Diagonal principal

En álgebra lineal , la diagonal principal (a veces diagonal principal , diagonal primaria , diagonal principal , diagonal mayor o diagonal buena ) de una matriz es la lista de entradas donde . Todos los elementos fuera de la diagonal son cero en una matriz diagonal . Las siguientes cuatro matrices tienen sus diagonales principales indicadas con unas en rojo: ${\estilo de visualización A}$$estilo de visualización a_{i,j}}$${\displaystyle i=j}$

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\color {rojo}{1}&0&0\\0&\color {rojo}{1}&0\\0&0&\color {rojo}{1}\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}\color {rojo}{1}&0&0&0\\0&\color {rojo}{1}&0&0\\0&0&\color {rojo}{1}&0\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}\color {rojo}{1}&0&0\\0&\color {rojo}{1}&0\\0&0&\color {rojo}{1}\\0&0&0\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}\color {rojo}{1}&0&0&0\\0&\color {rojo}{1}&0&0\\0&0&\color {rojo}{1}&0&0\\0&0&\color {rojo}{1}&0\\0&0&0&\color {rojo}{1}\end{bmatrix}}\qquad }$$

Para una matriz cuadrada , la diagonal (o diagonal principal o diagonal principal ) es la línea diagonal de entradas que va desde la esquina superior izquierda hasta la esquina inferior derecha. ^{[1] [2] [3]} Para una matriz con índice de fila especificado por e índice de columna especificado por , estas serían las entradas con . Por ejemplo, la matriz identidad se puede definir como que tiene entradas de 1 en la diagonal principal y ceros en el resto: ${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización i}$${\estilo de visualización j}$$Estilo de visualización A_{ij}}$${\displaystyle i=j}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}}$

La traza de una matriz es la suma de los elementos diagonales.

La diagonal de arriba a la derecha a abajo a la izquierda a veces se describe como diagonal menor o antidiagonal .

Las entradas fuera de la diagonal son aquellas que no están en la diagonal principal. Una matriz diagonal es aquella cuyas entradas fuera de la diagonal son todas cero. ^{[4] [5]}

Una entrada superdiagonal es aquella que se encuentra directamente encima y a la derecha de la diagonal principal. ^{[6] [7]} Así como las entradas diagonales son aquellas con , las entradas superdiagonales son aquellas con . Por ejemplo, las entradas distintas de cero de la siguiente matriz se encuentran todas en la superdiagonal: $Estilo de visualización A_{ij}}$${\displaystyle j=i}$${\displaystyle j=i+1}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&2&0\\0&0&3\\0&0&0\end{pmatrix}}}$

De la misma manera, una entrada subdiagonal es aquella que está directamente debajo y a la izquierda de la diagonal principal, es decir, una entrada con . ^[8] Las diagonales de matrices generales se pueden especificar mediante un índice medido en relación con la diagonal principal: la diagonal principal tiene ; la superdiagonal tiene ; la subdiagonal tiene ; y en general, la -diagonal consiste en las entradas con . $Estilo de visualización A_{ij}}$${\displaystyle j=i-1}$${\estilo de visualización k}$${\displaystyle k=0}$${\estilo de visualización k=1}$${\displaystyle k=-1}$${\estilo de visualización k}$$Estilo de visualización A_{ij}}$${\displaystyle j=i+k}$

Una matriz con bandas es aquella en la que sus elementos distintos de cero están restringidos a una banda diagonal. Una matriz tridiagonal tiene solo las entradas de la diagonal principal, la superdiagonal y la subdiagonal como distintas de cero.

La antidiagonal (a veces contradiagonal , diagonal secundaria (*), diagonal final , diagonal menor , diagonal fuera de línea o diagonal incorrecta ) de una matriz cuadrada de orden es la colección de entradas tales que para todos . Es decir, va desde la esquina superior derecha hasta la esquina inferior izquierda. ${\estilo de visualización N}$ ${\estilo de visualización B}$$Estilo de visualización b_{i,j}$${\displaystyle i+j=N+1}$${\displaystyle 1\leq i,j\leq N}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&0&\color {rojo}{1}\\0&\color {rojo}{1}&0\\\color {rojo}{1}&0&0\end{bmatrix}}}$

(*) Las diagonales secundarias (así como las diagonales finales , menores y fuera de la diagonal ) muy a menudo también significan las diagonales (también conocidas como k -ésimas) paralelas a las diagonales principales, es decir , para algún k = 1, 2, 3, ... distinto de cero. De manera más general y universal, los elementos fuera de la diagonal de una matriz son todos los elementos que no están en la diagonal principal, es decir , con índices distintos i ≠ j . ${\displaystyle A_{i,\,i\pm k}}$

• Rastro

• Bronson, Richard (1970), Métodos matriciales: una introducción , Nueva York: Academic Press , LCCN  70097490
• Cullen, Charles G. (1966), Matrices y transformaciones lineales , Lectura: Addison-Wesley , LCCN  66021267
• Herstein, IN (1964), Temas de álgebra , Waltham: Blaisdell Publishing Company, ISBN 978-1114541016
• Nering, Evar D. (1970), Álgebra lineal y teoría de matrices (2.ª ed.), Nueva York: Wiley , LCCN  76091646
• Weisstein, Eric W. "Diagonal principal". MathWorld .