Aproximación lineal

En matemáticas , una aproximación lineal es una aproximación de una función general mediante una función lineal (más precisamente, una función afín ). Se utilizan ampliamente en el método de diferencias finitas para obtener métodos de primer orden que permiten resolver o aproximar soluciones de ecuaciones.

Dada una función dos veces continuamente diferenciable de una variable real , el teorema de Taylor para el caso establece que donde es el término restante. La aproximación lineal se obtiene eliminando el resto: ${\displaystyle f}$${\displaystyle n=1}$$${\displaystyle f(x)=f(a)+f'(a)(xa)+R_{2}}$$${\displaystyle R_{2}}$$${\displaystyle f(x)\approx f(a)+f'(a)(xa).}$$

Esta es una buena aproximación cuando está lo suficientemente cerca de ; ya que una curva, cuando se observa de cerca, comenzará a parecerse a una línea recta. Por lo tanto, la expresión del lado derecho es simplemente la ecuación de la línea tangente a la gráfica de en . Por esta razón, este proceso también se llama aproximación de la línea tangente . Las aproximaciones lineales en este caso mejoran aún más cuando la segunda derivada de a, , es suficientemente pequeña (cercana a cero) (es decir, en o cerca de un punto de inflexión ). ${\displaystyle x}$${\displaystyle a}$${\displaystyle f}$${\displaystyle (a,f(a))}$${\displaystyle f''(a)}$

Si es cóncava hacia abajo en el intervalo entre y , la aproximación será una sobreestimación (ya que la derivada es decreciente en ese intervalo). Si es cóncava hacia arriba , la aproximación será una subestimación. ^{[ 1 ]}${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle a}$${\displaystyle f}$

Las aproximaciones lineales para funciones vectoriales de una variable vectorial se obtienen de la misma manera, reemplazando la derivada en un punto por la matriz jacobiana . Por ejemplo, dada una función diferenciable con valores reales, se puede aproximar para valores cercanos a mediante la fórmula ${\displaystyle f(x,y)}$${\displaystyle f(x,y)}$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle (a,b)}$$${\displaystyle f\left(x,y\right)\approx f\left(a,b\right)+{\frac {\partial f}{\partial x}}\left(a,b\right)\left(xa\right)+{\frac {\partial f}{\partial y}}\left(a,b\right)\left(yb\right).}$$

El lado derecho es la ecuación del plano tangente a la gráfica de en${\displaystyle z=f(x,y)}$${\displaystyle (a,b).}$

En el caso más general de espacios de Banach , se tiene donde es la derivada de Fréchet de en . $${\displaystyle f(x)\approx f(a)+Df(a)(xa)}$$${\displaystyle Df(a)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle a}$

La óptica gaussiana es una técnica de óptica geométrica que describe el comportamiento de los rayos de luz en sistemas ópticos mediante la aproximación paraxial , en la que solo se consideran los rayos que forman ángulos pequeños con el eje óptico del sistema. ^{[ 2 ]} En esta aproximación, las funciones trigonométricas pueden expresarse como funciones lineales de los ángulos. La óptica gaussiana se aplica a sistemas en los que todas las superficies ópticas son planas o porciones de una esfera . En este caso, se pueden dar fórmulas explícitas sencillas para parámetros de un sistema de imagen, como la distancia focal, el aumento y el brillo, en función de las formas geométricas y las propiedades del material de los elementos constituyentes.

El período de oscilación de un péndulo de gravedad simple depende de su longitud , de la intensidad local de la gravedad y, en menor medida, del ángulo máximo _que el péndulo oscila con respecto a la vertical, θ₀ , llamado amplitud . ^{[ 3 ]} Es independiente de la masa de la masa. El período verdadero T de un péndulo simple, el tiempo que tarda en completarse un ciclo de un péndulo de gravedad simple ideal, puede escribirse de varias formas diferentes (véase péndulo ), un ejemplo de ello es la serie infinita : ^{[ 4 ] [ 5 ]}$${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {L \over g}}\left(1+{\frac {1}{16}}\theta _{0}^{2}+{\frac {11}{3072}}\theta _{0}^{4}+\cdots \right)}$$

donde L es la longitud del péndulo y g es la aceleración local de la gravedad .

Sin embargo, si se toma la aproximación lineal (es decir, si la amplitud se limita a pequeñas oscilaciones, ^{[ Nota 1 ]} ) el período es: ^{[ 6 ]}

En la aproximación lineal, el período de oscilación es aproximadamente el mismo para oscilaciones de diferente amplitud; es decir, el período es independiente de la amplitud . Esta propiedad, denominada isocronismo , es la razón por la que los péndulos son tan útiles para la medición del tiempo. ^{[ 7 ]} Las oscilaciones sucesivas del péndulo, incluso si varían en amplitud, tardan el mismo tiempo.

La resistividad eléctrica de la mayoría de los materiales cambia con la temperatura. Si la temperatura T no varía demasiado, se suele utilizar una aproximación lineal: donde se denomina coeficiente de temperatura de la resistividad , es una temperatura de referencia fija (normalmente la temperatura ambiente) y es la resistividad a la temperatura . El parámetro es un parámetro empírico ajustado a partir de datos de medición. Dado que la aproximación lineal es solo una aproximación, es diferente para diferentes temperaturas de referencia. Por esta razón, es habitual especificar la temperatura que se midió con un sufijo, como , y la relación solo es válida en un rango de temperaturas alrededor de la referencia. ^{[ 8 ]} Cuando la temperatura varía en un amplio rango de temperaturas, la aproximación lineal es inadecuada y se debe utilizar un análisis y una comprensión más detallados. $${\displaystyle \rho (T)=\rho _{0}[1+\alpha (T-T_{0})]}$$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle T_{0}}$${\displaystyle \rho _{0}}$${\displaystyle T_{0}}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha _{15}}$

Encuentra la linealización de la función en y úsala para aproximar los números y . ¿Son estas aproximaciones sobreestimaciones o subestimaciones? ^{[ 9 ]}${\displaystyle f(x)={\sqrt {x+3}}\ }$${\displaystyle a=1}$${\displaystyle {\sqrt {3.98}}}$${\displaystyle {\sqrt {4.05}}}$

SOLUCIÓN

La derivada de es y por lo tanto tenemos y . Sustituyendo estos valores en , vemos que la linealización es La aproximación lineal correspondiente es${\displaystyle f(x)=(x+3)^{1 \over {2}}}$${\displaystyle f'(x)={\frac {1}{2}}\ (x+3)^{\frac {-1}{2}}\ ={\frac {1}{2{\sqrt {x+3}}}}\ }$${\displaystyle f(1)=2}$${\displaystyle f'(1)={\frac {1}{4}}\ }$${\displaystyle L(x)=f(a)+f'(a)(x-a)}$${\displaystyle L(x)=f(1)+f'(1)(x-1)=2+{\frac {1}{4}}\ (x-1)={\frac {7}{4}}\ +{\frac {x}{4}}\ }$${\displaystyle {\sqrt {x+3}}\ \approx {\frac {7}{4}}\ +{\frac {x}{4}}\ }$

En particular, tenemos y . ${\displaystyle {\sqrt {3.98}}\ \approx {\frac {7}{4}}\ +{\frac {0.98}{4}}\ =1.995}$${\displaystyle {\sqrt {4.05}}\approx {\frac {7}{4}}\ +{\frac {1.05}{4}}\ =2.0125}$

• Aproximación binomial
• Método de Euler
• Diferencias finitas
• Métodos de diferencias finitas
• El método de Newton
• Serie Power
• Aproximación cuadrática
• Serie Taylor

• Weinstein, Alan; Marsden, Jerrold E. (1984). Cálculo III . Berlín: Springer-Verlag. pág. 775. ISBN 0-387-90985-0.
• Strang, Gilbert (1991). Cálculo . Wellesley College. pág. 94. ISBN 0-9614088-2-0.
• Bock, David; Hockett, Shirley O. (2005). Cómo prepararse para el cálculo AP . Hauppauge, NY: Barrons Educational Series. pág  . 118. ISBN 0-7641-2382-3.