Integral exponencial

En matemáticas, la integral exponencial Ei es una función especial en el plano complejo .

Se define como una integral definida particular de la relación entre una función exponencial y su argumento .

Para valores reales distintos de cero de  x , la integral exponencial Ei( x ) se define como

${\displaystyle \operatorname {Ei} (x)=-\int _{-x}^{\infty }{\frac {e^{-t}}{t}}\,dt=\int _{-\infty }^{x}{\frac {e^{t}}{t}}\,dt.}$

^[1]

${\displaystyle \lim _{\delta \to 0+}E_{1}(-x\pm i\delta )=-\operatorname {Ei} (x)\mp i\pi ,\qquad x>0.}$

Varias propiedades de la integral exponencial a continuación, en ciertos casos, permiten evitar su evaluación explícita a través de la definición anterior.

Para argumentos reales o complejos fuera del eje real negativo, se puede expresar como ^[2]$Estilo de visualización E_{1}(z)}$

${\displaystyle E_{1}(z)=-\gamma -\ln z-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-z)^{k}}{k\;k!}}\qquad (\left|\operatorname {Arg} (z)\right|<\pi )}$

donde es la constante de Euler-Mascheroni . La suma converge para todos los complejos y tomamos el valor habitual del logaritmo complejo que tiene una rama cortada a lo largo del eje real negativo. ${\estilo de visualización \gamma}$${\estilo de visualización z}$

Esta fórmula se puede utilizar para realizar cálculos con operaciones de punto flotante para números reales entre 0 y 2,5. Para , el resultado es inexacto debido a la cancelación . $Estilo de visualización E_{1}(x)}$${\estilo de visualización x}$${\displaystyle x>2.5}$

Ramanujan encontró una serie convergente más rápida :

${\displaystyle {\rm {Ei}}(x)=\gamma +\ln x+\exp {(x/2)}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}x^{n}}{n!\,2^{n-1}}}\sum _{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor }{\frac {1}{2k+1}}}$

Desafortunadamente, la convergencia de la serie anterior es lenta para argumentos de módulo mayor. Por ejemplo, se requieren más de 40 términos para obtener una respuesta correcta con tres cifras significativas para . ^[3] Sin embargo, para valores positivos de x, existe una aproximación de serie divergente que se puede obtener integrando por partes: ^[4]${\displaystyle E_{1}(10)}$${\displaystyle xe^{x}E_{1}(x)}$

${\displaystyle E_{1}(x)={\frac {\exp(-x)}{x}}\left(\sum _{n=0}^{N-1}{\frac {n!}{(-x)^{n}}}+O(N!x^{-N})\right)}$

El error relativo de la aproximación anterior se representa en la figura de la derecha para varios valores de , el número de términos en la suma truncada ( en rojo, en rosa). ${\displaystyle N}$${\displaystyle N=1}$${\displaystyle N=5}$

Mediante la integración por partes, podemos obtener una fórmula explícita ^[5] Para cualquier fijo , el valor absoluto del término de error disminuye y luego aumenta. El mínimo ocurre en , en cuyo punto . Se dice que este límite es "asintótico más allá de todos los órdenes". $${\displaystyle \operatorname {Ei} (z)={\frac {e^{z}}{z}}\left(\sum _{k=0}^{n}{\frac {k!}{z^{k}}}+e_{n}(z)\right),\quad e_{n}(z)\equiv (n+1)!\ ze^{-z}\int _{-\infty }^{z}{\frac {e^{t}}{t^{n+2}}}\,dt}$$${\displaystyle z}$${\displaystyle |e_{n}(z)|}$${\displaystyle n\sim |z|}$${\displaystyle \vert e_{n}(z)\vert \leq {\sqrt {\frac {2\pi }{\vert z\vert }}}e^{-\vert z\vert }}$

De las dos series sugeridas en las subsecciones anteriores se desprende que se comporta como una exponencial negativa para valores grandes del argumento y como un logaritmo para valores pequeños. Para valores reales positivos del argumento, se puede encerrar entre las funciones elementales de la siguiente manera: ^[6]${\displaystyle E_{1}}$${\displaystyle E_{1}}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}e^{-x}\,\ln \!\left(1+{\frac {2}{x}}\right)<E_{1}(x)<e^{-x}\,\ln \!\left(1+{\frac {1}{x}}\right)\qquad x>0}$

El lado izquierdo de esta desigualdad se muestra en el gráfico de la izquierda en azul; la parte central se muestra en negro y el lado derecho se muestra en rojo. ${\displaystyle E_{1}(x)}$

Tanto y se pueden escribir de forma más sencilla utilizando la función completa ^[7] definida como ${\displaystyle \operatorname {Ei} }$${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle \operatorname {Ein} }$

${\displaystyle \operatorname {Ein} (z)=\int _{0}^{z}(1-e^{-t}){\frac {dt}{t}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}z^{k}}{k\;k!}}}$

(tenga en cuenta que esta es solo la serie alternada en la definición anterior de ). Entonces tenemos ${\displaystyle E_{1}}$

${\displaystyle E_{1}(z)\,=\,-\gamma -\ln z+{\rm {Ein}}(z)\qquad \left|\operatorname {Arg} (z)\right|<\pi }$

${\displaystyle \operatorname {Ei} (x)\,=\,\gamma +\ln {x}-\operatorname {Ein} (-x)\qquad x\neq 0}$

La ecuación de Kummer

${\displaystyle z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+(b-z){\frac {dw}{dz}}-aw=0}$

se suele resolver mediante las funciones hipergeométricas confluentes y Pero cuando y es decir, ${\displaystyle M(a,b,z)}$${\displaystyle U(a,b,z).}$${\displaystyle a=0}$${\displaystyle b=1,}$

${\displaystyle z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+(1-z){\frac {dw}{dz}}=0}$

tenemos

${\displaystyle M(0,1,z)=U(0,1,z)=1}$

para todo z . Una segunda solución viene dada por E ₁ (− z ). De hecho,

${\displaystyle E_{1}(-z)=-\gamma -i\pi +{\frac {\partial [U(a,1,z)-M(a,1,z)]}{\partial a}},\qquad 0<{\rm {Arg}}(z)<2\pi }$

con la derivada evaluada en Otra conexión con las funciones hipergeométricas confluentes es que E ₁ es una exponencial multiplicada por la función U (1,1, z ): ${\displaystyle a=0.}$

${\displaystyle E_{1}(z)=e^{-z}U(1,1,z)}$

La integral exponencial está estrechamente relacionada con la función integral logarítmica li( x ) por la fórmula

${\displaystyle \operatorname {li} (e^{x})=\operatorname {Ei} (x)}$

para valores reales distintos de cero de . ${\displaystyle x}$

La integral exponencial también puede generalizarse a

${\displaystyle E_{n}(x)=\int _{1}^{\infty }{\frac {e^{-xt}}{t^{n}}}\,dt,}$

que puede escribirse como un caso especial de la función gamma incompleta superior : ^[8]

${\displaystyle E_{n}(x)=x^{n-1}\Gamma (1-n,x).}$

La forma generalizada a veces se denomina función de Misra ^[9] , definida como ${\displaystyle \varphi _{m}(x)}$

${\displaystyle \varphi _{m}(x)=E_{-m}(x).}$

Muchas propiedades de esta forma generalizada se pueden encontrar en la Biblioteca Digital de Funciones Matemáticas del NIST.

La inclusión de un logaritmo define la función integro-exponencial generalizada ^[10]

${\displaystyle E_{s}^{j}(z)={\frac {1}{\Gamma (j+1)}}\int _{1}^{\infty }\left(\log t\right)^{j}{\frac {e^{-zt}}{t^{s}}}\,dt.}$

Las derivadas de las funciones generalizadas se pueden calcular mediante la fórmula ^[11]${\displaystyle E_{n}}$

${\displaystyle E_{n}'(z)=-E_{n-1}(z)\qquad (n=1,2,3,\ldots )}$

Tenga en cuenta que la función es fácil de evaluar (lo que hace que esta recursión sea útil), ya que es simplemente . ^[12]${\displaystyle E_{0}}$${\displaystyle e^{-z}/z}$

Si es imaginario, tiene una parte real no negativa, por lo que podemos usar la fórmula ${\displaystyle z}$

${\displaystyle E_{1}(z)=\int _{1}^{\infty }{\frac {e^{-tz}}{t}}\,dt}$

para obtener una relación con las integrales trigonométricas y : ${\displaystyle \operatorname {Si} }$${\displaystyle \operatorname {Ci} }$

${\displaystyle E_{1}(ix)=i\left[-{\tfrac {1}{2}}\pi +\operatorname {Si} (x)\right]-\operatorname {Ci} (x)\qquad (x>0)}$

Las partes reales e imaginarias de están representadas en la figura de la derecha con curvas negras y rojas. ${\displaystyle \mathrm {E} _{1}(ix)}$

Se han realizado varias aproximaciones para la función integral exponencial, entre ellas:

• La aproximación de Swamee y Ohija ^[13] donde$${\displaystyle E_{1}(x)=\left(A^{-7.7}+B\right)^{-0.13},}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}A&=\ln \left[\left({\frac {0.56146}{x}}+0.65\right)(1+x)\right]\\B&=x^{4}e^{7.7x}(2+x)^{3.7}\end{aligned}}}$$
• La aproximación de Allen y Hastings ^{[13] [14]} donde$${\displaystyle E_{1}(x)={\begin{cases}-\ln x+{\textbf {a}}^{T}{\textbf {x}}_{5},&x\leq 1\\{\frac {e^{-x}}{x}}{\frac {{\textbf {b}}^{T}{\textbf {x}}_{3}}{{\textbf {c}}^{T}{\textbf {x}}_{3}}},&x\geq 1\end{cases}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\textbf {a}}&\triangleq [-0.57722,0.99999,-0.24991,0.05519,-0.00976,0.00108]^{T}\\{\textbf {b}}&\triangleq [0.26777,8.63476,18.05902,8.57333]^{T}\\{\textbf {c}}&\triangleq [3.95850,21.09965,25.63296,9.57332]^{T}\\{\textbf {x}}_{k}&\triangleq [x^{0},x^{1},\dots ,x^{k}]^{T}\end{aligned}}}$$
• La expansión de fracciones continuas ^[14] $${\displaystyle E_{1}(x)={\cfrac {e^{-x}}{x+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{x+{\cfrac {2}{1+{\cfrac {2}{x+{\cfrac {3}{\ddots }}}}}}}}}}}}.}$$
• La aproximación de Barry et al. ^[15] donde: siendo la constante de Euler-Mascheroni .$${\displaystyle E_{1}(x)={\frac {e^{-x}}{G+(1-G)e^{-{\frac {x}{1-G}}}}}\ln \left[1+{\frac {G}{x}}-{\frac {1-G}{(h+bx)^{2}}}\right],}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}h&={\frac {1}{1+x{\sqrt {x}}}}+{\frac {h_{\infty }q}{1+q}}\\q&={\frac {20}{47}}x^{\sqrt {\frac {31}{26}}}\\h_{\infty }&={\frac {(1-G)(G^{2}-6G+12)}{3G(2-G)^{2}b}}\\b&={\sqrt {\frac {2(1-G)}{G(2-G)}}}\\G&=e^{-\gamma }\end{aligned}}}$$${\displaystyle \gamma }$

Podemos expresar la función inversa de la integral exponencial en forma de serie de potencias : ^[16]

${\displaystyle \forall |x|<{\frac {\mu }{\ln(\mu )}},\quad \mathrm {Ei} ^{-1}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}{\frac {P_{n}(\ln(\mu ))}{\mu ^{n}}}}$

donde es la constante de Ramanujan-Soldner y es una secuencia polinomial definida por la siguiente relación de recurrencia : ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle (P_{n})}$

${\displaystyle P_{0}(x)=x,\ P_{n+1}(x)=x(P_{n}'(x)-nP_{n}(x)).}$

Para , y tenemos la fórmula: ${\displaystyle n>0}$${\displaystyle \deg P_{n}=n}$

${\displaystyle P_{n}(x)=\left.\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right)^{n-1}\left({\frac {te^{x}}{\mathrm {Ei} (t+x)-\mathrm {Ei} (x)}}\right)^{n}\right|_{t=0}.}$

• Transferencia de calor dependiente del tiempo
• Flujo de agua subterránea fuera de equilibrio en la solución de Theis (llamado función de pozo )
• Transferencia radiativa en atmósferas estelares y planetarias
• Ecuación de difusividad radial para flujo en estado transitorio o inestable con fuentes y sumideros lineales
• Soluciones a la ecuación de transporte de neutrones en geometrías 1-D simplificadas ^[17]

• Integral de Goodwin-Staton
• Funciones de Bickley-Naylor

• Abramowitz, Milton; Irene Stegun (1964). Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficos y tablas matemáticas . Abramowitz y Stegun . Nueva York: Dover. ISBN 978-0-486-61272-0., Capítulo 5.
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• Bleistein, Norman; Richard A. Handelsman (1986). Expansiones asintóticas de integrales . Dover. ISBN 978-0-486-65082-1.
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• "Integral exponencial Ei". Sitio de funciones Wolfram .
• Integrales exponencial, logarítmica, seno y coseno en DLMF .