Campo de pendientes

{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=x^{2}-x-2} — El campo de pendientes de ${\frac {dy}{dx}}=x^{2}-x-2$ , con las líneas azul, roja y verde siendo ${\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{2}}{2}}-2x+4$ , ${\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{2}}{2}}-2x$ , y ${\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{2}}{2}}-2x-4$ , respectivamente.

Un campo de pendientes (también llamado campo direccional ^{[ 1 ]} ) es una representación gráfica de las soluciones de una ecuación diferencial de primer orden ^{[ 2 ]} de una función escalar. Las soluciones de un campo de pendientes son funciones representadas como curvas continuas. Un campo de pendientes muestra la pendiente de una ecuación diferencial en ciertos intervalos verticales y horizontales en el plano xy, y puede utilizarse para determinar la pendiente tangente aproximada en un punto de una curva, donde la curva es alguna solución de la ecuación diferencial.

Definición

Caso estándar

El campo de pendientes se puede definir para el siguiente tipo de ecuaciones diferenciales:

y'=f(x,y),

lo cual puede interpretarse geométricamente como dar la pendiente de la tangente a la gráfica de la solución de la ecuación diferencial ( curva integral ) en cada punto ( x , y ) como una función de las coordenadas del punto. ^{[ 3 ]}

Puede considerarse una forma creativa de graficar una función de valor real de dos variables reales. $f(x,y)$ como una imagen plana. Específicamente, para un par dado $x,y$ , un vector con los componentes $[1,f(x,y)]$ se dibuja en el punto $x,y$ en el $x,y$ -plano. A veces, el vector $[1,f(x,y)]$ Se normaliza para que el gráfico se vea mejor a simple vista. Un conjunto de pares $x,y$ Para el dibujo se suele utilizar una cuadrícula rectangular.

Una isoclina (una serie de líneas con la misma pendiente) se usa a menudo para complementar el campo de pendientes. En una ecuación de la forma $y'=f(x,y)$ , la isoclina es una línea en la $x,y$ -plano obtenido al establecer $f(x,y)$ igual a una constante.

Caso general de un sistema de ecuaciones diferenciales

Dado un sistema de ecuaciones diferenciales ,

{\begin{aligned}{\frac {dx_{1}}{dt}}&=f_{1}(t,x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\\{\frac {dx_{2}}{dt}}&=f_{2}(t,x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\\&\;\;\vdots \\{\frac {dx_{n}}{dt}}&=f_{n}(t,x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\end{aligned}}

El campo de pendientes es una matriz de marcas de pendiente en el espacio de fase (en cualquier número de dimensiones dependiendo del número de variables relevantes; por ejemplo, dos en el caso de una EDO lineal de primer orden , como se ve a la derecha). Cada marca de pendiente está centrada en un punto $(t,x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ y es paralelo al vector

{\begin{pmatrix}1\\f_{1}(t,x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\\f_{2}(t,x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\\\vdots \\f_{n}(t,x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\end{pmatrix}}.

El número, la posición y la longitud de las marcas de pendiente pueden ser arbitrarios. Las posiciones generalmente se eligen de manera que los puntos $(t,x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ crear una cuadrícula uniforme. El caso estándar, descrito anteriormente, representa $n=1$ . El caso general del campo de pendientes para sistemas de ecuaciones diferenciales no es fácil de visualizar para $n>2$ .

Aplicación general

Con las computadoras, se pueden crear rápidamente campos de pendientes complejos sin mucho esfuerzo, por lo que la única aplicación práctica reciente consiste en utilizarlas simplemente para tener una idea de cómo debería ser una solución antes de buscar una solución general explícita. Por supuesto, las computadoras también pueden resolverla si existe.

Si no existe una solución general explícita, las computadoras pueden usar campos de pendientes (aunque no se muestren) para encontrar numéricamente soluciones gráficas. Ejemplos de tales rutinas son el método de Euler o, mejor aún, los métodos de Runge-Kutta .

Software para trazar campos de pendientes

Existen diferentes paquetes de software que permiten graficar campos de pendientes.

Código de campo de dirección en GNU Octave / MATLAB

funn = @( x , y ) y - x ; % función f(x, y) = yx [ x , y ] = meshgrid ( - 5 : 0.5 : 5 ); % intervalos para x e y slopes = funn ( x , y ); % matriz de valores de pendiente dy = slopes ./ sqrt ( 1 + slopes .^ 2 ); % normalizar el elemento de línea... dx = ones ( length ( dy )) ./ sqrt ( 1 + slopes .^ 2 ); % ...magnitudes para dy y dx h = quiver ( x , y , dx , dy , 0.5 ); % trazar el campo de dirección set ( h , "maxheadsize" , 0.1 ); % modificar el tamaño de la cabeza

Código de ejemplo para Maxima

/* Campo para y'=xy (haga clic en un punto para obtener una curva integral). Plotdf requiere Xmaxima */ plotdf( x*y, [x,-2,2], [y,-2,2]);

Código de ejemplo para Mathematica

(* campo para y'=xy *) VectorPlot [{ 1 , x * y },{ x , -2 , 2 },{ y , -2 , 2 }]

Código de ejemplo para SageMath

Fuente: ^{[ 4 ]}

var('x,y') plot_slope_field(x*y, (x,0,-5), (y,-5,5))

Ejemplos

y' = x/y
Campo de pendientes
curvas integrales
Isoclinas (azul), campo de pendientes (negro) y algunas curvas de solución (rojo).

Véase también

Referencias

↑ Boyce, William (2001). Ecuaciones diferenciales elementales y problemas de contorno (7.ª ed.). Wiley. p. 3. ISBN 9780471319993.
↑ Vladimir A. Dobrushkin (2014). Ecuaciones diferenciales aplicadas: El curso básico . CRC Press. pág. 13. ISBN 978-1-4987-2835-5.
↑ Andrei D. Polyanin; Alexander V. Manzhirov (2006). Manual de matemáticas para ingenieros y científicos . CRC Press. pág. 453. ISBN 978-1-58488-502-3.
↑ "Trazado de campos — Manual de referencia de Sage 9.4: Gráficos 2D" .

Bibliografía

Blanchard, Paul; Devaney, Robert L .; y Hall, Glen R. (2002). Ecuaciones diferenciales (2.ª ed.). Brooks/Cole: Thompson Learning. ISBN 0-534-38514-1

Enlaces externos

Weisstein, Eric W. "Campo de pendientes" . MathWorld .
Graficador de campos de pendiente (Java)
Graficador de campos de pendiente (JavaScript)

[1] Boyce, William (2001). Ecuaciones diferenciales elementales y problemas de contorno (7.ª ed.). Wiley. p. 3. ISBN 9780471319993.

[2] Vladimir A. Dobrushkin (2014). Ecuaciones diferenciales aplicadas: El curso básico . CRC Press. pág. 13. ISBN 978-1-4987-2835-5.

[3] Andrei D. Polyanin; Alexander V. Manzhirov (2006). Manual de matemáticas para ingenieros y científicos . CRC Press. pág. 453. ISBN 978-1-58488-502-3.

[4] "Trazado de campos — Manual de referencia de Sage 9.4: Gráficos 2D" .

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