Problema de Basilea

El problema de Basilea es un problema de análisis matemático relacionado con la teoría de números , que se refiere a una suma infinita de cuadrados inversos. Fue planteado por primera vez por Pietro Mengoli en 1650 y resuelto por Leonhard Euler en 1734, ^[1] y leído el 5 de diciembre de 1735 en la Academia de Ciencias de San Petersburgo . ^[2] Dado que el problema había resistido los ataques de los principales matemáticos de la época, la solución de Euler le trajo fama inmediata cuando tenía veintiocho años. Euler generalizó el problema considerablemente, y sus ideas fueron retomadas más de un siglo después por Bernhard Riemann en su artículo seminal de 1859 " Sobre el número de primos menores que una magnitud dada ", en el que definió su función zeta y demostró sus propiedades básicas. El problema lleva el nombre de Basilea , ciudad natal de Euler, así como de la familia Bernoulli que abordó el problema sin éxito.

El problema de Basilea pide la suma precisa de los recíprocos de los cuadrados de los números naturales , es decir, la suma precisa de las series infinitas : $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots .}$$

La suma de la serie es aproximadamente igual a 1,644934. ^[3] El problema de Basilea pide la suma exacta de esta serie (en forma cerrada ), así como una prueba de que esta suma es correcta. Euler encontró la suma exacta y anunció este descubrimiento en 1735. Sus argumentos se basaban en manipulaciones que no estaban justificadas en ese momento, aunque más tarde se demostró que tenía razón. Produjo una prueba aceptada en 1741. $Estilo de visualización: pi ^{2}/6$

La solución de este problema se puede utilizar para estimar la probabilidad de que dos números aleatorios grandes sean coprimos . Dos números enteros aleatorios en el rango de 1 a , en el límite que tiende a infinito, son primos entre sí con una probabilidad que se aproxima a , el recíproco de la solución del problema de Basilea. ^[4]${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización n}$${\displaystyle 6/\pi ^{2}}$

La derivación original del valor de Euler esencialmente extendió las observaciones sobre polinomios finitos y asumió que estas mismas propiedades son válidas para series infinitas. $Estilo de visualización: pi ^{2}/6$

Por supuesto, el razonamiento original de Euler requiere justificación (100 años después, Karl Weierstrass demostró que la representación de Euler de la función seno como un producto infinito es válida, mediante el teorema de factorización de Weierstrass ), pero incluso sin justificación, simplemente obteniendo el valor correcto, pudo verificarlo numéricamente contra sumas parciales de la serie. La concordancia que observó le dio suficiente confianza para anunciar su resultado a la comunidad matemática.

Para seguir el argumento de Euler, recordemos la expansión en serie de Taylor de la función seno. Dividiendo por se obtiene $${\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots }$$${\estilo de visualización x}$$${\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}=1-{\frac {x^{2}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{5!}}-{\frac {x^{6}}{7!}}+\cdots .}$$

El teorema de factorización de Weierstrass muestra que el lado izquierdo es el producto de factores lineales dados por sus raíces, al igual que para polinomios finitos. Euler asumió esto como una heurística para expandir un polinomio de grado infinito en términos de sus raíces, pero de hecho no siempre es cierto para . ^[5] Esta factorización expande la ecuación en: ${\estilo de visualización P(x)}$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\sin x}{x}}&=\left(1-{\frac {x}{\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{\pi }}\right)\left(1-{\frac {x}{2\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{2\pi }}\right)\left(1-{\frac {x}{3\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{3\pi }}\right)\cdots \\&=\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{4\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{9\pi ^{2}}}\right)\cdots \end{aligned}}}$$

Si multiplicamos formalmente este producto y reunimos todos los términos x ² (estamos autorizados a hacerlo debido a las identidades de Newton ), vemos por inducción que el coeficiente x ^{2 de} ⁠pecado x/incógnita⁠ es ^[6] $${\displaystyle -\left({\frac {1}{\pi ^{2}}}+{\frac {1}{4\pi ^{2}}}+{\frac {1}{9\pi ^{2}}}+\cdots \right)=-{\frac {1}{\pi ^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}.}$$

Pero a partir de la expansión original de la serie infinita de ⁠pecado x/incógnita⁠ , el coeficiente de x ² es − ⁠1/3!⁠ = − ⁠1/6⁠ . Estos dos coeficientes deben ser iguales; por lo tanto, $${\displaystyle -{\frac {1}{6}}=-{\frac {1}{\pi ^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}.}$$

Al multiplicar ambos lados de esta ecuación por − π ² se obtiene la suma de los recíprocos de los números enteros cuadrados positivos. $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}.}$$

Este método de cálculo se detalla de manera expositiva, sobre todo en el libro Gamma de Havil , que detalla muchas funciones zeta y series e integrales relacionadas con logaritmos , así como una perspectiva histórica relacionada con la constante gamma de Euler . ^[7]${\displaystyle \zeta (2)}$

Utilizando fórmulas obtenidas a partir de polinomios simétricos elementales , ^[8] este mismo enfoque se puede utilizar para enumerar fórmulas para las constantes zeta pares de índice par que tienen la siguiente fórmula conocida expandida por los números de Bernoulli : $${\displaystyle \zeta (2n)={\frac {(-1)^{n-1}(2\pi )^{2n}}{2\cdot (2n)!}}B_{2n}.}$$

Por ejemplo, supongamos que el producto parcial de θ desarrollado como se indica arriba se define como . Luego, utilizando fórmulas conocidas para polinomios simétricos elementales (es decir, fórmulas de Newton desarrolladas en términos de identidades de suma de potencias ), podemos ver (por ejemplo) que ${\displaystyle \sin(x)}$${\displaystyle {\frac {S_{n}(x)}{x}}:=\prod \limits _{k=1}^{n}\left(1-{\frac {x^{2}}{k^{2}\cdot \pi ^{2}}}\right)}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\left[x^{4}\right]{\frac {S_{n}(x)}{x}}&={\frac {1}{2\pi ^{4}}}\left(\left(H_{n}^{(2)}\right)^{2}-H_{n}^{(4)}\right)\qquad \xrightarrow {n\rightarrow \infty } \qquad {\frac {1}{2\pi ^{4}}}\left(\zeta (2)^{2}-\zeta (4)\right)\\[4pt]&\qquad \implies \zeta (4)={\frac {\pi ^{4}}{90}}=-2\pi ^{4}\cdot [x^{4}]{\frac {\sin(x)}{x}}+{\frac {\pi ^{4}}{36}}\\[8pt]\left[x^{6}\right]{\frac {S_{n}(x)}{x}}&=-{\frac {1}{6\pi ^{6}}}\left(\left(H_{n}^{(2)}\right)^{3}-2H_{n}^{(2)}H_{n}^{(4)}+2H_{n}^{(6)}\right)\qquad \xrightarrow {n\rightarrow \infty } \qquad {\frac {1}{6\pi ^{6}}}\left(\zeta (2)^{3}-3\zeta (2)\zeta (4)+2\zeta (6)\right)\\[4pt]&\qquad \implies \zeta (6)={\frac {\pi ^{6}}{945}}=-3\cdot \pi ^{6}[x^{6}]{\frac {\sin(x)}{x}}-{\frac {2}{3}}{\frac {\pi ^{2}}{6}}{\frac {\pi ^{4}}{90}}+{\frac {\pi ^{6}}{216}},\end{aligned}}}$$

y así sucesivamente para los coeficientes subsiguientes de . Hay otras formas de identidades de Newton que expresan las sumas de potencias (finitas) en términos de los polinomios simétricos elementales , pero podemos tomar una ruta más directa para expresar fórmulas no recursivas para usar el método de polinomios simétricos elementales . Es decir, tenemos una relación de recurrencia entre los polinomios simétricos elementales y los polinomios de suma de potencias dados como en esta página por ${\displaystyle [x^{2k}]{\frac {S_{n}(x)}{x}}}$${\displaystyle H_{n}^{(2k)}}$${\displaystyle e_{i}\equiv e_{i}\left(-{\frac {\pi ^{2}}{1^{2}}},-{\frac {\pi ^{2}}{2^{2}}},-{\frac {\pi ^{2}}{3^{2}}},-{\frac {\pi ^{2}}{4^{2}}},\ldots \right),}$${\displaystyle \zeta (2k)}$$${\displaystyle (-1)^{k}ke_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{j=1}^{k}(-1)^{k-j-1}p_{j}(x_{1},\ldots ,x_{n})e_{k-j}(x_{1},\ldots ,x_{n}),}$$

que en nuestra situación equivale a la relación de recurrencia límite (o convolución de función generadora , o producto ) expandida como $${\displaystyle {\frac {\pi ^{2k}}{2}}\cdot {\frac {(2k)\cdot (-1)^{k}}{(2k+1)!}}=-[x^{2k}]{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\times \sum _{i\geq 1}\zeta (2i)x^{i}.}$$

Luego, por diferenciación y reordenamiento de los términos en la ecuación anterior, obtenemos que $${\displaystyle \zeta (2k)=[x^{2k}]{\frac {1}{2}}\left(1-\pi x\cot(\pi x)\right).}$$

Por los resultados anteriores, podemos concluir que es siempre un múltiplo racional de . En particular, dado que y potencias enteras de son trascendentales , podemos concluir en este punto que es irracional , y más precisamente, trascendental para todo . Por el contrario, las propiedades de las constantes zeta de índice impar , incluida la constante de Apéry , son casi completamente desconocidas. ${\displaystyle \zeta (2k)}$${\displaystyle \pi ^{2k}}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \zeta (2k)}$${\displaystyle k\geq 1}$ ${\displaystyle \zeta (3)}$

La función zeta de Riemann ζ ( s ) es una de las funciones más importantes en matemáticas debido a su relación con la distribución de los números primos . La función zeta se define para cualquier número complejo s con parte real mayor que 1 mediante la siguiente fórmula: $${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}.}$$

Tomando s = 2 , vemos que ζ (2) es igual a la suma de los recíprocos de los cuadrados de todos los números enteros positivos: $${\displaystyle \zeta (2)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}\approx 1.644934.}$$

La convergencia se puede demostrar mediante la prueba integral o mediante la siguiente desigualdad: $${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{n^{2}}}&<1+\sum _{n=2}^{N}{\frac {1}{n(n-1)}}\\&=1+\sum _{n=2}^{N}\left({\frac {1}{n-1}}-{\frac {1}{n}}\right)\\&=1+1-{\frac {1}{N}}\;{\stackrel {N\to \infty }{\longrightarrow }}\;2.\end{aligned}}}$$

Esto nos da el límite superior 2, y debido a que la suma infinita no contiene términos negativos, debe converger a un valor estrictamente entre 0 y 2. Se puede demostrar que ζ ( s ) tiene una expresión simple en términos de los números de Bernoulli siempre que s sea un entero par positivo. Con s = 2 n : ^[9] $${\displaystyle \zeta (2n)={\frac {(2\pi )^{2n}(-1)^{n+1}B_{2n}}{2\cdot (2n)!}}.}$$

La función sinc normalizada tiene una representación de factorización de Weierstrass como un producto infinito: ${\displaystyle {\text{sinc}}(x)={\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}}$$${\displaystyle {\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{n^{2}}}\right).}$$

El producto infinito es analítico , por lo que al tomar el logaritmo natural de ambos lados y diferenciar se obtiene $${\displaystyle {\frac {\pi \cos(\pi x)}{\sin(\pi x)}}-{\frac {1}{x}}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2x}{n^{2}-x^{2}}}}$$

(por convergencia uniforme , se permite el intercambio de la derivada y la serie infinita). Después de dividir la ecuación por y reagrupar se obtiene ${\displaystyle 2x}$$${\displaystyle {\frac {1}{2x^{2}}}-{\frac {\pi \cot(\pi x)}{2x}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}-x^{2}}}.}$$

Hacemos un cambio de variables ( ): ${\displaystyle x=-it}$$${\displaystyle -{\frac {1}{2t^{2}}}+{\frac {\pi \cot(-\pi it)}{2it}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}+t^{2}}}.}$$

Se puede utilizar la fórmula de Euler para deducir que o bien utilizando la función hiperbólica correspondiente : $${\displaystyle {\frac {\pi \cot(-\pi it)}{2it}}={\frac {\pi }{2it}}{\frac {i\left(e^{2\pi t}+1\right)}{e^{2\pi t}-1}}={\frac {\pi }{2t}}+{\frac {\pi }{t\left(e^{2\pi t}-1\right)}}.}$$$${\displaystyle {\frac {\pi \cot(-\pi it)}{2it}}={\frac {\pi }{2t}}{i\cot(\pi it)}={\frac {\pi }{2t}}\coth(\pi t).}$$

Entonces $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}+t^{2}}}={\frac {\pi \left(te^{2\pi t}+t\right)-e^{2\pi t}+1}{2\left(t^{2}e^{2\pi t}-t^{2}\right)}}=-{\frac {1}{2t^{2}}}+{\frac {\pi }{2t}}\coth(\pi t).}$$

Ahora tomamos el límite cuando tiende a cero y usamos la regla de L'Hôpital tres veces. Por el teorema de Tannery aplicado a , podemos intercambiar el límite y la serie infinita de modo que y por la regla de L'Hôpital ${\displaystyle t}$${\textstyle \lim _{t\to \infty }\sum _{n=1}^{\infty }1/(n^{2}+1/t^{2})}$${\textstyle \lim _{t\to 0}\sum _{n=1}^{\infty }1/(n^{2}+t^{2})=\sum _{n=1}^{\infty }1/n^{2}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}&=\lim _{t\to 0}{\frac {\pi }{4}}{\frac {2\pi te^{2\pi t}-e^{2\pi t}+1}{\pi t^{2}e^{2\pi t}+te^{2\pi t}-t}}\\[6pt]&=\lim _{t\to 0}{\frac {\pi ^{3}te^{2\pi t}}{2\pi \left(\pi t^{2}e^{2\pi t}+2te^{2\pi t}\right)+e^{2\pi t}-1}}\\[6pt]&=\lim _{t\to 0}{\frac {\pi ^{2}(2\pi t+1)}{4\pi ^{2}t^{2}+12\pi t+6}}\\[6pt]&={\frac {\pi ^{2}}{6}}.\end{aligned}}}$$

Utilice la identidad de Parseval (aplicada a la función f ( x ) = x ) para obtener donde $${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }|c_{n}|^{2}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }x^{2}\,dx,}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}c_{n}&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }xe^{-inx}\,dx\\[4pt]&={\frac {n\pi \cos(n\pi )-\sin(n\pi )}{\pi n^{2}}}i\\[4pt]&={\frac {\cos(n\pi )}{n}}i\\[4pt]&={\frac {(-1)^{n}}{n}}i\end{aligned}}}$$

para n ≠ 0 , y c ₀ = 0 . Por lo tanto, $${\displaystyle |c_{n}|^{2}={\begin{cases}{\dfrac {1}{n^{2}}},&{\text{for }}n\neq 0,\\0,&{\text{for }}n=0,\end{cases}}}$$

y $${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }|c_{n}|^{2}=2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }x^{2}\,dx.}$$

Por lo tanto, según sea necesario. $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {1}{4\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }x^{2}\,dx={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$$

Dada una base ortonormal completa en el espacio de L2 funciones periódicas sobre (es decir, el subespacio de funciones integrables al cuadrado que también son periódicas ), denotada por , la identidad de Parseval nos dice que ${\displaystyle L_{\operatorname {per} }^{2}(0,1)}$ ${\displaystyle (0,1)}$${\displaystyle \{e_{i}\}_{i=-\infty }^{\infty }}$$${\displaystyle \|x\|^{2}=\sum _{i=-\infty }^{\infty }|\langle e_{i},x\rangle |^{2},}$$

donde se define en términos del producto interno en este espacio de Hilbert dado por ${\displaystyle \|x\|:={\sqrt {\langle x,x\rangle }}}$$${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{0}^{1}f(x){\overline {g(x)}}\,dx,\ f,g\in L_{\operatorname {per} }^{2}(0,1).}$$

Podemos considerar la base ortonormal en este espacio definida por tal que . Entonces si tomamos , podemos calcular tanto que ${\displaystyle e_{k}\equiv e_{k}(\vartheta ):=\exp(2\pi \imath k\vartheta )}$${\displaystyle \langle e_{k},e_{j}\rangle =\int _{0}^{1}e^{2\pi \imath (k-j)\vartheta }\,d\vartheta =\delta _{k,j}}$${\displaystyle f(\vartheta ):=\vartheta }$$${\displaystyle {\begin{aligned}\|f\|^{2}&=\int _{0}^{1}\vartheta ^{2}\,d\vartheta ={\frac {1}{3}}\\\langle f,e_{k}\rangle &=\int _{0}^{1}\vartheta e^{-2\pi \imath k\vartheta }\,d\vartheta ={\Biggl \{}{\begin{array}{ll}{\frac {1}{2}},&k=0\\-{\frac {1}{2\pi \imath k}}&k\neq 0,\end{array}}\end{aligned}}}$$

por cálculo elemental e integración por partes , respectivamente. Finalmente, por la identidad de Parseval enunciada en la forma anterior, obtenemos que $${\displaystyle {\begin{aligned}\|f\|^{2}={\frac {1}{3}}&=\sum _{\stackrel {k=-\infty }{k\neq 0}}^{\infty }{\frac {1}{(2\pi k)^{2}}}+{\frac {1}{4}}=2\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{(2\pi k)^{2}}}+{\frac {1}{4}}\\&\implies {\frac {\pi ^{2}}{6}}={\frac {2\pi ^{2}}{3}}-{\frac {\pi ^{2}}{2}}=\zeta (2).\end{aligned}}}$$

Nótese que al considerar potencias de orden superior de podemos usar la integración por partes para extender este método a fórmulas de enumeración para cuando . En particular, supongamos que dejamos ${\displaystyle f_{j}(\vartheta ):=\vartheta ^{j}\in L_{\operatorname {per} }^{2}(0,1)}$${\displaystyle \zeta (2j)}$${\displaystyle j>1}$$${\displaystyle I_{j,k}:=\int _{0}^{1}\vartheta ^{j}e^{-2\pi \imath k\vartheta }\,d\vartheta ,}$$

de modo que la integración por partes da como resultado la relación de recurrencia que $${\displaystyle {\begin{aligned}I_{j,k}&={\begin{cases}{\frac {1}{j+1}},&k=0;\\[4pt]-{\frac {1}{2\pi \imath \cdot k}}+{\frac {j}{2\pi \imath \cdot k}}I_{j-1,k},&k\neq 0\end{cases}}\\[6pt]&={\begin{cases}{\frac {1}{j+1}},&k=0;\\[4pt]-\sum \limits _{m=1}^{j}{\frac {j!}{(j+1-m)!}}\cdot {\frac {1}{(2\pi \imath \cdot k)^{m}}},&k\neq 0.\end{cases}}\end{aligned}}}$$

Luego, al aplicar la identidad de Parseval como lo hicimos para el primer caso anterior junto con la linealidad del producto interno, obtenemos que $${\displaystyle {\begin{aligned}\|f_{j}\|^{2}={\frac {1}{2j+1}}&=2\sum _{k\geq 1}I_{j,k}{\bar {I}}_{j,k}+{\frac {1}{(j+1)^{2}}}\\[6pt]&=2\sum _{m=1}^{j}\sum _{r=1}^{j}{\frac {j!^{2}}{(j+1-m)!(j+1-r)!}}{\frac {(-1)^{r}}{\imath ^{m+r}}}{\frac {\zeta (m+r)}{(2\pi )^{m+r}}}+{\frac {1}{(j+1)^{2}}}.\end{aligned}}}$$

Es posible demostrar el resultado mediante cálculo elemental aplicando la diferenciación bajo la técnica del signo integral a una integral debida a Freitas: ^[10] $${\displaystyle I(\alpha )=\int _{0}^{\infty }\ln \left(1+\alpha e^{-x}+e^{-2x}\right)dx.}$$

Si bien la función primitiva del integrando no se puede expresar en términos de funciones elementales, al diferenciar con respecto a llegamos a ${\displaystyle \alpha }$

$${\displaystyle {\frac {dI}{d\alpha }}=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-x}}{1+\alpha e^{-x}+e^{-2x}}}dx,}$$ que se puede integrar sustituyendo y descomponiendo en fracciones parciales . En el rango la integral definida se reduce a ${\displaystyle u=e^{-x}}$${\displaystyle -2\leq \alpha \leq 2}$

$${\displaystyle {\frac {dI}{d\alpha }}={\frac {2}{\sqrt {4-\alpha ^{2}}}}\left[\arctan \left({\frac {\alpha +2}{\sqrt {4-\alpha ^{2}}}}\right)-\arctan \left({\frac {\alpha }{\sqrt {4-\alpha ^{2}}}}\right)\right].}$$

La expresión se puede simplificar utilizando la fórmula de adición de arcotangente e integrar con respecto a mediante sustitución trigonométrica , lo que da como resultado ${\displaystyle \alpha }$

$${\displaystyle I(\alpha )=-{\frac {1}{2}}\arccos \left({\frac {\alpha }{2}}\right)^{2}+c.}$$

La constante de integración se puede determinar observando que dos valores distintos de están relacionados por ${\displaystyle c}$${\displaystyle I(\alpha )}$

$${\displaystyle I(2)=4I(0),}$$ porque al calcularlo podemos factorizarlo y expresarlo en términos de utilizar el logaritmo de una identidad de potencia y la sustitución . Esto permite determinar , y se deduce que ${\displaystyle I(2)}$ ${\displaystyle 1+2e^{-x}+e^{-2x}=(1+e^{-x})^{2}}$${\displaystyle I(0)}$ ${\displaystyle u=x/2}$${\displaystyle c={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$

$${\displaystyle I(-2)=2\int _{0}^{\infty }\ln(1-e^{-x})dx=-{\frac {\pi ^{2}}{3}}.}$$

Esta integral final se puede evaluar expandiendo el logaritmo natural en su serie de Taylor :

$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\ln(1-e^{-x})dx=-\sum _{n=1}^{\infty }\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-nx}}{n}}dx=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}.}$$

Las dos últimas identidades implican

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}.}$$

Si bien la mayoría de las pruebas utilizan resultados de matemáticas avanzadas , como el análisis de Fourier , el análisis complejo y el cálculo multivariable , la siguiente ni siquiera requiere cálculo de una sola variable (hasta que se toma un único límite al final).

Para una prueba que utiliza el teorema del residuo, consulte aquí .

La prueba se remonta a Augustin Louis Cauchy (Cours d'Analyse, 1821, nota VIII). En 1954, esta prueba apareció en el libro de Akiva e Isaak Yaglom "Problemas no elementales en una exposición elemental". Más tarde, en 1982, apareció en la revista Eureka , ^[11] atribuida a John Scholes, pero Scholes afirma que aprendió la prueba de Peter Swinnerton-Dyer , y en cualquier caso mantiene que la prueba era "de conocimiento común en Cambridge a fines de la década de 1960". ^[12]

La idea principal detrás de la prueba es limitar las sumas parciales (finitas) entre dos expresiones, cada una de las cuales tenderá a$${\displaystyle \sum _{k=1}^{m}{\frac {1}{k^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{m^{2}}}}$$π2^​/6⁠ cuando m tiende al infinito. Las dos expresiones se derivan de identidades que involucran las funciones cotangente y cosecante . Estas identidades a su vez se derivan de la fórmula de De Moivre y ahora pasamos a establecer estas identidades.

Sea x un número real con 0 < x < ⁠π/2⁠ , y sea n un entero impar positivo. Entonces, a partir de la fórmula de De Moivre y la definición de la función cotangente, tenemos $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\cos(nx)+i\sin(nx)}{\sin ^{n}x}}&={\frac {(\cos x+i\sin x)^{n}}{\sin ^{n}x}}\\[4pt]&=\left({\frac {\cos x+i\sin x}{\sin x}}\right)^{n}\\[4pt]&=(\cot x+i)^{n}.\end{aligned}}}$$

Del teorema del binomio , tenemos $${\displaystyle {\begin{aligned}(\cot x+i)^{n}=&{n \choose 0}\cot ^{n}x+{n \choose 1}(\cot ^{n-1}x)i+\cdots +{n \choose {n-1}}(\cot x)i^{n-1}+{n \choose n}i^{n}\\[6pt]=&{\Bigg (}{n \choose 0}\cot ^{n}x-{n \choose 2}\cot ^{n-2}x\pm \cdots {\Bigg )}\;+\;i{\Bigg (}{n \choose 1}\cot ^{n-1}x-{n \choose 3}\cot ^{n-3}x\pm \cdots {\Bigg )}.\end{aligned}}}$$

Combinando las dos ecuaciones e igualando las partes imaginarias se obtiene la identidad $${\displaystyle {\frac {\sin(nx)}{\sin ^{n}x}}={\Bigg (}{n \choose 1}\cot ^{n-1}x-{n \choose 3}\cot ^{n-3}x\pm \cdots {\Bigg )}.}$$

Tomamos esta identidad, fijamos un entero positivo m , establecemos n = 2 m + 1 y consideramos x _r = ⁠rπ​/2m + 1⁠ para r = 1, 2, ..., m . Entonces nx _r es un múltiplo de π y por lo tanto sin( nx _r ) = 0 . Por lo tanto, $${\displaystyle 0={{2m+1} \choose 1}\cot ^{2m}x_{r}-{{2m+1} \choose 3}\cot ^{2m-2}x_{r}\pm \cdots +(-1)^{m}{{2m+1} \choose {2m+1}}}$$

para cada r = 1, 2, ..., m . Los valores x _r = x ₁ , x ₂ , ..., x _m son números distintos en el intervalo 0 < x _r < ⁠π/2⁠ . Como la función cot ² x es biunívoca en este intervalo, los números t _r = cot ² x _r son distintos para r = 1, 2, ..., m . Por la ecuación anterior, estos m números son las raíces delpolinomio de grado m$${\displaystyle p(t)={{2m+1} \choose 1}t^{m}-{{2m+1} \choose 3}t^{m-1}\pm \cdots +(-1)^{m}{{2m+1} \choose {2m+1}}.}$$

Mediante las fórmulas de Vieta podemos calcular la suma de las raíces directamente examinando los dos primeros coeficientes del polinomio, y esta comparación muestra que $${\displaystyle \cot ^{2}x_{1}+\cot ^{2}x_{2}+\cdots +\cot ^{2}x_{m}={\frac {\binom {2m+1}{3}}{\binom {2m+1}{1}}}={\frac {2m(2m-1)}{6}}.}$$

Sustituyendo la identidad csc ² x = cot ² x + 1 , tenemos $${\displaystyle \csc ^{2}x_{1}+\csc ^{2}x_{2}+\cdots +\csc ^{2}x_{m}={\frac {2m(2m-1)}{6}}+m={\frac {2m(2m+2)}{6}}.}$$

Consideremos ahora la desigualdad cot ² x < ⁠1/x2^​⁠ < csc ² x (ilustrado geométricamente arriba). Si sumamos todas estas desigualdades para cada uno de los números x _r = ⁠rπ​/2m + 1⁠ , y si usamos las dos identidades anteriores, obtenemos $${\displaystyle {\frac {2m(2m-1)}{6}}<\left({\frac {2m+1}{\pi }}\right)^{2}+\left({\frac {2m+1}{2\pi }}\right)^{2}+\cdots +\left({\frac {2m+1}{m\pi }}\right)^{2}<{\frac {2m(2m+2)}{6}}.}$$

Multiplicando por ( ⁠π/2m + 1⁠ )²
, esto se convierte $${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6}}\left({\frac {2m}{2m+1}}\right)\left({\frac {2m-1}{2m+1}}\right)<{\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{m^{2}}}<{\frac {\pi ^{2}}{6}}\left({\frac {2m}{2m+1}}\right)\left({\frac {2m+2}{2m+1}}\right).}$$

A medida que m se acerca al infinito, las expresiones de la izquierda y la derecha se acercan a ⁠π2^​/6⁠ , entonces por el teorema del apretón , $${\displaystyle \zeta (2)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}=\lim _{m\to \infty }\left({\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{m^{2}}}\right)={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$$

Y esto completa la prueba.

También es posible una demostración suponiendo la conjetura de Weil sobre los números de Tamagawa . ^[13] La conjetura afirma para el caso del grupo algebraico SL ₂ ( R ) que el número de Tamagawa del grupo es uno. Es decir, el cociente del grupo lineal especial sobre los adeles racionales por el grupo lineal especial de los racionales (un conjunto compacto , porque es un retículo en los adeles) tiene medida Tamagawa 1: ${\displaystyle SL_{2}(\mathbb {Q} )}$$${\displaystyle \tau (SL_{2}(\mathbb {Q} )\setminus SL_{2}(A_{\mathbb {Q} }))=1.}$$

Para determinar una medida de Tamagawa, el grupo consta de matrices con . Una forma de volumen invariante en el grupo es ${\displaystyle SL_{2}}$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}x&y\\z&t\end{bmatrix}}}$$${\displaystyle xt-yz=1}$$${\displaystyle \omega ={\frac {1}{x}}dx\wedge dy\wedge dz.}$$

La medida del cociente es el producto de las medidas de correspondientes al lugar infinito, y las medidas de en cada lugar finito, donde son los enteros p-ádicos . ${\displaystyle SL_{2}(\mathbb {Z} )\setminus SL_{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle SL_{2}(\mathbb {Z} _{p})}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$

Para los factores locales, donde es el campo con elementos, y es el subgrupo de congruencia módulo . Dado que cada una de las coordenadas asigna el último grupo a y , la medida de es , donde es la medida de Haar normalizada en . Además, un cálculo estándar muestra que . Al juntarlos se obtiene . $${\displaystyle \omega (SL_{2}(\mathbb {Z} _{p}))=|SL_{2}(F_{p})|\omega (SL_{2}(\mathbb {Z} _{p},p))}$$${\displaystyle F_{p}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle SL_{2}(\mathbb {Z} _{p},p)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle x,y,z}$${\displaystyle p\mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle \left|{\frac {1}{x}}\right|_{p}=1}$${\displaystyle SL_{2}(\mathbb {Z} _{p},p)}$${\displaystyle \mu _{p}(p\mathbb {Z} _{p})^{3}=p^{-3}}$${\displaystyle \mu _{p}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle |SL_{2}(F_{p})|=p(p^{2}-1)}$${\displaystyle \omega (SL_{2}(\mathbb {Z} _{p}))=(1-1/p^{2})}$

En el lugar infinito, un cálculo integral sobre el dominio fundamental de muestra que , y por lo tanto la conjetura de Weil finalmente da En el lado derecho, reconocemos el producto de Euler para , y por lo tanto esto da la solución al problema de Basilea. ${\displaystyle SL_{2}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \omega (SL_{2}(\mathbb {Z} )\setminus SL_{2}(\mathbb {R} )=\pi ^{2}/6}$$${\displaystyle 1={\frac {\pi ^{2}}{6}}\prod _{p}\left(1-{\frac {1}{p^{2}}}\right).}$$${\displaystyle 1/\zeta (2)}$

Este enfoque muestra la conexión entre la geometría (hiperbólica) y la aritmética, y puede invertirse para dar una prueba de la conjetura de Weil para el caso especial de , contingente a una prueba independiente de que . ${\displaystyle SL_{2}}$${\displaystyle \zeta (2)=\pi ^{2}/6}$

Vea los casos especiales de las identidades para la función zeta de Riemann cuando Otras identidades y representaciones notablemente especiales de esta constante aparecen en las secciones siguientes. ${\displaystyle s=2.}$

Las siguientes son representaciones en serie de la constante: ^[14] $${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta (2)&=3\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}{\binom {2k}{k}}}}\\[6pt]&=\sum _{i=1}^{\infty }\sum _{j=1}^{\infty }{\frac {(i-1)!(j-1)!}{(i+j)!}}.\end{aligned}}}$$

También existen expansiones de series de tipo BBP para ζ (2) . ^[14]

Las siguientes son representaciones integrales de ^{[15] [16] [17]}${\displaystyle \zeta (2){\text{:}}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta (2)&=-\int _{0}^{1}{\frac {\log x}{1-x}}\,dx\\[6pt]&=\int _{0}^{\infty }{\frac {x}{e^{x}-1}}\,dx\\[6pt]&=\int _{0}^{1}{\frac {(\log x)^{2}}{(1+x)^{2}}}\,dx\\[6pt]&=2+2\int _{1}^{\infty }{\frac {\lfloor x\rfloor -x}{x^{3}}}\,dx\\[6pt]&=\exp \left(2\int _{2}^{\infty }{\frac {\pi (x)}{x(x^{2}-1)}}\,dx\right)\\[6pt]&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {dx\,dy}{1-xy}}\\[6pt]&={\frac {4}{3}}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {dx\,dy}{1-(xy)^{2}}}\\[6pt]&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {1-x}{1-xy}}\,dx\,dy+{\frac {2}{3}}.\end{aligned}}}$$

En el artículo clásico de van der Poorten que narra la prueba de Apéry de la irracionalidad de${\displaystyle \zeta (3)}$ , ^[18] el autor señala como "una pista falsa" la similitud de una fracción continua para la constante de Apery y la siguiente para la constante de Basilea: donde . Otra fracción continua de forma similar es: ^[19] donde . $${\displaystyle {\frac {\zeta (2)}{5}}={\cfrac {1}{{\widetilde {v}}_{1}-{\cfrac {1^{4}}{{\widetilde {v}}_{2}-{\cfrac {2^{4}}{{\widetilde {v}}_{3}-{\cfrac {3^{4}}{{\widetilde {v}}_{4}-\ddots }}}}}}}},}$$${\displaystyle {\widetilde {v}}_{n}=11n^{2}-11n+3\mapsto \{3,25,69,135,\ldots \}}$ $${\displaystyle {\frac {\zeta (2)}{2}}={\cfrac {1}{v_{1}-{\cfrac {1^{4}}{v_{2}-{\cfrac {2^{4}}{v_{3}-{\cfrac {3^{4}}{v_{4}-\ddots }}}}}}}},}$$${\displaystyle v_{n}=2n-1\mapsto \{1,3,5,7,9,\ldots \}}$

• Lista de sumas de recíprocos

• Weil, André (1983), Teoría de números: una aproximación a través de la historia , Springer-Verlag, ISBN 0-8176-3141-0.
• Dunham, William (1999), Euler: el maestro de todos nosotros , Asociación Matemática de América , ISBN 0-88385-328-0.
• Derbyshire, John (2003), La obsesión primordial: Bernhard Riemann y el mayor problema sin resolver de las matemáticas , Joseph Henry Press, ISBN 0-309-08549-7.
• Edwards, Harold M. (2001), Función zeta de Riemann , Dover, ISBN 0-486-41740-9.