función hipergeométrica confluente

En matemáticas , una función hipergeométrica confluente es una solución de una ecuación hipergeométrica confluente , que es una forma degenerada de una ecuación diferencial hipergeométrica donde dos de las tres singularidades regulares se fusionan en una singularidad irregular . El término confluente se refiere a la fusión de puntos singulares de familias de ecuaciones diferenciales; confluere es la palabra latina para "fluir juntos". Existen varias formas estándar comunes de funciones hipergeométricas confluentes :

• La función hipergeométrica confluente de Kummer, M ( a , b , z ) , introducida por Kummer ( 1837 ) , es una solución a la ecuación diferencial de Kummer . También se la conoce como función hipergeométrica confluente de primera especie. Existe otra función de Kummer, distinta y sin relación con la anterior, que lleva el mismo nombre. 
• La función hipergeométrica confluente de Tricomi, U ( a , b , z ), introducida por Francesco Tricomi ( 1947 ) y a veces denotada por Ψ( a ; b ; z ) , es otra solución a la ecuación de Kummer. También se la conoce como función hipergeométrica confluente de segundo tipo. 
• Las funciones de Whittaker (por Edmund Taylor Whittaker ) son soluciones a la ecuación de Whittaker .
• Las funciones de onda de Coulomb son soluciones a la ecuación de onda de Coulomb .

Las funciones de Kummer, las funciones de Whittaker y las funciones de onda de Coulomb son esencialmente iguales y solo se diferencian entre sí por funciones elementales y cambios de variables.

La ecuación de Kummer se puede escribir como:

${\displaystyle z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+(bz){\frac {dw}{dz}}-aw=0,}$

con un punto singular regular en z = 0 y un punto singular irregular en z = ∞ . Tiene dos soluciones (generalmente) linealmente independientes M ( a , b , z ) y U ( a , b , z ) .

La función de Kummer de primer tipo M es una serie hipergeométrica generalizada introducida en ( Kummer 1837 ) , dada por:

${\displaystyle M(a,b,z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a^{(n)}z^{n}}{b^{(n)}n!}}={}_{1}F_{1}(a;b;z),}$

dónde:

${\displaystyle a^{(0)}=1,}$

${\displaystyle a^{(n)}=a(a+1)(a+2)\cdots (a+n-1)\,,}$

es el factorial ascendente . Otra notación común para esta solución es Φ( a , b , z ) . Considerada como una función de a , b , o z con los otros dos constantes, esto define una función entera de a o z , excepto cuando b = 0, −1, −2, ... Como función de b es analítica excepto por polos en los enteros no positivos.

Algunos valores de a y b producen soluciones que pueden expresarse en términos de otras funciones conocidas. Véase #Casos especiales . Cuando a es un entero no positivo, la función de Kummer (si está definida) es un polinomio de Laguerre generalizado .

Así como la ecuación diferencial confluente es un límite de la ecuación diferencial hipergeométrica cuando el punto singular en 1 se mueve hacia el punto singular en ∞, la función hipergeométrica confluente puede darse como un límite de la función hipergeométrica.

${\displaystyle M(a,c,z)=\lim _{b\to \infty }{}_{2}F_{1}(a,b;c;z/b)}$

y muchas de las propiedades de la función hipergeométrica confluente son casos límite de propiedades de la función hipergeométrica.

Dado que la ecuación de Kummer es de segundo orden, debe existir otra solución independiente. La ecuación indicial del método de Frobenius nos indica que la potencia más baja de una solución en serie de potencias para la ecuación de Kummer es 0 o 1 − b . Si hacemos w ( z )

${\displaystyle w(z)=z^{1-b}v(z)}$

entonces la ecuación diferencial da

${\displaystyle z^{2-b}{\frac {d^{2}v}{dz^{2}}}+2(1-b)z^{1-b}{\frac {dv}{dz}}-b(1-b)z^{-b}v+(bz)\left[z^{1-b}{\frac {dv}{dz}}+(1-b)z^{-b}v\right]-az^{1-b}v=0}$

que, al dividir z ^{1− b} y simplificar, se convierte en

${\displaystyle z{\frac {d^{2}v}{dz^{2}}}+(2-bz){\frac {dv}{dz}}-(a+1-b)v=0.}$

Esto significa que z ^{1− b} M ( a + 1 − b , 2 − b , z ) es una solución siempre que b no sea un entero mayor que 1, al igual que M ( a , b , z ) es una solución siempre que b no sea un entero menor que 1. También podemos usar la función hipergeométrica confluente de Tricomi U ( a , b , z ) introducida por Francesco Tricomi ( 1947 ) , y a veces denotada por Ψ( a ; b ; z ) . Es una combinación de las dos soluciones anteriores, definida por 

${\displaystyle U(a,b,z)={\frac {\Gamma (1-b)}{\Gamma (a+1-b)}}M(a,b,z)+{\frac {\Gamma (b-1)}{\Gamma (a)}}z^{1-b}M(a+1-b,2-b,z).}$

Aunque esta expresión no está definida para el entero b , tiene la ventaja de que puede extenderse a cualquier entero b por continuidad. A diferencia de la función de Kummer, que es una función entera de z , U ( z ) suele tener una singularidad en cero. Por ejemplo, si b = 0 y a ≠ 0, entonces Γ( a +1) U ( a , b , z ) − 1 es asintótica a az ln z cuando z tiende a cero. Pero véase #Casos especiales para algunos ejemplos donde es una función entera (polinomial).

Nótese que la solución z ^{1− b} U ( a + 1 − b , 2 − b , z ) de la ecuación de Kummer es la misma que la solución U ( a , b , z ) , ver #Transformación de Kummer .

Para la mayoría de las combinaciones de números reales o complejos a y b , las funciones M ( a , b , z ) y U ( a , b , z ) son independientes, y si b es un entero no positivo, por lo que M ( a , b , z ) no existe, entonces podemos usar z ^{1− b} M ( a +1− b , 2− b , z ) como una segunda solución. Pero si a es un entero no positivo y b no es un entero no positivo , entonces U ( z ) es un múltiplo de M ( z ) . En ese caso también, z ^{1− b} M ( a +1− b , 2− b , z ) puede usarse como una segunda solución si existe y es diferente. Pero cuando b es un entero mayor que 1, esta solución no existe, y si b = 1 entonces existe pero es un múltiplo de U ( a , b , z ) y de M ( a , b , z ). En esos casos existe una segunda solución de la siguiente forma y es válida para cualquier a real o complejo y cualquier entero positivo b excepto cuando a es un entero positivo menor que b :

${\displaystyle M(a,b,z)\ln z+z^{1-b}\sum _{k=0}^{\infty }C_{k}z^{k}}$

Cuando a = 0 podemos usar alternativamente:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{z}(-u)^{-b}e^{u}\mathrm {d} u.}$

Cuando b = 1, esta es la integral exponencial E ₁ ( −z ) .

Un problema similar ocurre cuando a − b es un entero negativo y b es un entero menor que 1. En este caso , M ( a , b , z ) no existe, y U ( a , b , z ) es un múltiplo de z ^{1− b} M ( a +1− b , 2− b , z ). Una segunda solución es entonces de la forma:

${\displaystyle z^{1-b}M(a+1-b,2-b,z)\ln z+\sum _ {k=0}^{\infty }C_{k}z^{k}}$

Si Re b > Re a > 0 , M ( a , b , z ) puede representarse como una integral

${\displaystyle M(a,b,z)={\frac {\Gamma (b)}{\Gamma (a)\Gamma (ba)}}\int _{0}^{1}e^{zu}u^{a-1}(1-u)^{ba-1}\,du.}$

Así, M ( a , a + b , it ) es la función característica de la distribución beta . Para a con parte real positiva, U se puede obtener mediante la integral de Laplace.

${\displaystyle U(a,b,z)={\frac {1}{\Gamma (a)}}\int _{0}^{\infty }e^{-zt}t^{a-1}(1+t)^{ba-1}\,dt,\quad (\operatorname {Re} \ a>0)}$

La integral define una solución en el semiplano derecho Re z > 0 .

También pueden representarse como integrales de Barnes.

${\displaystyle M(a,b,z)={\frac {1}{2\pi i}}{\frac {\Gamma (b)}{\Gamma (a)}}\int _{-i\infty }^{i\infty }{\frac {\Gamma (-s)\Gamma (a+s)}{\Gamma (b+s)}}(-z)^{s}ds}$

donde el contorno pasa a un lado de los polos de Γ(− s ) y al otro lado de los polos de Γ( a + s ) .

Si una solución a la ecuación de Kummer es asintótica a una potencia de z cuando z → ∞ , entonces la potencia debe ser − a . Este es, de hecho, el caso de la solución de Tricomi U ( a , b , z ) . Su comportamiento asintótico cuando z → ∞ puede deducirse de las representaciones integrales. Si z = x ∈ R , entonces hacer un cambio de variables en la integral seguido de expandir la serie binomial e integrarla formalmente término a término da lugar a una expansión en serie asintótica , válida cuando x → ∞ : ^{[ 2 ]}

${\displaystyle U(a,b,x)\sim x^{-a}\,_{2}F_{0}\left(a,a-b+1;\,;-{\frac {1}{x}}\right),}$

dónde${\displaystyle _{2}F_{0}(\cdot ,\cdot$ ;;-1/x)} es una serie hipergeométrica generalizada con 1 como término principal, que generalmente no converge en ningún punto, pero existe como una serie de potencias formal en 1/ x . Esta expansión asintótica también es válida para z complejo en lugar de x real, con | arg z | < 3 π /2.

El comportamiento asintótico de la solución de Kummer para valores grandes de | z | es:

${\displaystyle M(a,b,z)\sim \Gamma (b)\left({\frac {e^{z}z^{a-b}}{\Gamma (a)}}+{\frac {(-z)^{-a}}{\Gamma (b-a)}}\right)}$

Las potencias de z se toman usando −3 π /2 < arg z ≤ π /2 . ^{[ 3 ]} El primer término no es necesario cuando Γ( b − a ) es finito, es decir, cuando b − a no es un entero no positivo y la parte real de z tiende a menos infinito, mientras que el segundo término no es necesario cuando Γ( a ) es finito, es decir, cuando a no es un entero no positivo y la parte real de z tiende a más infinito.

Siempre hay alguna solución a la ecuación de Kummer asintótica a e ^z z ^{a − b} cuando z → −∞ . Por lo general, esta será una combinación de M ( a , b , z ) y U ( a , b , z ) pero también puede expresarse como e ^z (−1) ^{a - b} U ( b − a , b , − z ) .

Existen numerosas relaciones entre las funciones de Kummer para diversos argumentos y sus derivadas. Esta sección ofrece algunos ejemplos típicos.

Los siguientes teoremas de multiplicación son verdaderos:

${\displaystyle {\begin{aligned}U(a,b,z)&=e^{(1-t)z}\sum _{i=0}{\frac {(t-1)^{i}z^{i}}{i!}}U(a,b+i,zt)\\&=e^{(1-t)z}t^{b-1}\sum _{i=0}{\frac {\left(1-{\frac {1}{t}}\right)^{i}}{i!}}U(a-i,b-i,zt).\end{aligned}}}$

En términos de polinomios de Laguerre , las funciones de Kummer tienen varias expansiones, por ejemplo

${\displaystyle M\left(a,b,{\frac {xy}{x-1}}\right)=(1-x)^{a}\cdot \sum _{n}{\frac {a^{(n)}}{b^{(n)}}}L_{n}^{(b-1)}(y)x^{n}}$( Erdélyi et al. 1953 , 6.12)

o

${\displaystyle M\left(a,\,b,\,z\right)={\frac {\Gamma \left(1-a\right)\cdot \Gamma \left(b\right)}{\Gamma \left(b-a\right)}}\cdot L_{-a}^{(b-1)}\left(z\right)}$

Entre las funciones que pueden expresarse como casos especiales de la función hipergeométrica confluente se incluyen:

• Algunas funciones elementales donde el lado izquierdo no está definido cuando b es un entero no positivo, pero el lado derecho sigue siendo una solución de la ecuación de Kummer correspondiente:

${\displaystyle M(0,b,z)=1}$

${\displaystyle U(0,c,z)=1}$

${\displaystyle M(b,b,z)=e^{z}}$

${\displaystyle U(a,a,z)=e^{z}\int _{z}^{\infty }u^{-a}e^{-u}du}$(un polinomio si a es un número entero no positivo)

${\displaystyle {\frac {U(1,b,z)}{\Gamma (b-1)}}+{\frac {M(1,b,z)}{\Gamma (b)}}=z^{1-b}e^{z}}$

${\displaystyle M(n,b,z)}$para un entero no positivo n es un polinomio de Laguerre generalizado .

${\displaystyle U(n,c,z)}$para un entero no positivo n es un múltiplo de un polinomio de Laguerre generalizado, igual a${\displaystyle {\tfrac {\Gamma (1-c)}{\Gamma (n+1-c)}}M(n,c,z)}$cuando esto último existe.

${\displaystyle U(c-n,c,z)}$cuando n es un entero positivo es una forma cerrada con potencias de z , igual a${\displaystyle {\tfrac {\Gamma (c-1)}{\Gamma (c-n)}}z^{1-c}M(1-n,2-c,z)}$cuando esto último existe.

${\displaystyle U(a,a+1,z)=z^{-a}}$

${\displaystyle U(-n,-2n,z)}$para un entero no negativo n es un polinomio de Bessel (ver más abajo).

${\displaystyle M(1,2,z)=(e^{z}-1)/z,\ \ M(1,3,z)=2!(e^{z}-1-z)/z^{2}}$etc.

Utilizando la relación contigua${\displaystyle aM(a+)=(a+z)M+z(a-b)M(b+)/b}$obtenemos, por ejemplo,${\displaystyle M(2,1,z)=(1+z)e^{z}.}$

• La función de Bateman
• Funciones de Bessel y muchas funciones relacionadas, como las funciones de Airy , las funciones de Kelvin y las funciones de Hankel . Por ejemplo, en el caso especial b = 2a , la función se reduce a una función de Bessel :

${\displaystyle {}_{1}F_{1}(a,2a,x)=e^{x/2}\,{}_{0}F_{1}\left(;a+{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {x^{2}}{16}}\right)=e^{x/2}\left({\tfrac {x}{4}}\right)^{1/2-a}\Gamma \left(a+{\tfrac {1}{2}}\right)I_{a-1/2}\left({\tfrac {x}{2}}\right).}$

Esta identidad a veces también se conoce como la segunda transformación de Kummer . De manera similar

${\displaystyle U(a,2a,x)={\frac {e^{x/2}}{\sqrt {\pi }}}x^{1/2-a}K_{a-1/2}(x/2),}$

Cuando a es un entero no positivo, esto es igual a 2 ^{− a} θ _{− a} ( x /2) donde θ es un polinomio de Bessel .

• La función de error se puede expresar como

${\displaystyle \mathrm {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}dt={\frac {2x}{\sqrt {\pi }}}\ {}_{1}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {3}{2}},-x^{2}\right).}$

• función de onda de Coulomb
• Funciones de Cunningham
• Integral exponencial y funciones relacionadas como la integral del seno y la integral logarítmica.
• Polinomios de Hermite
• Función gamma incompleta
• Polinomios de Laguerre
• Función del cilindro parabólico (o función de Weber)
• función de Poisson-Charlier
• Funciones de Toronto
• Las funciones de Whittaker M _κ,μ ( z ), W _κ,μ ( z ) son soluciones de la ecuación de Whittaker que pueden expresarse en términos de las funciones de Kummer M y U mediante

${\displaystyle M_{\kappa ,\mu }(z)=e^{-{\tfrac {z}{2}}}z^{\mu +{\tfrac {1}{2}}}M\left(\mu -\kappa +{\tfrac {1}{2}},1+2\mu ;z\right)}$

${\displaystyle W_{\kappa ,\mu }(z)=e^{-{\tfrac {z}{2}}}z^{\mu +{\tfrac {1}{2}}}U\left(\mu -\kappa +{\tfrac {1}{2}},1+2\mu ;z\right)}$

• El momento bruto general p -ésimo ( p no necesariamente un número entero) se puede expresar como ^{[ 4 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} \left[\left|N\left(\mu ,\sigma ^{2}\right)\right|^{p}\right]&={\frac {\left(2\sigma ^{2}\right)^{p/2}\Gamma \left({\tfrac {1+p}{2}}\right)}{\sqrt {\pi }}}\ {}_{1}F_{1}\left(-{\tfrac {p}{2}},{\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {\mu ^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\\\operatorname {E} \left[N\left(\mu ,\sigma ^{2}\right)^{p}\right]&=\left(-2\sigma ^{2}\right)^{p/2}U\left(-{\tfrac {p}{2}},{\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {\mu ^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\end{aligned}}}$

En la segunda fórmula, el segundo corte de rama de la función se puede elegir multiplicando por (−1) ^p .

Aplicando un argumento límite a la fracción continua de Gauss se puede demostrar que ^{[ 5 ]}

${\displaystyle {\frac {M(a+1,b+1,z)}{M(a,b,z)}}={\cfrac {1}{1-{\cfrac {\displaystyle {\frac {b-a}{b(b+1)}}z}{1+{\cfrac {\displaystyle {\frac {a+1}{(b+1)(b+2)}}z}{1-{\cfrac {\displaystyle {\frac {b-a+1}{(b+2)(b+3)}}z}{1+{\cfrac {\displaystyle {\frac {a+2}{(b+3)(b+4)}}z}{1-\ddots }}}}}}}}}}}$

y que esta fracción continua converge uniformemente a una función meromorfa de z en todo dominio acotado que no incluye un polo.

• Curva de Bézier compuesta

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• Función hipergeométrica de Tricomi en el sitio web de Wolfram Functions.