Antiderivado

En cálculo , una antiderivada , derivada inversa , función primitiva , integral primitiva o integral indefinida ^{[ Nota 1 ]} de una función f es una función diferenciable F cuya derivada es igual a la función original f . Esto se puede expresar simbólicamente como F' = f . ^{[ 1 ] [ 2 ]} El proceso de resolver para antiderivadas se llama antidiferenciación (o integración indefinida ), y su operación opuesta se llama diferenciación , que es el proceso de encontrar una derivada. Las antiderivadas a menudo se denotan con letras romanas mayúsculas como F y G.

Las antiderivadas están relacionadas con las integrales definidas a través del segundo teorema fundamental del cálculo : la integral definida de una función sobre un intervalo cerrado donde la función es integrable de Riemann es igual a la diferencia entre los valores de una antiderivada evaluada en los extremos del intervalo.

En física , las antiderivadas surgen en el contexto del movimiento rectilíneo (por ejemplo, al explicar la relación entre posición , velocidad y aceleración ). ^{[ 3 ]} El equivalente discreto de la noción de antiderivada es la antidiferencia .

La función${\displaystyle F(x)={\tfrac {x^{3}}{3}}}$es un antiderivado de${\displaystyle f(x)=x^{2}}$, ya que la derivada de${\displaystyle {\tfrac {x^{3}}{3}}}$es${\displaystyle x^{2}}$Dado que la derivada de una constante es cero ,${\displaystyle x^{2}}$tendrá un número infinito de antiderivados, como${\displaystyle {\tfrac {x^{3}}{3}},{\tfrac {x^{3}}{3}}+1,{\tfrac {x^{3}}{3}}-2}$, etc. Por lo tanto, todos los antiderivados de${\displaystyle x^{2}}$se puede obtener cambiando el valor de C en${\displaystyle F(x)={\tfrac {x^{3}}{3}}+C}$donde C es una constante arbitraria conocida como la constante de integración . Las gráficas de las antiderivadas de una función dada son traslaciones verticales unas de otras, y la posición vertical de cada gráfica depende del valor de C.

De forma más general, la función de potencia${\displaystyle f(x)=x^{n}}$tiene antiderivado${\displaystyle F(x)={\tfrac {x^{n+1}}{n+1}}+C}$si n ≠ − 1 y${\displaystyle F(x)=\ln |x|+C}$si n = − 1 .

En física , la integración de la aceleración produce la velocidad más una constante. La constante es el término de velocidad inicial que se perdería al derivar la velocidad, ya que la derivada de un término constante es cero. Este mismo patrón se aplica a las integraciones y derivadas posteriores del movimiento (posición, velocidad, aceleración, etc.). ^{[ 3 ]} Por lo tanto, la integración produce las relaciones de aceleración, velocidad y desplazamiento : $${\displaystyle {\begin{aligned}\int a\,dt&=v+v_{0}\\\int v\,dt&=s+s_{0}\end{aligned}}}$$

Las antiderivadas se pueden usar para calcular integrales definidas , usando el teorema fundamental del cálculo : si F es una antiderivada de la función continua f sobre el intervalo${\displaystyle [a,b]}$, entonces: $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a).}$$

Debido a esto, cada una de las infinitas antiderivadas de una función dada f puede denominarse "integral indefinida" de f y escribirse utilizando el símbolo de integral sin límites: $${\displaystyle \int f(x)\,dx.}$$

Si F es una antiderivada de f y la función f está definida en algún intervalo, entonces toda otra antiderivada G de f difiere de F en una constante: existe un número c tal que${\displaystyle G(x)=F(x)+c}$para todo x . c se llama constante de integración . Si el dominio de F es una unión disjunta de dos o más intervalos (abiertos), entonces se puede elegir una constante de integración diferente para cada uno de los intervalos. Por ejemplo $${\displaystyle F(x)={\begin{cases}-{\dfrac {1}{x}}+c_{1}&x<0\\[1ex]-{\dfrac {1}{x}}+c_{2}&x>0\end{cases}}}$$

es el antiderivado más general de${\displaystyle f(x)=1/x^{2}}$en su dominio natural${\displaystyle (-\infty,0)\cup (0,\infty).}$

Toda función continua f tiene una antiderivada, y una antiderivada F viene dada por la integral definida de f con límite superior variable: $${\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt~,}$$ para cualquier a en el dominio de f . Variar el límite inferior produce otras antiderivadas, pero no necesariamente todas las antiderivadas posibles. Esta es otra formulación del teorema fundamental del cálculo .

Hay muchas funciones elementales cuyas antiderivadas, aunque existen, no pueden expresarse en términos de funciones elementales. Las funciones elementales son polinomios , funciones exponenciales , logaritmos , funciones trigonométricas , funciones trigonométricas inversas y sus combinaciones bajo composición y combinación lineal . Ejemplos de estas integrales no elementales son:

Para un análisis más detallado, véase también la teoría de Galois diferencial .

Hallar antiderivadas de funciones elementales suele ser considerablemente más difícil que hallar sus derivadas (de hecho, no existe un método predefinido para calcular integrales indefinidas). ^{[ 4 ]} Para algunas funciones elementales, es imposible hallar una antiderivada en términos de otras funciones elementales. Para saber más, consulte funciones elementales e integrales no elementales .

Existen numerosas propiedades y técnicas para encontrar antiderivados. Entre ellas se incluyen, entre otras:

• La linealidad de la integración (que descompone las integrales complicadas en otras más simples)
• Integración por sustitución , a menudo combinada con identidades trigonométricas o el logaritmo natural.
• El método de la regla de la cadena inversa (un caso especial de integración por sustitución)
• Integración por partes (para integrar productos de funciones)
• Integración de función inversa (una fórmula que expresa la antiderivada de la inversa f ⁻¹ de una función invertible y continua f , en términos de f ⁻¹ y la antiderivada de f ).
• El método de fracciones parciales en la integración (que nos permite integrar todas las funciones racionales —fracciones de dos polinomios)
• El algoritmo de Risch
• Técnicas adicionales para integraciones múltiples (véanse, por ejemplo, las integrales dobles , las coordenadas polares , el jacobiano y el teorema de Stokes ).
• Integración numérica (una técnica para aproximar una integral definida cuando no existe una antiderivada elemental, como en el caso de exp(− x ² ) )
• Manipulación algebraica del integrando (para que se puedan utilizar otras técnicas de integración, como la integración por sustitución).
• Fórmula de Cauchy para la integración repetida (para calcular la antiderivada n veces de una función)$${\displaystyle \int _{x_{0}}^{x}\int _{x_{0}}^{x_{1}}\cdots \int _{x_{0}}^{x_{n-1}}f(x_{n})\,dx_{n}\cdots \,dx_{2}\,dx_{1}=\int _{x_{0}}^{x}f(t){\frac {(xt)^{n-1}}{(n-1)!}}\,dt.}$$

Los sistemas de álgebra computacional pueden utilizarse para automatizar parte o la totalidad del trabajo que implican las técnicas simbólicas descritas anteriormente, lo cual resulta especialmente útil cuando las manipulaciones algebraicas son muy complejas o extensas. Las integrales que ya se han derivado pueden consultarse en una tabla de integrales .

Las funciones no continuas pueden tener antiderivadas. Si bien aún existen interrogantes abiertos en este ámbito, se sabe que:

• Algunas funciones altamente patológicas con grandes conjuntos de discontinuidades pueden, no obstante, tener antiderivados.
• En algunos casos, las antiderivadas de dichas funciones patológicas pueden hallarse mediante la integración de Riemann , mientras que en otros casos estas funciones no son integrables de Riemann.

Suponiendo que los dominios de las funciones son intervalos abiertos:

• Una condición necesaria, pero no suficiente, para que una función f tenga una antiderivada es que f tenga la propiedad de valor intermedio . Es decir, si [ a , b ] es un subintervalo del dominio de f e y es cualquier número real entre f ( a ) y f ( b ) , entonces existe un c entre a y b tal que f ( c ) = y . Esto es una consecuencia del teorema de Darboux .
• El conjunto de discontinuidades de f debe ser un conjunto pequeño . Este conjunto también debe ser un conjunto F-sigma (ya que el conjunto de discontinuidades de cualquier función debe ser de este tipo). Además, para cualquier conjunto F-sigma pequeño, se puede construir una función f que tenga una antiderivada, cuyo conjunto de discontinuidades sea el conjunto dado.
• Si f tiene una antiderivada, está acotada en subintervalos finitos cerrados del dominio y tiene un conjunto de discontinuidades de medida de Lebesgue cero, entonces se puede hallar una antiderivada mediante integración en el sentido de Lebesgue. De hecho, utilizando integrales más potentes como la integral de Henstock-Kurzweil , toda función para la que existe una antiderivada es integrable, y su integral general coincide con su antiderivada.
• Si f tiene una antiderivada F en un intervalo cerrado${\displaystyle [a,b]}$, entonces para cualquier elección de partición${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\dots <x_{n}=b,}$si se eligen puntos de muestra${\displaystyle x_{i}^{*}\in [x_{i-1},x_{i}]}$como lo especifica el teorema del valor medio , entonces la suma de Riemann correspondiente se extiende al valor${\displaystyle F(b)-F(a)}$.$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})(x_{i}-x_{i-1})&=\sum _{i=1}^{n}[F(x_{i})-F(x_{i-1})]\\&=F(x_{n})-F(x_{0})=F(b)-F(a)\end{aligned}}}$$Sin embargo, si f no está acotada, o si f está acotada pero el conjunto de discontinuidades de f tiene medida de Lebesgue positiva, se requiere una elección diferente de puntos de muestra.${\displaystyle x_{i}^{*}}$puede dar un valor significativamente diferente para la suma de Riemann, sin importar cuán fina sea la partición. Véase el Ejemplo 4 a continuación.

• Si${\displaystyle {\frac {d}{dx}}f(x)=g(x)}$, entonces${\displaystyle \int g(x)dx=f(x)+C}$.
• ${\displaystyle \int 1dx=x+C}$
• ${\displaystyle \int a\ dx=ax+C}$
• ${\displaystyle \int x^{n}\ dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C;\ n\neq -1}$
• ${\displaystyle \int \sin {x}\ dx=-\cos {x}+C}$
• ${\displaystyle \int \cos {x}\ dx=\sin {x}+C}$
• ${\displaystyle \int \sec ^{2}{x}\ dx=\tan {x}+C}$
• ${\displaystyle \int \csc ^{2}{x}\ dx=-\cot {x}+C}$
• ${\displaystyle \int \sec {x}\tan {x}\ dx=\sec {x}+C}$
• ${\displaystyle \int \csc {x}\cot {x}\ dx=-\csc {x}+C}$
• ${\displaystyle \int {\frac {dx}{x}}=\ln |x|+C}$
• ${\displaystyle \int e^{x}\ dx=e^{x}+C}$
• ${\displaystyle \int a^{x}\ dx={\frac {a^{x}}{\ln a}}+C;\ a>0,\ a\neq 1}$
• ${\displaystyle \int {\frac {1}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}\ dx=\arcsin \left({\frac {x}{a}}\right)+C}$
• ${\displaystyle \int {\frac {1}{a^{2}+x^{2}}}\ dx={\frac {1}{a}}\arctan \left({\frac {x}{a}}\right)+C}$

• Antiderivada (análisis complejo)
• antiderivado formal
• Integral de Jackson
• Listas de integrales
• Integración simbólica
• Área

• Introducción al análisis real clásico , por Karl R. Stromberg; Wadsworth, 1981 (véase también )
• Ensayo histórico sobre la continuidad de las derivadas por Dave L. Renfro

• Wolfram Integrator : integración simbólica en línea gratuita con Mathematica
• Calculadora de funciones de WIMS
• Integral en HyperPhysics
• Antiderivadas e integrales indefinidas en la Academia Khan
• Calculadora de integrales en Symbolab
• El antiderivado en el MIT
• Introducción a las integrales en SparkNotes
• Antiderivados en el Harvey Mudd College