Leonhard Euler

Los dos hijos de Johann Bernoulli, Daniel y Nicolaus , ingresaron al servicio de la Academia Imperial Rusa de Ciencias en San Petersburgo en 1725, dejando a Euler con la seguridad de que lo recomendarían para un puesto cuando hubiera uno disponible. ^{[ 23 ]} El 31 de julio de 1726, Nicolaus murió de apendicitis tras pasar menos de un año en Rusia. ^{[ 26 ] [ 27 ]} Cuando Daniel asumió el puesto de su hermano en la división de matemáticas/física, recomendó que el puesto de fisiología que había dejado vacante fuera ocupado por su amigo Euler. ^{[ 23 ]} En noviembre de 1726, Euler aceptó con entusiasmo la oferta, pero retrasó el viaje a San Petersburgo mientras solicitaba sin éxito una cátedra de física en la Universidad de Basilea. ^{[ 23 ]}

Euler llegó a San Petersburgo en mayo de 1727. ^{[ 23 ] [ 20 ]} Fue ascendido de su puesto subalterno en el departamento de medicina de la academia a un puesto en el departamento de matemáticas. Se hospedó con Daniel Bernoulli, con quien trabajó en estrecha colaboración. ^{[ 28 ]} Euler dominó el ruso, se estableció en San Petersburgo y asumió un trabajo adicional como médico en la Armada rusa . ^{[ 29 ]}

La academia de San Petersburgo, fundada por Pedro el Grande , tenía como objetivo mejorar la educación en Rusia y reducir la brecha científica con Europa Occidental. Por ello, resultó especialmente atractiva para académicos extranjeros como Euler. ^{[ 25 ]} La benefactora de la academia, Catalina I , quien había continuado las políticas progresistas de su difunto esposo, falleció antes de la llegada de Euler a San Petersburgo. ^{[ 30 ]} La nobleza conservadora rusa ascendió al poder con la llegada al trono del joven Pedro II, de doce años . ^{[ 30 ]} La nobleza, recelosa de los científicos extranjeros de la academia, recortó la financiación para Euler y sus colegas e impidió el ingreso de estudiantes extranjeros y no aristocráticos al Gimnasio y a las universidades. ^{[ 30 ]}

Las condiciones mejoraron ligeramente tras la muerte de Pedro II en 1730 y Ana de Rusia , influenciada por Alemania, asumió el poder. ^{[ 31 ]} Euler ascendió rápidamente en la academia y fue nombrado profesor de física en 1731. ^{[ 31 ]} En 1730, inició una extensa correspondencia con el secretario de la academia, Johann Daniel Schumacher, que se prolongó hasta 1757, mucho después de que Euler partiera hacia Berlín, y que comprendía más de trescientas cartas en total. Compartían noticias científicas y Euler aconsejaba a Schumacher sobre candidatos idóneos para las vacantes en la academia (como el matemático y astrónomo Tobias Mayer , el filósofo natural Johann Peter Eberhard y el matemático y filósofo Johann Konrad Spangenberg ), además de enviarle material científico y sus últimas publicaciones. A partir de la década de 1750, mantuvo una correspondencia similar con Gerhard Friedrich Müller , a quien Schumacher delegó muchas de sus responsabilidades. ^{[ 32 ]}

En 1731, Euler también dejó la Armada rusa, rechazando un ascenso a teniente . ^{[ 31 ]} Dos años después, Daniel Bernoulli, harto de la censura y la hostilidad que enfrentaba en San Petersburgo, partió hacia Basilea. Euler lo sucedió como jefe del departamento de matemáticas. ^{[ 33 ]} En enero de 1734, se casó con Katharina Gsell (1707–1773), hija de Georg Gsell . ^{[ 34 ]} Federico II había intentado reclutar los servicios de Euler para su recién establecida Academia de Berlín en 1740, pero Euler inicialmente prefirió quedarse en San Petersburgo. ^{[ 35 ]} Pero después de la muerte de la emperatriz Ana y Federico II accedió a pagar 1600 ecus (lo mismo que Euler ganaba en Rusia) aceptó mudarse a Berlín. En 1741, solicitó permiso para partir hacia Berlín, argumentando que necesitaba un clima más templado para su vista. ^{[ 35 ]} La academia rusa dio su consentimiento y le pagaría 200 rublos al año como uno de sus miembros activos. ^{[ 35 ]}

Preocupado por la continua agitación en Rusia, Euler dejó San Petersburgo en junio de 1741 para ocupar un puesto en la Academia de Berlín , que le había ofrecido Federico el Grande de Prusia . ^{[ 36 ]} Vivió durante 25 años en Berlín , donde escribió varios cientos de artículos. ^{[ 20 ]} En 1748 se publicó su texto sobre funciones llamado Introductio in analysin infinitorum y en 1755 se publicó un texto sobre cálculo diferencial llamado Institutiones calculi differentialis . ^{[ 37 ] [ 38 ]} En 1755, fue elegido miembro extranjero de la Real Academia Sueca de Ciencias ^{[ 39 ]} y de la Academia Francesa de Ciencias . ^{[ 40 ]} Entre los alumnos notables de Euler en Berlín se encontraba Stepan Rumovsky , posteriormente considerado como el primer astrónomo ruso. ^{[ 41 ] [ 42 ]} En 1748 rechazó una oferta de la Universidad de Basilea para suceder al recientemente fallecido Johann Bernoulli. ^{[ 20 ]} En 1753 compró una casa en Charlottenburg , donde vivió con su familia y su madre viuda. ^{[ 43 ] [ 44 ]}

Euler se convirtió en tutor de Friederike Charlotte de Brandenburg-Schwedt , princesa de Anhalt-Dessau y sobrina de Federico. Le escribió más de 200 cartas a principios de la década de 1760, que posteriormente se recopilaron en un volumen titulado Cartas de Euler sobre diversos temas de filosofía natural dirigidas a una princesa alemana . ^{[ 45 ]} Esta obra contenía la exposición de Euler sobre diversos temas relacionados con la física y las matemáticas, y ofrecía valiosas perspectivas sobre su personalidad y creencias religiosas. Fue traducida a varios idiomas, publicada en toda Europa y en Estados Unidos, y llegó a ser más leída que cualquiera de sus obras matemáticas. La popularidad de las Cartas atestigua la capacidad de Euler para comunicar eficazmente asuntos científicos a un público no especializado, una habilidad poco común para un científico investigador tan dedicado. ^{[ 38 ]}

A pesar de la inmensa contribución de Euler al prestigio de la academia y de haber sido propuesto como candidato a su presidencia por Jean le Rond d'Alembert , Federico II se nombró a sí mismo presidente. ^{[ 44 ]} El rey prusiano tenía un amplio círculo de intelectuales en su corte, y consideraba al matemático poco sofisticado y mal informado en asuntos que iban más allá de los números y las cifras. Euler era un hombre sencillo y profundamente religioso que nunca cuestionó el orden social existente ni las creencias convencionales. Era, en muchos sentidos, el polo opuesto de Voltaire , quien gozaba de un alto lugar de prestigio en la corte de Federico. Euler no era un orador hábil y a menudo se empeñaba en debatir sobre temas de los que sabía poco, lo que lo convertía en blanco frecuente del ingenio de Voltaire. ^{[ 38 ]} Federico también expresó su decepción con las habilidades prácticas de ingeniería de Euler, afirmando:

Quería tener un chorro de agua en mi jardín: Euler calculó la fuerza de las ruedas necesaria para elevar el agua hasta un depósito, desde donde debía caer de nuevo por canales, para finalmente salir a chorros en Sanssouci . Mi molino se construyó geométricamente y no podía elevar ni un sorbo de agua a menos de cincuenta pasos del depósito. ¡Vanidad de vanidades! ¡Vanidad de geometría! ^{[ 46 ]}

Sin embargo, la decepción fue casi con toda seguridad injustificada desde una perspectiva técnica. Los cálculos de Euler parecen ser correctos, incluso si sus interacciones con Federico y quienes construyeron su fuente pudieron haber sido disfuncionales. ^{[ 47 ]}

Durante su estancia en Berlín, Euler mantuvo una estrecha relación con la academia de San Petersburgo y publicó 109 artículos en Rusia. ^{[ 48 ]} También ayudó a estudiantes de la academia de San Petersburgo y, en ocasiones, alojó a estudiantes rusos en su casa de Berlín. ^{[ 48 ]} En 1760, en plena Guerra de los Siete Años , la granja de Euler en Charlottenburg fue saqueada por las tropas rusas que avanzaban. ^{[ 43 ]} Al enterarse de este suceso, el general Iván Petrovich Saltykov pagó una indemnización por los daños causados ​​a la propiedad de Euler, y la emperatriz Isabel de Rusia añadió posteriormente un pago adicional de 4000 rublos, una cantidad exorbitante para la época. ^{[ 49 ]} Euler decidió abandonar Berlín en 1766 y regresar a Rusia. ^{[ 50 ]}

Durante su estancia en Berlín (1741-1766), Euler alcanzó la cima de su productividad. Escribió 380 obras, de las cuales 275 fueron publicadas. ^{[ 51 ]} Esto incluyó 125 memorias en la Academia de Berlín y más de 100 memorias enviadas a la Academia de San Petersburgo , que lo mantuvo como miembro y le pagaba un estipendio anual. La Introductio in Analysin Infinitorum de Euler se publicó en dos partes en 1748. Además de su propia investigación, Euler supervisó la biblioteca, el observatorio, el jardín botánico y la publicación de calendarios y mapas de los que la academia obtenía ingresos. ^{[ 52 ]} Incluso participó en el diseño de las fuentes de agua de Sanssouci , el palacio de verano del rey. ^{[ 53 ]}

La situación política en Rusia se estabilizó tras la ascensión de Catalina la Grande al trono, por lo que en 1766 Euler aceptó una invitación para regresar a la Academia de San Petersburgo. Sus condiciones eran bastante exorbitantes: un salario anual de 3000 rublos, una pensión para su esposa y la promesa de nombramientos de alto rango para sus hijos. En la universidad, contó con la ayuda de su alumno Anders Johan Lexell . ^{[ 54 ]} Mientras vivía en San Petersburgo, un incendio en 1771 destruyó su casa. ^{[ 55 ]}

La vista de Euler empeoró a lo largo de su carrera matemática. En 1738, tres años después de casi morir de fiebre, ^{[ 62 ]} quedó casi ciego del ojo derecho. Euler culpó a la cartografía que realizó para la Academia de San Petersburgo de su condición, ^{[ 63 ]} pero la causa de su ceguera sigue siendo objeto de especulación. ^{[ 64 ] [ 65 ]} La visión de Euler en ese ojo empeoró durante su estancia en Alemania, hasta el punto de que Federico lo llamó " Cíclope ". Euler dijo sobre su pérdida de visión: "Ahora tendré menos distracciones". ^{[ 63 ]} En 1766 se descubrió una catarata en su ojo izquierdo. Aunque la colocación de la catarata mejoró temporalmente su visión, las complicaciones lo dejaron casi totalmente ciego también del ojo izquierdo. ^{[ 40 ]} Su condición pareció tener poco efecto en su productividad. Con la ayuda de sus escribas, la productividad de Euler en muchas áreas de estudio aumentó; ^{[ 66 ]} En 1775, produjo, en promedio, un artículo matemático por semana. ^{[ 40 ]}

En San Petersburgo, el 18 de septiembre de 1783, después de almorzar con su familia, Euler estaba conversando con Anders Johan Lexell sobre el recién descubierto planeta Urano y su órbita cuando se desplomó y murió de una hemorragia cerebral . ^{[ 64 ]} Jacob von Staehlin escribió una breve necrología para la Academia Rusa de Ciencias y el matemático ruso Nicolas Fuss , uno de los discípulos de Euler, escribió un elogio más detallado, ^{[ 56 ]} que pronunció en una reunión conmemorativa. En su elogio para la Academia Francesa , el matemático y filósofo francés Marqués de Condorcet escribió:

...  il cessa de calculer et de vivre.

...  dejó de calcular y de vivir. ^{[ 67 ]}

Euler fue enterrado junto a Katharina en el cementerio luterano de Smolensk, en la isla Vasilievsky . En 1837, la Academia Rusa de Ciencias instaló un nuevo monumento, reemplazando su placa sepulcral, que estaba cubierta de maleza. En 1957, para conmemorar el 250 aniversario de su nacimiento, su tumba fue trasladada al cementerio de Lazarevskoe, en el monasterio de Alexander Nevsky . ^{[ 68 ]}

Euler introdujo y popularizó varias convenciones de notación a través de sus numerosos y ampliamente difundidos libros de texto. En particular, introdujo el concepto de función ^{[ 3 ]} y fue el primero en escribir f ( x ) para denotar la función f aplicada al argumento x . También introdujo la notación moderna para las funciones trigonométricas , la letra e para la base del logaritmo natural (ahora también conocida como número de Euler ), la letra griega Σ para sumatorias y la letra i para denotar la unidad imaginaria . ^{[ 69 ]} El uso de la letra griega π para denotar la razón entre la circunferencia de un círculo y su diámetro también fue popularizado por Euler, aunque se originó con el matemático galés William Jones . ^{[ 70 ]}

El desarrollo del cálculo infinitesimal estuvo a la vanguardia de la investigación matemática del siglo XVIII, y los Bernoulli —amigos de la familia de Euler— fueron responsables de gran parte del progreso inicial en el campo. Gracias a su influencia, el estudio del cálculo se convirtió en el principal foco del trabajo de Euler. Si bien algunas de las demostraciones de Euler no son aceptables según los estándares modernos de rigor matemático ^{[ 71 ]} (en particular su dependencia del principio de generalidad del álgebra ), sus ideas condujeron a muchos grandes avances. Euler es bien conocido en análisis por su uso frecuente y desarrollo de series de potencias , la expresión de funciones como sumas de infinitos términos, ^{[ 72 ]} como $${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{0!}}+{\frac {x}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}\right).}$$

El uso que hizo Euler de las series de potencias le permitió resolver el problema de Basilea , hallando la suma de los recíprocos de los cuadrados de cada número natural, en 1735 (proporcionó un argumento más elaborado en 1741). El problema de Basilea fue planteado originalmente por Pietro Mengoli en 1644, y para la década de 1730 era un famoso problema abierto, popularizado por Jacob Bernoulli y atacado sin éxito por muchos de los principales matemáticos de la época. Euler descubrió que: ^{[ 73 ] [ 74 ] [ 71 ]}

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{1 \over n^{2}}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}\right)={\frac {\pi ^{2}}{6}}.}$$

Euler introdujo la constante $${\displaystyle \gamma =\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots +{\frac {1}{n}}-\ln(n)\right)\approx 0.5772,}$$ ahora conocida como constante de Euler o constante de Euler-Mascheroni, y estudió su relación con la serie armónica , la función gamma y los valores de la función zeta de Riemann . ^{[ 75 ]}

Euler introdujo el uso de la función exponencial y los logaritmos en demostraciones analíticas . Descubrió formas de expresar diversas funciones logarítmicas mediante series de potencias y definió con éxito logaritmos para números negativos y complejos , ampliando así considerablemente el alcance de las aplicaciones matemáticas de los logaritmos. ^{[ 69 ]} También definió la función exponencial para números complejos y descubrió su relación con las funciones trigonométricas . Para cualquier número real φ (considerado como radianes), la fórmula de Euler establece que la función exponencial compleja satisface$${\displaystyle e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi }$$

que fue llamada "la fórmula más notable en matemáticas" por Richard Feynman . ^{[ 76 ]}

Un caso especial de la fórmula anterior se conoce como identidad de Euler , $${\displaystyle e^{i\pi }+1=0}$$

Euler desarrolló la teoría de las funciones trascendentales superiores al introducir la función gamma ^{[ 77 ] [ 78 ]} e introdujo un nuevo método para resolver ecuaciones cuárticas . ^{[ 79 ]} Encontró una manera de calcular integrales con límites complejos, anticipando el desarrollo del análisis complejo moderno . Inventó el cálculo de variaciones y formuló la ecuación de Euler-Lagrange para reducir los problemas de optimización en este campo a la solución de ecuaciones diferenciales .

Euler fue pionero en el uso de métodos analíticos para resolver problemas de teoría de números. Al hacerlo, unió dos ramas dispares de las matemáticas e introdujo un nuevo campo de estudio: la teoría analítica de números . Al sentar las bases de este nuevo campo, Euler creó la teoría de las series hipergeométricas , las series q , las funciones trigonométricas hiperbólicas y la teoría analítica de las fracciones continuas . Por ejemplo, demostró la infinitud de los números primos utilizando la divergencia de la serie armónica y empleó métodos analíticos para comprender mejor la distribución de los números primos . El trabajo de Euler en esta área condujo al desarrollo del teorema de los números primos . ^{[ 80 ]}

El interés de Euler por la teoría de números se remonta a la influencia de Christian Goldbach , ^{[ 81 ]} su amigo en la Academia de San Petersburgo. ^{[ 62 ]} Gran parte del trabajo inicial de Euler sobre teoría de números se basó en el trabajo de Pierre de Fermat . Euler desarrolló algunas de las ideas de Fermat y refutó algunas de sus conjeturas, como su conjetura de que todos los números de la forma${\textstyle 2^{2^{n}}+1}$( Los números de Fermat ) son primos. ^{[ 82 ]}

Euler relacionó la naturaleza de la distribución de los números primos con ideas del análisis. Demostró que la suma de los recíprocos de los primos diverge . Al hacerlo, descubrió la conexión entre la función zeta de Riemann y los números primos; esto se conoce como la fórmula del producto de Euler para la función zeta de Riemann . ^{[ 83 ]}

Euler inventó la función totiente φ( n ), el número de enteros positivos menores o iguales al entero n que son coprimos con n . Utilizando propiedades de esta función, generalizó el pequeño teorema de Fermat a lo que ahora se conoce como el teorema de Euler . ^{[ 84 ]} Contribuyó significativamente a la teoría de los números perfectos , que había fascinado a los matemáticos desde Euclides . Demostró que la relación mostrada entre los números perfectos pares y los primos de Mersenne (que había demostrado anteriormente) era biyectiva, un resultado también conocido como el teorema de Euclides-Euler . ^{[ 85 ]} Euler también conjeturó la ley de reciprocidad cuadrática . El concepto se considera un teorema fundamental dentro de la teoría de números, y sus ideas allanaron el camino para el trabajo de Carl Friedrich Gauss , particularmente Disquisitiones Arithmeticae . ^{[ 86 ]} En 1772, Euler había demostrado que 2 ³¹  −  1 = 2.147.483.647 es un primo de Mersenne. Puede que haya seguido siendo el primo más grande conocido hasta 1867. ^{[ 87 ]}

Euler también contribuyó con importantes avances a la teoría de particiones de un entero . ^{[ 88 ]}

En 1735, Euler presentó una solución al problema conocido como los Siete Puentes de Königsberg . ^{[ 89 ]} La ciudad de Königsberg , en Prusia , se ubicaba a orillas del río Pregel e incluía dos grandes islas conectadas entre sí y con tierra firme por siete puentes. El problema consistía en determinar si era posible seguir un camino que cruzara cada puente exactamente una vez. Euler demostró que no era posible: no existe un camino euleriano . Esta solución se considera el primer teorema de la teoría de grafos . ^{[ 89 ]}

Euler también descubrió la fórmula.${\displaystyle V-E+F=2}$relaciona el número de vértices, aristas y caras de un poliedro convexo [ ^{90 ] y ,} por ende, de un grafo planar . La constante en esta fórmula se conoce ahora como la característica de Euler para el grafo (u otro objeto matemático) y está relacionada con el género del objeto ^{[ 91 ]} . El estudio y la generalización de esta fórmula, específicamente por Cauchy ^{[ 92 ]} y L'Huilier ^{[ 93 ],} constituyen el origen de la topología ^{[ 90 ]} .

Algunos de los mayores éxitos de Euler radicaron en la resolución analítica de problemas del mundo real y en la descripción de numerosas aplicaciones de los números de Bernoulli , las series de Fourier , los números de Euler , las constantes e y π , las fracciones continuas y las integrales. Integró el cálculo diferencial de Leibniz con el método de fluxiones de Newton y desarrolló herramientas que facilitaron la aplicación del cálculo a problemas físicos. Logró grandes avances en la mejora de la aproximación numérica de integrales, inventando lo que hoy se conoce como las aproximaciones de Euler . Las más notables de estas aproximaciones son el método de Euler ^{[ 94 ]} y la fórmula de Euler-Maclaurin ^{[ 95 ] [ 96 ] [ 97 ]} .

Euler contribuyó al desarrollo de la ecuación de la viga de Euler-Bernoulli , que se convirtió en una piedra angular de la ingeniería. ^{[ 98 ]} Además de aplicar con éxito sus herramientas analíticas a problemas de mecánica clásica , Euler aplicó estas técnicas a problemas celestes. Su trabajo en astronomía fue reconocido con múltiples premios de la Academia de París a lo largo de su carrera. Entre sus logros se incluyen la determinación con gran precisión de las órbitas de cometas y otros cuerpos celestes, la comprensión de la naturaleza de los cometas y el cálculo de la paralaje del Sol. Sus cálculos contribuyeron al desarrollo de tablas de longitud precisas . ^{[ 99 ]}

Euler realizó importantes contribuciones a la óptica . ^{[ 100 ]} Discrepó de la teoría corpuscular de la luz de Newton , ^{[ 101 ]} que era la teoría predominante en la época. Sus trabajos de la década de 1740 sobre óptica contribuyeron a que la teoría ondulatoria de la luz propuesta por Christiaan Huygens se convirtiera en el modo de pensamiento dominante, al menos hasta el desarrollo de la teoría cuántica de la luz . ^{[ 102 ]}

En dinámica de fluidos , Euler fue el primero en predecir el fenómeno de la cavitación en 1754, mucho antes de su primera observación a finales del siglo XIX, y el número de Euler utilizado en los cálculos de flujo de fluidos proviene de su trabajo relacionado sobre la eficiencia de las turbinas . ^{[ 103 ]} En 1757 publicó un conjunto importante de ecuaciones para el flujo no viscoso en dinámica de fluidos , que ahora se conocen como las ecuaciones de Euler . ^{[ 104 ]}

Euler es bien conocido en ingeniería estructural por su fórmula que da la carga crítica de Euler , la carga crítica de pandeo de un puntal ideal, que depende solo de su longitud y rigidez a la flexión . ^{[ 105 ]}

Se le atribuye a Euler el uso de curvas cerradas para ilustrar el razonamiento silogístico (1768). Estos diagramas se conocen como diagramas de Euler . ^{[ 106 ]}

Un diagrama de Euler es una representación gráfica de conjuntos y sus relaciones. Los diagramas de Euler consisten en curvas cerradas simples (generalmente círculos) en el plano que representan conjuntos . Cada curva de Euler divide el plano en dos regiones o "zonas": el interior, que representa simbólicamente los elementos del conjunto, y el exterior, que representa todos los elementos que no pertenecen al conjunto. El tamaño o la forma de las curvas no son importantes; la importancia del diagrama radica en cómo se superponen. Las relaciones espaciales entre las regiones delimitadas por cada curva (superposición, contención o ninguna) corresponden a relaciones de la teoría de conjuntos ( intersección , subconjunto y disyunción ). Las curvas cuyas zonas interiores no se intersecan representan conjuntos disjuntos . Dos curvas cuyas zonas interiores se intersecan representan conjuntos que tienen elementos comunes; la zona dentro de ambas curvas representa el conjunto de elementos comunes a ambos conjuntos (la intersección de los conjuntos). Una curva que está completamente contenida dentro de la zona interior de otra representa un subconjunto de ella.

Los diagramas de Euler (y su perfeccionamiento en diagramas de Venn ) se incorporaron a la enseñanza de la teoría de conjuntos como parte del movimiento de las nuevas matemáticas en la década de 1960. ^{[ 107 ]} Desde entonces, se han popularizado como método para visualizar combinaciones de características. ^{[ 108 ]}

En su artículo de 1760, Una investigación general sobre la mortalidad y la multiplicación de la especie humana, Euler elaboró ​​un modelo que mostraba cómo una población con fertilidad y mortalidad constantes podría crecer geométricamente mediante una ecuación de diferencias. Bajo este crecimiento geométrico, Euler también examinó las relaciones entre varios índices demográficos, mostrando cómo podrían usarse para producir estimaciones cuando faltaban observaciones. Tres artículos publicados unos 150 años después por Alfred J. Lotka (1907, 1911 (con FR Sharpe) y 1922) adoptaron un enfoque similar al de Euler y elaboraron su Modelo de Población Estable. Estos marcaron el inicio de la modelización demográfica formal del siglo XX. ^{[ 109 ] [ 110 ] [ 111 ] [ 112 ] [ 113 ] [ 114 ]}

Uno de los intereses más singulares de Euler fue la aplicación de ideas matemáticas a la música . En 1739 escribió el Tentamen novae theoriae musicae ( Intento de una nueva teoría de la música ), con la esperanza de incorporar la teoría musical a las matemáticas. Sin embargo, esta parte de su obra no recibió mucha atención y fue descrita en una ocasión como demasiado matemática para los músicos y demasiado musical para los matemáticos. ^{[ 115 ]} Incluso al tratar con música, el enfoque de Euler es principalmente matemático, ^{[ 116 ]} por ejemplo, su introducción de logaritmos binarios como una forma de describir numéricamente la subdivisión de octavas en partes fraccionarias. ^{[ 117 ]} Sus escritos sobre música no son particularmente numerosos (unos pocos cientos de páginas, en su producción total de aproximadamente treinta mil páginas), pero reflejan una preocupación temprana que lo acompañó durante toda su vida. ^{[ 116 ]}

Un primer punto de la teoría musical de Euler es la definición de "géneros", es decir, de posibles divisiones de la octava usando los números primos 3 y 5. Euler describe 18 de estos géneros, con la definición general 2 ^m A, donde A es el "exponente" del género (es decir, la suma de los exponentes de 3 y 5) y 2 ^m (donde "m es un número indefinido, pequeño o grande, siempre que los sonidos sean perceptibles" ^{[ 118 ]} ), expresa que la relación se mantiene independientemente del número de octavas involucradas. El primer género, con A = 1, es la octava misma (o sus duplicados); el segundo género, 2 ^m .3, es la octava dividida por la quinta (quinta + cuarta, C–G–C); el tercer género es 2 ^m .5, tercera mayor + sexta menor (C–E–C); La cuarta es 2 ^m .3 ² , dos cuartas y un tono (C–F–B ♭ –C); la quinta es 2 ^m .3.5 (C–E–G–B–C); etc. Los géneros 12 (2 ^m .3 ³ .5), 13 (2 ^m .3 ² .5 ² ) y 14 (2 ^m .3.5 ³ ) son versiones corregidas de los diatónicos, cromáticos y enarmónicos , respectivamente, de los Antiguos. El género 18 (2 ^m .3 ³ .5 ² ) es el "diatónico-cromático", "utilizado generalmente en todas las composiciones", ^{[ 119 ]} y que resulta ser idéntico al sistema descrito por Johann Mattheson . ^{[ 120 ]} Euler posteriormente vislumbró la posibilidad de describir géneros que incluyeran el número primo 7. ^{[ 121 ]}

Euler ideó un grafo específico, el Speculum musicum , ^{[ 122 ] [ 123 ]} para ilustrar el género diatónico-cromático, y analizó trayectorias en este grafo para intervalos específicos, recordando su interés en los Siete Puentes de Königsberg (véase más arriba ). El dispositivo despertó un renovado interés como el Tonnetz en la teoría neoriemanniana (véase también Retículo (música) ). ^{[ 124 ]}

Euler utilizó además el principio del "exponente" para proponer una derivación de los gradus suavitatis (grado de suavidad, de agrado) de intervalos y acordes a partir de sus factores primos; hay que tener en cuenta que consideró la entonación justa , es decir, 1 y solo los números primos 3 y 5. ^{[ 125 ]} Se han propuesto fórmulas que extienden este sistema a cualquier número de números primos, por ejemplo, en la forma $${\displaystyle \ ds=\sum _{i}\left(k_{i}\cdot p_{i}-k_{i}\right)+1\ ,}$$ donde p _i son números primos y k _i sus exponentes. ^{[ 126 ]}

Euler es ampliamente reconocido como uno de los más grandes matemáticos de todos los tiempos, y muy probablemente el contribuyente más prolífico a las matemáticas y la ciencia. ^{[ 8 ]} El matemático y físico John von Neumann llamó a Euler "el mayor virtuoso de la época". ^{[ 133 ]} El matemático François Arago dijo: "Euler calculaba sin ningún esfuerzo aparente, como los hombres respiran y como las águilas se sostienen en el aire". ^{[ 134 ]} Generalmente se le sitúa justo por debajo de Carl Friedrich Gauss , Isaac Newton y Arquímedes entre los más grandes matemáticos de todos los tiempos, ^{[ 134 ]} mientras que algunos lo sitúan al mismo nivel que ellos. ^{[ 135 ]} El físico y matemático Henri Poincaré llamó a Euler el "dios de las matemáticas". ^{[ 136 ]}

El matemático francés André Weil señaló que Euler se situó por encima de sus contemporáneos y que, más que nadie, fue capaz de consolidarse como la fuerza principal de las matemáticas de su época: ^{[ 133 ]}

Ningún matemático alcanzó jamás una posición de liderazgo indiscutible en todas las ramas de las matemáticas, tanto puras como aplicadas, como la que ostentó Euler durante la mayor parte del siglo XVIII.

El matemático suizo Nicolas Fuss destacó la extraordinaria memoria y amplitud de conocimientos de Euler, diciendo: ^{[ 5 ]}

El conocimiento que llamamos erudición no le era ajeno. Había leído a los mejores escritores romanos, conocía a la perfección la historia antigua de las matemáticas, memorizaba los acontecimientos históricos de todas las épocas y pueblos, y podía citar sin vacilar, a modo de ejemplo, hasta el más mínimo suceso histórico. Sabía más de medicina, botánica y química de lo que cabría esperar de alguien que no se hubiera dedicado especialmente a esas ciencias.

Euler apareció en la sexta ^{[ 137 ]} y séptima ^{[ 138 ]} serie del billete suizo de 10 francos y en numerosos sellos postales suizos, alemanes y rusos. En 1782 fue elegido miembro honorario extranjero de la Academia Estadounidense de Artes y Ciencias . ^{[ 139 ]} El asteroide 2002 Euler fue nombrado en su honor. ^{[ 140 ]}