{1 \over {{\sqrt {2\pi }}\,\,\sigma }}\left[{\exp \left({-\,\,{{\left({{\sqrt {z}}-\mu }\right)^{2}} \over {2\,\sigma ^{2}}}}\right)\,\,\,+\,\,\,\exp \left({-\,\,{{\left({-{\sqrt {z}}-\mu }\right)^{2}} \over {2\,\sigma ^{2}}}}\right)}\right]}$

Integrando esto desde cero hasta infinito positivo se obtiene la unidad, lo que verifica que se trata de una función de densidad de probabilidad (FDP). A continuación, se necesitan la media y la varianza de esta FDP para caracterizar la magnitud derivada z . La media y la varianza (en realidad, el error cuadrático medio , una distinción que no se abordará aquí) se obtienen a partir de las integrales.

${\displaystyle \mu _{z}\,\,=\,\,\,\int _{\,\,0}^{\,\,\infty }{z\,{\rm {PDF}}_{z}}\,dz\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\sigma _{z}^{2}\,\,=\,\,\int _{\,\,0}^{\,\,\infty }{\left({z-\mu _{z}}\right)^{2}\,}{\rm {PDF}}_{z}\,dz}$

si estas funciones son integrables en absoluto . Como sucede en este caso, son posibles resultados analíticos, ^{[ 8 ]} y se encuentra que

${\displaystyle \mu _{z}=\mu ^{2}+\,\,\sigma ^{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\sigma _{z}^{2}\,\,=\,\,2\,\sigma ^{2}\left({2\mu ^{2}+\,\,\sigma ^{2}}\right)}$

Estos resultados son exactos. Cabe destacar que la media (valor esperado) de z no es lo que lógicamente se esperaría, es decir, simplemente el cuadrado de la media de x . Por lo tanto, incluso utilizando la función no lineal más simple, el cuadrado de una variable aleatoria, el proceso de hallar la media y la varianza de la magnitud resultante es difícil, y para funciones más complejas se puede afirmar que este proceso no es práctico para el análisis de datos experimentales.

Como es práctica habitual en estos estudios, los resultados anteriores pueden verificarse mediante una simulación. La Figura 3 muestra un histograma de 10 000 muestras de z , con la función de densidad de probabilidad (FDP) también representada gráficamente; la concordancia es excelente. En esta simulación, los datos de x tenían una media de 10 y una desviación estándar de 2. Por lo tanto, el valor esperado ingenuo para z sería, por supuesto, 100. La línea vertical de "media sesgada" se obtiene utilizando la expresión anterior para μ _z , y concuerda bien con la media observada (es decir, calculada a partir de los datos; línea vertical discontinua), y la media sesgada está por encima del valor "esperado" de 100. La curva discontinua que se muestra en esta figura es una FDP normal que se abordará más adelante.

Si, como suele ocurrir, no se ha hallado la función de densidad de probabilidad (FDP) de la magnitud derivada, e incluso si se desconocen las FDP de las magnitudes medidas, resulta que aún es posible estimar la media y la varianza (y, por lo tanto, la desviación estándar) de la magnitud derivada. Este método, denominado «método diferencial» ^{[ 9 ]} , se describirá a continuación. (Para la derivación de las ecuaciones (13) y (14), véase esta sección , más adelante).

Como es habitual en matemáticas aplicadas, un enfoque para evitar la complejidad es aproximar una función con otra más simple, y a menudo esto se hace utilizando una expansión en serie de Taylor de bajo orden . Se puede demostrar ^{[ 10 ]} que, si la función z se reemplaza con una expansión de primer orden alrededor de un punto definido por los valores medios de cada una de las p variables x , la varianza de la función linealizada se aproxima mediante

${\displaystyle \sigma _{z}^{2}\,\,\,\approx \,\,\,\sum \limits _{i\,=\,1}^{p}{\,\sum \limits _{j\,=\,1}^{p}{\left({{\partial z} \over {\partial x_{i}}}\right)}}\left({{\partial z} \over {\partial x_{j}}}\right)\sigma _{i,j}{\mathbf {\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,Eq(13)} }}$

donde σ _ij representa la covarianza de dos variables x _i y x _j . La suma doble se toma sobre todas las combinaciones de i y j , entendiendo que la covarianza de una variable consigo misma es la varianza de esa variable, es decir, σ _ii = σ _i ² . Además, las covarianzas son simétricas, de modo que σ _ij = σ _ji . Nuevamente, como fue el caso con los cálculos de sesgo, las derivadas parciales se evalúan en un punto específico, en este caso, en el valor medio (promedio) u otra mejor estimación, de cada una de las variables independientes. Nótese que si f es lineal entonces, y solo entonces , la ecuación (13) es exacta.

El valor esperado (media) de la PDF derivada se puede estimar, para el caso en que z es una función de una o dos variables medidas, utilizando ^{[ 11 ].}

${\displaystyle \mu _{z}\,\,\approx \,\,z\left({\mu _{1},\mu _{2}}\right)\,\,\,+\,\,\,{1 \over 2}\left\{{\,{{\partial ^{2}z} \over {\partial x_{1}^{2}}}\sigma _{1}^{2}\,\,\,+\,\,\,{{\partial ^{2}z} \over {\partial x_{2}^{2}}}\sigma _{2}^{2}}\right\}\,\,\,+\,\,\,{{\partial z^{2}} \over {\partial x_{1}\,\partial x_{2}}}\sigma _{12}{\mathbf {\,\,\,\,\,\,\,\,\,Eq(14)} }}$

donde los parciales se evalúan en la media de la variable de medición correspondiente. (Para más de dos variables de entrada, esta ecuación se extiende, incluyendo los diversos parciales mixtos).

Volviendo al ejemplo sencillo de z = x ^2, la media se estima mediante

${\displaystyle \mu _{z}\,\,\approx \,\,\mu ^{2}\,\,+\,\,\,{1 \over 2}\,\,\sigma ^{2}\,\,{{\partial ^{2}z} \over {\partial x^{2}}}\,\,\,=\,\,\,\mu ^{2}+\,\,\,{1 \over 2}\,\,\sigma ^{2}\,\,\left[2\right]\,\,\,\,=\,\,\,\mu ^{2}+\,\sigma ^{2}}$

lo cual es lo mismo que el resultado exacto, en este caso particular. Para la varianza (en realidad MS _e ),

${\displaystyle \sigma _{z}^{2}\approx \left({{\partial z} \over {\partial x}}\right)^{2}\sigma ^{2}\,\,=\,\,4\,x^{2}\,\sigma ^{2}\,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\,4\left({\mu ^{2}}\right)\sigma ^{2}=\,\,\,\,4\,\mu ^{2}\sigma ^{2}}$

que difiere únicamente por la ausencia del último término que estaba en el resultado exacto; dado que σ debería ser pequeño en comparación con μ , esto no debería ser un problema importante.

En la Figura 3 se muestra una función de densidad de probabilidad normal (líneas discontinuas) con la media y la varianza obtenidas a partir de estas aproximaciones. La función de densidad de probabilidad normal no describe adecuadamente estos datos derivados, especialmente en el extremo inferior. Sustituyendo la media conocida (10) y la varianza (4) de los valores de x en esta simulación, o en las expresiones anteriores, se observa que las varianzas aproximada (1600) y exacta (1632) difieren solo ligeramente (2%).

Una forma más elegante de escribir la denominada ecuación de varianza de "propagación de errores" es usar matrices . ^{[ 12 ]} Primero definimos un vector de derivadas parciales, como se usó en la ecuación (8) anterior:

${\displaystyle {\boldsymbol {\gamma }}^{T}\equiv {\begin{pmatrix}{\partial z \over \partial x_{1}}&{\partial z \over \partial x_{2}}&{\partial z \over \partial x_{3}}&\cdots &{\partial z \over \partial x_{p}}\end{pmatrix}}}$

donde el superíndice T denota la transpuesta de la matriz; luego definimos la matriz de covarianza.

${\displaystyle \mathbf {C} \,\,\equiv \,{\begin{pmatrix}{\sigma _{1}^{2}}&{\sigma _{12}}&{\sigma _{13}}&\cdots &{\sigma _{1p}}\\{\sigma _{21}}&{\sigma _{2}^{2}}&{\sigma _{23}}&\cdots &{\sigma _{2p}}\\{\sigma _{31}}&{\sigma _{32}}&{\sigma _{3}^{2}}&\cdots &{\sigma _{3p}}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\sigma _{p1}}&{\sigma _{p2}}&{\sigma _{p3}}&\cdots &{\sigma _{p}^{2}}\end{pmatrix}}}$

La propagación de la aproximación del error se puede escribir entonces de forma concisa como la forma cuadrática.

${\displaystyle \sigma _{z}^{2}\,\,\approx \,\,{\boldsymbol {\gamma }}^{T}\,\mathbf {C} \,\,{\boldsymbol {\gamma }}{\mathbf {\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,Eq(15)} }}$

Si las correlaciones entre las p variables son todas cero, como se suele suponer, entonces la matriz de covarianza C se vuelve diagonal, con las varianzas individuales a lo largo de la diagonal principal . Para enfatizar este punto nuevamente, las derivadas parciales en el vector γ se evalúan todas en un punto específico, de modo que la ecuación (15) devuelve un único resultado numérico.

Será útil escribir en detalle la expresión para la varianza usando la ecuación (13) o (15) para el caso p = 2. Esto conduce a

${\displaystyle \sigma _{z}^{2}\,\,\,\approx \,\,\,\left({{\partial z} \over {\partial x_{1}}}\right)\left({{\partial z} \over {\partial x_{1}}}\right)\sigma _{11}\,\,\,+\,\,\,\left({{\partial z} \over {\partial x_{2}}}\right)\left({{\partial z} \over {\partial x_{2}}}\right)\sigma _{22}\,\,\,+\,\,\,\left({{\partial z} \over {\partial x_{1}}}\right)\left({{\partial z} \over {\partial x_{2}}}\right)\sigma _{12}\,\,\,+\,\,\,\,\left({{\partial z} \over {\partial x_{2}}}\right)\left({{\partial z} \over {\partial x_{1}}}\right)\sigma _{21}}$

lo cual, dado que los dos últimos términos anteriores son lo mismo, es

${\displaystyle \sigma _{z}^{2}\,\,\,\approx \,\,\,\left({{\partial z} \over {\partial x_{1}}}\right)^{2}\sigma _{1}^{2}\,\,\,+\,\,\,\left({{\partial z} \over {\partial x_{2}}}\right)^{2}\sigma _{2}^{2}\,\,\,+\,\,\,2\left({{\partial z} \over {\partial x_{1}}}\right)\left({{\partial z} \over {\partial x_{2}}}\right)\,\,\sigma _{12}}$

Consideremos un ejemplo algebraico relativamente simple, antes de volver al ejemplo del péndulo, que es más complejo.

${\displaystyle z\,\,=\,\,x^{2}\,y\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{{\partial z} \over {\partial x}}\,\,=\,\,2x\,y\,\,\,\,\,\,\,\,\,{{\partial z} \over {\partial y}}\,\,=\,\,x^{2}}$

de modo que

${\displaystyle \sigma _{z}^{2}\,\,\,\approx \,\,\,\left({2\,x\,y}\right)^{2}\sigma _{x}^{2}\,\,\,+\,\,\,\left({x^{2}}\right)^{2}\sigma _{y}^{2}\,\,\,+\,\,\,2\left({2\,x\,y}\right)\left({x^{2}}\right)\sigma _{x,y}}$

Esta expresión podría permanecer en esta forma, pero es práctica común dividir por z² ya que esto hará ^que muchos de los factores se cancelen y también producirá un resultado más útil:

${\displaystyle {{\sigma _{z}^{2}\,} \over {z^{2}}}\,\,\approx \,\,\,{{\left({2xy}\right)^{2}} \over {\left({x^{2}y}\right)^{2}}}\sigma _{x}^{2}\,\,\,+\,\,\,{{\left({x^{2}}\right)^{2}} \over {\left({x^{2}y}\right)^{2}}}\sigma _{y}^{2}\,\,\,+\,\,\,{{2\left({2xy}\right)\left({x^{2}}\right)} \over {\left({x^{2}y}\right)^{2}}}\sigma _{x,y}}$

lo cual se reduce a

${\displaystyle {{\sigma _{z}^{2}} \over {z^{2}}}\,\,\approx \,\,\,\left({{2\sigma _{x}} \over x}\right)^{2}\,\,+\,\,\,\,\left({{\sigma _{y}} \over y}\right)^{2}\,+\,\,\,4\left({{\sigma _{x,y}} \over {x\,y}}\right)}$

Dado que la desviación estándar de z suele ser de interés, su estimación es

${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{z}\,\,\approx \,\,{\bar {z}}\,\,{\sqrt {\,\,\left({{2{\hat {\sigma }}_{x}} \over {\bar {x}}}\right)^{2}\,\,+\,\,\,\,\left({{{\hat {\sigma }}_{y}} \over {\bar {y}}}\right)^{2}\,+\,\,\,4\left({{{\hat {\sigma }}_{x,y}} \over {{\bar {x}}\,{\bar {y}}}}\right)}}}$

donde el uso de las medias (promedios) de las variables se indica mediante las barras superiores, y los circunflejos indican que también deben estimarse las (co)varianzas de los componentes, a menos que exista algún conocimiento a priori sólido de ellas. Generalmente este no es el caso, por lo que los estimadores

${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{i}\,\,\,=\,\,\,{\sqrt {{\,\,\sum \limits _{k=1}^{n}{\left({x_{k}-{\bar {x}}_{i}}\right)^{2}}} \over {n-1}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\hat {\sigma }}_{i,j}\,\,\,=\,\,\,{\sqrt {{\,\,\sum \limits _{k=1}^{n}{\left({x_{k}-{\bar {x}}_{i}}\right)\left({x_{k}-{\bar {x}}_{j}}\right)}} \over {n-1}}}}$

se utilizan con frecuencia, ^{[ 13 ]} basándose en n observaciones (mediciones).

Para simplificar, consideremos únicamente el tiempo medido como una variable aleatoria, de modo que la cantidad derivada, la estimación de g , sea igual a

${\displaystyle {\hat {g}}=\,\,{k \over {T^{2}}}}$

donde k recoge los factores en la ecuación (2) que por el momento son constantes. Aplicando de nuevo las reglas del cálculo de probabilidad, se puede derivar una PDF para las estimaciones de g (esta PDF se graficó en la Figura 2). En este caso, a diferencia del ejemplo utilizado anteriormente, la media y la varianza no se pudieron encontrar analíticamente. Por lo tanto, no hay más remedio que utilizar las aproximaciones linealizadas. Para la media, utilizando la ecuación (14), con la ecuación simplificada para la estimación de g ,

${\displaystyle {{\partial {\hat {g}}} \over {\partial T}}\,\,=\,\,\,{{-2k} \over {T^{3}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{{\partial ^{2}{\hat {g}}} \over {\partial T^{2}}}\,\,\,=\,\,\,-2\,k{{-3} \over {T^{4}}}\,\,\,=\,\,{{6\,k} \over {T^{4}}}}$

Entonces, el valor esperado de la g estimada será

${\displaystyle {\rm {E}}[{\hat {g}}]\,\,\,=\,\,\,{k \over {\mu _{T}^{2}}}\,\,\,+\,\,\,{1 \over 2}\left({{6\,k} \over {\mu _{T}^{4}}}\right)\sigma _{T}^{2}{\mathbf {\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,Eq(16)} }}$

donde, si los tiempos del período del péndulo T no presentan sesgo, el primer término es 9,80  m/s² ^. Este resultado indica que la media de los valores de g estimados está sesgada al alza. Esto se comprobará mediante una simulación, que se describe a continuación.

A continuación, para hallar una estimación de la varianza para el ejemplo del péndulo, dado que las derivadas parciales ya se han hallado en la ecuación (10), todas las variables volverán al problema. Las derivadas parciales se introducen en el vector γ . Siguiendo la práctica habitual, especialmente si no hay evidencia de lo contrario, se supone que todas las covarianzas son cero, de modo que C es diagonal. ^{[ 14 ]} Entonces

${\displaystyle \sigma _{\hat {g}}^{2}\,\,\,\approx \,\,\,\,{\begin{pmatrix}{{\partial {\hat {g}}} \over {\partial L}}&{{\partial {\hat {g}}} \over {\partial T}}&{{\partial {\hat {g}}} \over {\partial \theta }}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\sigma _{L}^{2}}&0&0\\0&{\sigma _{T}^{2}}&0\\0&0&{\sigma _{\theta }^{2}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{{\partial {\hat {g}}} \over {\partial L}}\\{{\partial {\hat {g}}} \over {\partial T}}\\{{\partial {\hat {g}}} \over {\partial \theta }}\end{pmatrix}}\,=\,\left({{\partial {\hat {g}}} \over {\partial L}}\right)^{2}\sigma _{L}^{2}\,\,\,+\,\,\,\left({{\partial {\hat {g}}} \over {\partial T}}\right)^{2}\sigma _{T}^{2}\,\,\,+\,\,\,\left({{\partial {\hat {g}}} \over {\partial \theta }}\right)^{2}\sigma _{\theta }^{2}{\mathbf {\,\,\,\,\,\,\,\,Eq(17)} }}$

Se obtiene el mismo resultado utilizando la ecuación (13). Cabe destacar que estas "sigmas" son las varianzas que describen la variación aleatoria en las mediciones de L , T y θ ; no deben confundirse con los sesgos utilizados anteriormente. Las varianzas (o desviaciones estándar) y los sesgos no son lo mismo .

Para ilustrar este cálculo, considere los resultados de la simulación de la Figura 2. Aquí, solo se supuso que la medición del tiempo tenía variación aleatoria, y la desviación estándar utilizada para ella fue de 0,03 segundos. Por lo tanto, utilizando la ecuación (17),

${\displaystyle \sigma _{\hat {g}}^{2}\,\,\,\approx \,\,\,\left({{\partial {\hat {g}}} \over {\partial T}}\right)^{2}\sigma _{T}^{2}\,\,\,\,=\,\,\,\left({{{-8L\,\pi ^{2}} \over {T^{3}}}\alpha (\theta )}\right)^{2}\sigma _{T}^{2}}$

y, utilizando los valores numéricos asignados anteriormente para este ejemplo,

${\displaystyle \sigma _{\hat {g}}^{2}\,\,\,\approx \,\,\,\left({{{-8\times 0.5\times \pi ^{2}} \over {1.443^{3}}}1.0338}\right)^{2}0.03^{2}\,\,=\,\,0.166}$

lo cual se compara favorablemente con la varianza observada de 0,171, calculada por el programa de simulación. (Las varianzas estimadas presentan una variabilidad considerable y no se espera que estos valores coincidan exactamente). Para el valor medio, la ecuación (16) arroja un sesgo de tan solo unos 0,01  m/s² ^, lo cual no se aprecia en la Figura 2.

Para ilustrar mejor lo que sucede al aumentar el error aleatorio en una variable de medición, considérese la Figura 4, donde la desviación estándar de las mediciones de tiempo se incrementa a 0,15 s, o aproximadamente un diez por ciento. La función de densidad de probabilidad (FDP) para los valores estimados de g también se grafica, como en la Figura 2; observe que la FDP para el caso de mayor variación temporal está sesgada, y ahora se aprecia claramente la media sesgada. La media aproximada (sesgada) y la media observada directamente a partir de los datos coinciden bastante bien. La curva discontinua es una FDP normal con media y varianza derivadas de las aproximaciones; no representa los datos con especial precisión.

En lugar de la varianza, a menudo una medida más útil es la desviación estándar σ , y cuando esta se divide por la media μ obtenemos una cantidad llamada error relativo o coeficiente de variación . Esta es una medida de precisión :

${\displaystyle {\rm {RE}}_{\hat {g}}\equiv \,\,\,{{\sigma _{\hat {g}}} \over {\mu _{\hat {g}}}}\,\,\,=\,\,\,{{\sqrt {0.166}} \over {9.8}}\,\,\,=\,\,0.042}$

Para el ejemplo del péndulo, esto da una precisión ligeramente superior al 4 por ciento. Al igual que con el sesgo, es útil relacionar el error relativo en la magnitud derivada con el error relativo en las magnitudes medidas. Divida la ecuación (17) por el cuadrado de g :

${\displaystyle {{\sigma _{\hat {g}}^{2}\,} \over {{\hat {g}}^{2}}}\,\,\,\approx \,\,\,{1 \over {{\hat {g}}^{2}}}\,\left({{\partial {\hat {g}}} \over {\partial L}}\right)^{2}\sigma _{L}^{2}\,\,\,+\,\,\,\,{1 \over {{\hat {g}}^{2}}}\,\left({{\partial {\hat {g}}} \over {\partial T}}\right)^{2}\sigma _{T}^{2}\,\,\,+\,\,\,\,{1 \over {{\hat {g}}^{2}}}\,\left({{\partial {\hat {g}}} \over {\partial \theta }}\right)^{2}\sigma _{\theta }^{2}}$

y utilice los resultados obtenidos de los cálculos de sesgo de cambio fraccional para dar (compárese con la ecuación (12)):

${\displaystyle {{\sigma _{\hat {g}}^{2}\,} \over {{\hat {g}}^{2}}}\,\,\,\approx \,\,\,{{\sigma _{L}^{2}\,} \over {L^{2}}}\,\,\,+\,\,\,\,4{{\sigma _{T}^{2}} \over {T^{2}}}\,\,\,+\,\,\,\,\left({\theta \over 2}\right)^{4}{{\sigma _{\theta }^{2}} \over {\theta ^{2}}}}$

Tomando la raíz cuadrada se obtiene entonces la RE:

${\displaystyle RE_{\hat {g}}\,\,=\,\,{{\sigma _{g}\,} \over {\hat {g}}}\,\,\,\approx \,\,\,{\sqrt {\,\,\left({{\sigma _{L}} \over L}\right)^{2}\,\,\,+\,\,\,\,4\left({{\sigma _{T}} \over T}\right)^{2}\,\,+\,\,\,\,\left({\theta \over 2}\right)^{4}\left({{\sigma _{\theta }} \over \theta }\right)^{2}\,}}{\mathbf {\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,Eq(18)} }}$

En el caso de ejemplo esto da

${\displaystyle {\rm {RE}}_{\hat {g}}\,\,\,\approx \,\,\,2\,\,{{\sigma _{T}} \over T}\,\,\,=\,\,\,2{{0.03} \over {1.443}}\,\,\,=\,\,\,0.042}$

lo cual concuerda con el RE obtenido previamente. Este método, que utiliza los errores relativos en las cantidades componentes (medidas), es más sencillo una vez realizados los cálculos matemáticos para obtener una relación como la ecuación (17). Cabe recordar que los ángulos utilizados en la ecuación (17) deben expresarse en radianes.

Si, como suele ocurrir, se necesita la desviación estándar de la g  estimada, esta se obtiene fácilmente mediante una simple reordenación de la ecuación (18). Esta desviación estándar se suele citar junto con la "estimación puntual" del valor medio: para la simulación, sería 9,81 ± 0,41 m/s² ^. Es necesario considerar con mucho cuidado las inferencias que se pueden extraer de los intervalos citados de esta manera. El análisis de este importante tema escapa al alcance de este artículo, pero se aborda con cierto detalle en el libro de Natrella. ^{[ 15 ]}

Es una buena práctica verificar los cálculos de incertidumbre mediante simulación . Estos cálculos pueden ser muy complicados y es fácil cometer errores. Por ejemplo, para comprobar si el error relativo para la medición del ángulo era correcto, se creó una simulación para muestrear los ángulos de una PDF normal con una media de 30 grados y una desviación estándar de 5 grados; ambos se convierten a radianes en la simulación. El error relativo en el ángulo es entonces de aproximadamente el 17 por ciento. De la ecuación (18), el error relativo en la g estimada es, manteniendo las demás mediciones con una variación despreciable,

${\displaystyle {\rm {RE}}_{\hat {g}}\,\,\,\approx \,\,\,\left({\theta \over 2}\right)^{2}{{\sigma _{\theta }} \over \theta }\,\,\,=\,\,\,\left({{0.524} \over 2}\right)^{2}{{0.0873} \over {0.524}}\,\,\,\approx \,\,\,0.0114}$

La simulación muestra que el error relativo observado en g es de aproximadamente 0,011, lo que demuestra que los cálculos de incertidumbre angular son correctos. Por lo tanto, como se vio con los cálculos de sesgo, una variación aleatoria relativamente grande en el ángulo inicial (17 por ciento) solo causa un error relativo de aproximadamente el uno por ciento en la estimación de g .

La Figura 5 muestra el histograma para estas estimaciones de g . Dado que el error relativo en el ángulo fue relativamente grande, la PDF de las estimaciones de g está sesgada (no es normal, no es simétrica) y la media está ligeramente sesgada. En este caso, la PDF no se conoce, pero la media aún puede estimarse, utilizando la Ec. (14). Se puede demostrar que la segunda derivada parcial para la parte del ángulo de la Ec. (2), manteniendo las demás variables como constantes, recogidas en k , es ^{[ 8 ].}

${\displaystyle {{\partial ^{2}{\hat {g}}} \over {\partial \theta ^{2}}}\,\,\,=\,\,\,{k \over {32}}\left[{9\cos \left({\mu _{\theta }}\right)\,\,\,-\,\,\,\cos \left({2\mu _{\theta }}\right)}\right]}$

de modo que el valor esperado sea

${\displaystyle {\rm {E}}[{\hat {g}}]\,\,\,\approx \,\,\,\,k\alpha \left({\mu _{\theta }}\right)\,\,\,+\,\,\,{1 \over 2}\,\,{k \over {32}}\left[{9\cos \left({\mu _{\theta }}\right)\,\,\,-\,\,\,\cos \left({2\mu _{\theta }}\right)}\right]\sigma _{\theta }^{2}}$

y la línea vertical punteada, resultante de esta ecuación, coincide con la media observada.

En la introducción se mencionó que hay dos maneras de analizar un conjunto de mediciones del período de oscilación T del péndulo:

Método 1 : promediar las n mediciones de T , usar esa media en la ecuación (2) para obtener la estimación final de g ;

Método 2 : utilice todas las n mediciones individuales de T en la ecuación (2), una a la vez, para obtener n estimaciones de g , promedie esas para obtener la estimación final de g .

Sería razonable pensar que ambos métodos equivalen a lo mismo y que no hay razón para preferir uno sobre el otro. Sin embargo, el Método 2 produce un sesgo que no se elimina al aumentar el tamaño de la muestra. El Método 1 también presenta sesgo, pero este disminuye con el tamaño de la muestra. En ambos casos, este sesgo no es particularmente grande y no debe confundirse con el sesgo que se analizó en la primera sección. Lo que podría denominarse "sesgo de tipo I" resulta de un error sistemático en el proceso de medición; el "sesgo de tipo II" resulta de la transformación de una variable aleatoria de medición mediante un modelo no lineal; aquí, la ecuación (2).

El sesgo de tipo II se caracteriza por los términos posteriores al primero en la ecuación (14). Como se calculó para la simulación en la Figura 4, el sesgo en la g estimada para una variabilidad razonable en los tiempos medidos (0,03 s) se obtiene de la ecuación (16) y fue de solo unos 0,01  m/s² ^. Reordenando la parte del sesgo (segundo término) de la ecuación (16) y usando β para el sesgo,

${\displaystyle \beta \,\,\,\approx \,\,\,{{3\,k} \over {\mu _{T}^{2}}}\,\left({{\sigma _{T}} \over {\mu _{T}}}\right)^{2}\,\,\,\approx \,\,\,30\,\,\left({{\sigma _{T}} \over {\mu _{T}}}\right)^{2}{\mathbf {\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,Eq(19)} }}$

utilizando los parámetros del péndulo de ejemplo. De esto se observa que el sesgo varía como el cuadrado del error relativo en el período T ; para un error relativo mayor, alrededor del diez por ciento, el sesgo es de aproximadamente 0,32  m/s² ^, lo cual es más preocupante.

Lo que falta aquí, y que se ha evitado deliberadamente en todo el material anterior, es el efecto del tamaño de la muestra en estos cálculos. El número de mediciones n no ha aparecido en ninguna ecuación hasta ahora. Implícitamente, todo el análisis se ha realizado para el enfoque del Método 2, tomando una medición (por ejemplo, de T ) a la vez y procesándola a través de la ecuación (2) para obtener una estimación de g .

Para utilizar las diversas ecuaciones desarrolladas anteriormente, se necesitan valores para la media y la varianza de los diversos parámetros que aparecen en dichas ecuaciones. En experimentos prácticos, estos valores se estimarán a partir de datos observados, es decir, mediciones. Estas mediciones se promedian para producir los valores medios estimados que se utilizarán en las ecuaciones, por ejemplo, para la evaluación de las derivadas parciales. Por lo tanto, la varianza de interés es la varianza de la media , no de la población, y así, por ejemplo,

${\displaystyle \sigma _{\hat {g}}^{2}\,\,\,\approx \,\,\,\left({{\partial {\hat {g}}} \over {\partial T}}\right)^{2}\sigma _{T}^{2}\,\,\,\,=\,\,\,\left({{{-8L\,\pi ^{2}} \over {T^{3}}}\alpha (\theta )}\right)^{2}\sigma _{T}^{2}\,\,\,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\,\left({{{-8{\bar {L}}\,\pi ^{2}} \over {{\bar {T}}^{3}}}\alpha ({\bar {\theta }})}\right)^{2}{{\sigma _{T}^{2}} \over {n_{T}}}}$

lo cual refleja el hecho de que, a medida que aumenta el número de mediciones de T , la varianza del valor medio de T disminuiría. Existe cierta variabilidad inherente en las mediciones de T , y se supone que permanece constante, pero la variabilidad del T promedio disminuirá a medida que n aumenta. Suponiendo que no hay covarianza entre los parámetros (mediciones), la expansión de la ecuación (13) o (15) se puede reformular como

${\displaystyle \sigma _{z}^{2}\,\,\,\approx \,\,\,\sum \limits _{i\,\,=\,\,1}^{p}{\,\left({{\partial z} \over {\partial x_{i}}}\right)_{{\bar {x}}_{i}}^{2}}\,\,{{\sigma _{i}^{2}} \over {n_{i}}}}$

donde el subíndice en n refleja el hecho de que se pueden realizar diferentes números de mediciones en las distintas variables (por ejemplo, 3 para L , 10 para T , 5 para θ , etc.).

Esta dependencia de la varianza total con respecto al número de mediciones implica que un componente del diseño experimental estadístico consistiría en definir el tamaño de la muestra para mantener el error relativo total (precisión) dentro de límites razonables. Si se dispone de una estimación de la variabilidad de las mediciones individuales, quizás a partir de un estudio piloto, entonces debería ser posible estimar el tamaño de muestra necesario (número de réplicas para medir, por ejemplo, T en el ejemplo del péndulo).

Volviendo al sesgo de tipo II en el enfoque del método 2, la ecuación (19) ahora se puede reformular con mayor precisión como

${\displaystyle \beta \,\,\,\approx \,\,\,{{3\,k} \over {\mu _{T}^{2}}}\,\left({{\sigma _{T}} \over {\mu _{T}}}\right)^{2}\,\,\,\approx \,\,\,30\,\,\left({{s_{T}} \over {n_{T}\,{\bar {T}}}}\right)^{2}}$

donde s es la desviación estándar estimada de las n mediciones _T T. En el Método 2, cada medición T individual se utiliza para estimar g , de modo que n _T = 1 para este enfoque. Por otro lado, para el Método 1, las mediciones T se promedian primero antes de usar la ecuación (2), de modo que n _T es mayor que uno. Esto significa que

${\displaystyle \beta _{\,\,1}\,\,\,\approx \,\,\,\,30\,\,\left({{s_{T}} \over {n_{T}\,{\bar {T}}}}\right)^{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\beta _{\,\,2}\,\,\,\approx \,\,30\,\,\left({{s_{T}} \over {\bar {T}}}\right)^{2}}$

lo que dice que el sesgo de tipo II del método 2 no disminuye con el tamaño de la muestra ; es constante. La varianza de la estimación de g , por otro lado, es en ambos casos

${\displaystyle \sigma _{\hat {g}}^{2}\,\,\,\approx \,\,\,\left({{{-8{\bar {L}}\,\pi ^{2}} \over {{\bar {T}}^{3}}}\alpha ({\bar {\theta }})}\right)^{2}{{\sigma _{T}^{2}} \over {n_{T}}}}$

porque en ambos métodos se utilizan mediciones n _T para formar la estimación promedio de g . ^{[ 16 ]} Por lo tanto, la varianza disminuye con el tamaño de la muestra para ambos métodos.

Estos efectos se ilustran en las Figuras 6 y 7. En la Figura 6 se muestra una serie de PDF de g estimado mediante el Método 2 para un error relativo relativamente grande en las mediciones de T , con diferentes tamaños de muestra. El error relativo en T es mayor de lo que podría ser razonable, por lo que el efecto del sesgo se puede observar con mayor claridad. En la figura, los puntos muestran la media; el sesgo es evidente y no cambia con n. La varianza, o amplitud de la PDF, se reduce al aumentar n , y la PDF también se vuelve más simétrica. En la Figura 7 se muestran las PDF para el Método 1, y se observa que las medias convergen hacia el valor correcto de g de 9,8  m/s² ^a medida que aumenta el número de mediciones, y la varianza también disminuye.

De esto se concluye que el Método 1 es el enfoque preferido para procesar el péndulo u otros datos.

1. Dada una función z de varias variables aleatorias x , se buscan la media y la varianza de z .
2. El método directo consiste en hallar la función de densidad de probabilidad (PDF) de z y luego calcular su media y varianza:

${\displaystyle {\rm {E}}[z]\,\,\,=\,\,\,\int {z\,\,{\rm {PDF}}_{z}}\,\,dz\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm {Var}}[z]\,\,=\,\,\int {\left({z-{\rm {E}}[z]}\right)^{2}\,\,{\rm {PDF}}_{z}}\,\,dz}$

3. Encontrar la función de densidad de probabilidad (FDP) no es trivial, e incluso puede resultar imposible en algunos casos, y ciertamente no es un método práctico para el análisis de datos ordinario. Aun cuando se pueda encontrar la FDP, hallar los momentos (mencionados anteriormente) puede ser difícil.

4. La solución consiste en desarrollar la función z en una serie de Taylor de segundo orden ; el desarrollo se realiza alrededor de los valores medios de las variables x . (Normalmente, el desarrollo se realiza hasta el primer orden; los términos de segundo orden son necesarios para hallar el sesgo en la media. Estos términos de segundo orden suelen omitirse al calcular la varianza; véase más adelante).

5. Con la expansión en mano, calcule el valor esperado. Esto proporcionará una aproximación para la media de z e incluirá términos que representan cualquier sesgo. En efecto, la expansión “aísla” las variables aleatorias x para que se puedan calcular sus valores esperados.

6. Teniendo la expresión para el valor esperado de z , que involucrará derivadas parciales y las medias y varianzas de las variables aleatorias x , establezca la expresión para la esperanza de la varianza:

${\displaystyle {\rm {Var}}[z]\,\,\,\equiv \,\,{\rm {E}}\left[{\left({\,z\,\,-\,\,{\rm {E}}[z]\,}\right)^{2}}\right]}$

es decir, encontrar ( z − E[ z ] ) y hacer el álgebra necesaria para agrupar términos y simplificar.

7. Para la mayoría de los propósitos, basta con conservar solo los términos de primer orden; eleve al cuadrado esa cantidad.

8. Halla el valor esperado de ese resultado. Esta será la aproximación para la varianza de z .

Esta es la relación fundamental para la expansión de segundo orden utilizada en las aproximaciones: ^{[ 20 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}z\left({x_{1}\,\,\,x_{2}\,\cdots \,\,\,x_{p}}\right)\,\,\,\approx \,\,\,z\left({{\bar {x}}_{1}\,\,\,{\bar {x}}_{2}\,\,\cdots \,\,\,{\bar {x}}_{p}}\right)\,\,\,\,+\,\,\,\,\sum \limits _{i\,=\,1}^{p}{\left.{{\partial z} \over {\partial x_{i}}}\right|}_{{\bar {x}}_{i}}\left({x_{i}-{\bar {x}}_{i}}\right)\,\,\,\,\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,+\,\,\,\,{1 \over 2}\sum \limits _{i\,=\,1}^{p}{\sum \limits _{j\,=\,1}^{p}{\left.{{\partial ^{2}z} \over {\partial x_{i}\partial x_{j}}}\right|}}_{{\bar {x}}_{i},{\bar {x}}_{j}}\left({x_{i}-{\bar {x}}_{i}}\right)\left({x_{j}-{\bar {x}}_{j}}\right)\end{aligned}}}$

Para reducir la complejidad notacional, no se muestran los símbolos de evaluación en la media:

${\displaystyle {\begin{aligned}&z\left({x_{1}\,\,x_{2}}\right)\,\,\,\,\approx \,\,\,z\left({{\bar {x}}_{1}\,\,{\bar {x}}_{2}}\right)\,\,\,+\,\,\,\,{{\partial z} \over {\partial x_{1}}}\left({x_{1}-\,\,{\bar {x}}_{1}}\right)\,\,\,+\,\,\,{{\partial z} \over {\partial x_{2}}}\left({x_{2}-\,\,{\bar {x}}_{2}}\right)\,\,\,\\&\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,+\,\,\,{1 \over 2}{{\partial ^{2}z} \over {\partial x_{1}\partial x_{2}}}\left({x_{1}-\,\,{\bar {x}}_{1}}\right)\left({x_{2}-\,\,{\bar {x}}_{2}}\right)\,\,\,+\,\,\,{1 \over 2}{{\partial ^{2}z} \over {\partial x_{2}\partial x_{1}}}\left({x_{2}-\,\,{\bar {x}}_{2}}\right)\left({x_{1}-\,\,{\bar {x}}_{1}}\right)\\&\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,+\,\,\,{1 \over 2}{{\partial ^{2}z} \over {\partial x_{1}\partial x_{1}}}\left({x_{1}-\,\,{\bar {x}}_{1}}\right)\left({x_{1}-\,\,{\bar {x}}_{1}}\right)\,\,\,+\,\,\,{1 \over 2}{{\partial ^{2}z} \over {\partial x_{2}\partial x_{2}}}\left({x_{2}-\,\,{\bar {x}}_{2}}\right)\left({x_{2}-\,\,{\bar {x}}_{2}}\right)\end{aligned}}}$