Función elemental

En matemáticas , una función elemental es una función de una sola variable ( real o compleja ) que suelen encontrar los principiantes. Las funciones elementales básicas son las funciones polinómicas , las funciones racionales , las funciones trigonométricas , las funciones exponenciales y logarítmicas , la raíz enésima y las funciones trigonométricas inversas , así como las funciones obtenidas mediante la suma , la multiplicación , la división y la composición de estas. Algunas funciones que encuentran los principiantes no son elementales, como las funciones definidas a trozos . De forma más general, en algunos enfoques modernos, las funciones elementales comprenden el conjunto de funciones previamente enumeradas, todas las funciones algebraicas y todas las funciones obtenidas a partir de raíces de un polinomio cuyos coeficientes son elementales.

Las funciones elementales fueron definidas originalmente por Joseph Liouville en 1833. Una propiedad clave es que todas las funciones elementales tienen derivadas de cualquier orden, que también son elementales y pueden calcularse algorítmicamente aplicando las reglas de diferenciación (o las reglas para la diferenciación implícita en el caso de raíces). La serie de Taylor de una función elemental converge en un entorno de cada punto de su dominio. Más generalmente, son funciones analíticas globales , definidas (posiblemente con múltiples valores , como la función elemental${\displaystyle {\sqrt {z}}}$o${\displaystyle \log z}$) para cada argumento complejo , excepto en puntos aislados . En cambio, las antiderivadas de funciones elementales no tienen por qué ser elementales y es difícil decidir si una función elemental específica tiene una antiderivada elemental.

El resultado de Liouville es que, si una función elemental tiene una antiderivada elemental, entonces esta antiderivada es una combinación lineal de logaritmos, donde los coeficientes y los argumentos de los logaritmos son funciones elementales involucradas, en cierto sentido, en la definición de la función. El algoritmo de Risch (1968) puede decidir si una función elemental tiene una antiderivada elemental y, de ser así, calcularla. Sin embargo, a partir de 2025, no hay una implementación completa. ^{[ 1 ]}

En contextos elementales de variables reales, como los del cálculo y el precálculo, las expresiones que involucran raíces, logaritmos y funciones trigonométricas inversas se interpretan a menudo utilizando ramas reales fijas en dominios reales específicos. Esta convención es distinta de la convención analítica utilizada en la teoría de funciones elementales e integración en términos finitos. Risch proporciona una definición precisa de funciones elementales "en el sentido del análisis" mediante el uso de funciones de una variable compleja en lugar de una variable real. En este contexto, las funciones elementales se construyen utilizando operaciones algebraicas, exponenciales y logaritmos, y se representan en campos diferenciales de funciones meromorfas en regiones del plano complejo o en superficies de Riemann. ^{[ 7 ]}

Una ecuación algebraica como $${\displaystyle y^{2}=x^{2}}$$ tiene las ramas analíticas locales${\displaystyle y=x}$y${\displaystyle y=-x}$La verdadera identidad $${\displaystyle {\sqrt {x^{2}}}=|x|}$$ utiliza la convención de que${\displaystyle {\sqrt {\cdot }}}$denota la raíz cuadrada real no negativa, y por lo tanto cambia de una rama analítica a la otra en${\displaystyle x=0}$. Por lo tanto, las restricciones de${\displaystyle |x|}$a${\displaystyle (0,\infty )}$y${\displaystyle (-\infty ,0)}$son elementales, pero la función de valor absoluto real usual en un intervalo contiene${\displaystyle 0}$no es una única rama analítica.

La misma distinción aparece en el análisis complejo. Whittaker y Watson señalan que, si bien${\displaystyle x-iy}$y${\displaystyle |z|}$, dónde${\displaystyle z=x+iy}$, son funciones de${\displaystyle z}$En un sentido general, no son funciones elementales del tipo analítico que se está considerando. ^{[ 8 ]} En la computación simbólica, funciones como el valor absoluto, el signo y las funciones definidas por partes pueden tratarse adjuntando una operación de paso o condicional, lo que forma una clase separada de anillos de funciones definidas por partes. ^{[ 9 ]}

De la definición se deduce directamente que el conjunto de funciones elementales es cerrado bajo operaciones aritméticas, extracción de raíces (algebraicas) y composición. Las funciones elementales son cerradas bajo diferenciación . No son cerradas bajo límites ni sumas infinitas . Es importante destacar que las funciones elementales no son cerradas bajo integración , como lo demuestra el teorema de Liouville (véase integral no elemental) . Las funciones de Liouville se definen como las funciones elementales y, recursivamente, las integrales de las funciones de Liouville.

En el análisis de finales del siglo XIX, las funciones elementales se clasificaban a menudo en clases sucesivas según el número de integraciones independientes necesarias para su definición. Las funciones expresables sin ninguna integración —aquellas generadas a partir de funciones racionales mediante operaciones algebraicas junto con exponenciación, logaritmos y funciones trigonométricas circulares o hiperbólicas— se denominaban funciones elementales de primera clase (en el sentido de Liouville). Las funciones definidas por una sola integración de una función algebraica, como la función de error y las integrales elípticas, eran funciones elementales de segunda clase; sus inversas, las funciones elípticas, se consideraban del mismo orden. Las "clases" superiores (tercera, cuarta, etc.) correspondían a integrales múltiples de funciones algebraicas, dando lugar a funciones hiperelípticas y funciones abelianas más generales. ^{[ 10 ]}

El punto esencial de la clasificación era que la clase de funciones elementales de cualquier tipo dado estuviera cerrada bajo las operaciones elementales (suma, multiplicación, composición y diferenciación), de modo que la diferenciación nunca condujera fuera de la misma clase, mientras que la integración pudiera ascender al siguiente tipo superior.

Más recientemente, algunos han propuesto extender el conjunto de funciones elementales mediante la extensión con ciertas funciones trascendentales , para incluir, por ejemplo, la función W de Lambert ^{[ 11 ]} o funciones elípticas ^{[ 12 ]} , todas las cuales son analíticas. El atributo clave, desde la perspectiva del teorema de Liouville, es que como clase, son cerradas bajo la derivación. Por ejemplo, la función de Lambert${\displaystyle w=W(z)}$, que se define implícitamente por la ecuación ⁠${\displaystyle we^{w}=z}$⁠ , tiene una derivada que se puede obtener mediante diferenciación implícita :

${\displaystyle W'(z)={\frac {e^{-W(z)}}{1+W(z)}},}$

lo cual es nuevamente "elemental", siempre que${\displaystyle W(z)}$es.

La definición matemática de una función elemental se formaliza en el álgebra diferencial . Un cuerpo diferencial es un cuerpo con una operación adicional de derivación (versión algebraica de la diferenciación). Mediante la operación de derivación se pueden escribir nuevas ecuaciones y sus soluciones se utilizan en extensiones del álgebra. Partiendo del cuerpo de las funciones racionales , se pueden añadir dos tipos especiales de extensiones trascendentales (el logaritmo y la exponencial) al cuerpo, formando así una estructura que contiene funciones elementales.

Un campo diferencial${\displaystyle F}$es un campo junto con una derivación${\displaystyle u\mapsto \partial u}$que mapas​${\displaystyle F}$⁠ a sí misma. La derivación generaliza la derivada , siendo lineal (es decir, ⁠${\displaystyle \partial (u+v)=\partial u+\partial v}$⁠ ) ​​y que satisfacen la regla del producto de Leibniz (es decir, ⁠${\displaystyle \partial (u\cdot v)=\partial u\cdot v+u\cdot \partial v}$) para cada dos elementos${\displaystyle u}$y​​${\displaystyle v}$en​​${\displaystyle F}$⁠ . Las funciones racionales sobre ⁠${\displaystyle \mathbb {Q} }$de​​${\displaystyle \mathbb {C} }$Forman ejemplos básicos de campos diferenciales, cuando se les añade la derivada habitual.

Un elemento${\displaystyle h}$de​​${\displaystyle F}$es una constante si${\displaystyle \partial h=0}$⁠ . Las constantes de ⁠${\displaystyle F}$Formar un campo diferencial con derivada cero. Hay que tener cuidado, ya que una extensión de un campo diferencial puede ampliar el campo de constantes.

Una función${\displaystyle u}$de una extensión diferencial${\displaystyle G}$de un campo diferencial${\displaystyle F}$es una función elemental sobre${\displaystyle F}$⁠ si pertenece a una cadena finita (para inclusión) de subcampos diferenciales de ⁠${\displaystyle G}$que comienza desde${\displaystyle F}$y es tal que cada uno se genera sobre el anterior mediante una función que es

• algebraica sobre el cuerpo precedente, o
• una exponencial , es decir ,${\displaystyle \partial u=u\partial a}$para algunos pertenecer a un subcampo anterior, o
• un logaritmo , es decir ,${\displaystyle \partial u=\partial a/a}$para algún a perteneciente a un subcampo anterior, (véase el teorema de Liouville )

Con esta definición, las funciones elementales usuales son precisamente aquellas que son elementales sobre el cuerpo de las funciones racionales . Esta definición generalizada permite considerar toda función trascendental como elemental para la aplicación del teorema de Liouville.

• Función algebraica
• Expresión en forma cerrada : fórmula matemática que involucra un conjunto dado de operaciones. 
• Teoría de Galois diferencial
• Aritmética de funciones elementales – Sistema aritmético en la teoría de la demostración 
• Teorema de Liouville (álgebra diferencial) : criterio para la integración en términos de funciones elementales. 
• Teorema de Richardson : Indecidibilidad de las desigualdades de números reales formadas a partir de una clase de funciones elementales.
• El problema de álgebra de la escuela secundaria de Tarski
• Función trascendental : función analítica que no satisface una ecuación polinómica. 

• Forsyth, Andrew (1893). Teoría de las funciones de una variable compleja . Cambridge. JFM 25.0652.01 . 
• Liouville, José (1833a). "Premier mémoire sur la determinación des integrales dont la valeur est algébrique" . Revista de la Escuela Politécnica . tomo XIV: 124-148 .
• Liouville, José (1833b). "Segunda memoria sobre la determinación de los integrales dont la valeur est algébrique" . Revista de la Escuela Politécnica . tomo XIV: 149-193 .
• Liouville, José (1833c). "Note sur la determinación des integrales dont la valeur est algébrique" . Journal für die reine und angewandte Mathematik . 10 : 347–359 .
• von Mohrenschildt, Martin (1998), "Una forma normal para anillos de funciones de funciones por partes", Journal of Symbolic Computation , 26 (5): 607– 619, doi : 10.1006/jsco.1998.0229.
• Risch, RH (1969), "El problema de la integración en términos finitos", Transactions of the American Mathematical Society , 139 , American Mathematical Society: 167–189 , doi : 10.2307/1995313 , JSTOR 1995313 .
• Ritt, Joseph (1950). Álgebra diferencial . AMS .
• Rosenlicht, Maxwell (1972). "Integración en términos finitos". American Mathematical Monthly . 79 (9): 963– 972. doi : 10.2307/2318066 . JSTOR 2318066 . 
• Whittaker, Edmund Taylor ; Watson, George Neville (2 de enero de 1927). Un curso de análisis moderno: una introducción a la teoría general de los procesos infinitos y de las funciones analíticas; con una explicación de las principales funciones trascendentales (4.ª  ed.). Cambridge, Reino Unido: en University Press .

• Davenport, James H. (2007). "¿Qué podría significar "comprender una función"?". Hacia asistentes matemáticos mecanizados . Notas de clase en ciencias de la computación. Vol.  4573. pp. 55–65 . doi : 10.1007/978-3-540-73086-6_5 . ISBN  978-3-540-73083-5. S2CID 8049737 . 

• Funciones elementales en la Enciclopedia de Matemáticas
• Weisstein, Eric W. "Función elemental" . MathWorld .