Teorema de la multiplicación

En matemáticas , el teorema de la multiplicación es un tipo de identidad que cumplen muchas funciones especiales relacionadas con la función gamma . En el caso específico de la función gamma, la identidad es un producto de valores; de ahí su nombre. Todas las relaciones se derivan del mismo principio subyacente; es decir, la relación para una función especial se puede obtener a partir de la de las demás, y es simplemente una manifestación de la misma identidad bajo diferentes formas.

El teorema de la multiplicación adopta dos formas comunes. En el primer caso, se suman o multiplican un número finito de términos para obtener la relación. En el segundo caso, se suman o multiplican un número infinito de términos. La forma finita suele aparecer solo para la función gamma y funciones relacionadas, para las cuales la identidad se deduce de una relación p-ádica sobre un cuerpo finito . Por ejemplo, el teorema de la multiplicación para la función gamma se deduce de la fórmula de Chowla-Selberg , que a su vez se deduce de la teoría de la multiplicación compleja . Las sumas infinitas son mucho más comunes y se deducen de relaciones de cero característico en la serie hipergeométrica.

A continuación se tabulan las distintas apariciones del teorema de multiplicación para característica finita; las relaciones de característica cero se dan más adelante. En todos los casos, n y k son enteros no negativos. Para el caso especial de n  =  2, el teorema se conoce comúnmente como la fórmula de duplicación .

La fórmula de duplicación y el teorema de multiplicación para la función gamma son ejemplos prototípicos. La fórmula de duplicación para la función gamma es

${\displaystyle \Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\frac {1}{2}}\right)=2^{1-2z}\;{\sqrt {\pi }}\;\Gamma (2z).}$

También se la denomina fórmula de duplicación de Legendre ^{[ 1 ]} o relación de Legendre , en honor a Adrien-Marie Legendre . El teorema de multiplicación es

${\displaystyle \Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\frac {1}{k}}\right)\;\Gamma \left(z+{\frac {2}{k}}\right)\cdots \Gamma \left(z+{\frac {k-1}{k}}\right)=(2\pi )^{\frac {k-1}{2}}\;k^{\frac {1-2kz}{2}}\;\Gamma (kz)}$

para entero k ≥ 1, y a veces se la llama fórmula de multiplicación de Gauss , en honor a Carl Friedrich Gauss . El teorema de multiplicación para las funciones gamma puede entenderse como un caso especial, para el carácter trivial de Dirichlet , de la fórmula de Chowla-Selberg .

Formalmente, se cumplen fórmulas de duplicación similares para la función seno, que son consecuencias bastante simples de las identidades trigonométricas . Aquí se tiene la fórmula de duplicación.

${\displaystyle \sin(\pi x)\sin \left(\pi \left(x+{\frac {1}{2}}\right)\right)={\frac {1}{2}}\sin(2\pi x)}$

y, de forma más general, para cualquier entero k , se tiene

${\displaystyle \sin(\pi x)\sin \left(\pi \left(x+{\frac {1}{k}}\right)\right)\cdots \sin \left(\pi \left(x+{\frac {k-1}{k}}\right)\right)=2^{1-k}\sin(k\pi x)}$

La función poligamma es la derivada logarítmica de la función gamma y, por lo tanto, el teorema de la multiplicación se vuelve aditivo, en lugar de multiplicativo:

${\displaystyle k^{m}\psi ^{(m-1)}(kz)=\sum _{n=0}^{k-1}\psi ^{(m-1)}\left(z+{\frac {n}{k}}\right)}$

para${\displaystyle m>1}$y, para${\displaystyle m=1}$, uno tiene la función digamma :

${\displaystyle k\left[\psi (kz)-\log(k)\right]=\sum _{n=0}^{k-1}\psi \left(z+{\frac {n}{k}}\right).}$

Las identidades poligamma se pueden utilizar para obtener un teorema de multiplicación para números armónicos .

La función zeta de Hurwitz generaliza la función poligamma a órdenes no enteros y, por lo tanto, obedece a un teorema de multiplicación muy similar:

${\displaystyle k^{s}\zeta (s)=\sum _{n=1}^{k}\zeta \left(s,{\frac {n}{k}}\right),}$

dónde${\displaystyle \zeta (s)}$es la función zeta de Riemann . Este es un caso especial de

${\displaystyle k^{s}\,\zeta (s,kz)=\sum _{n=0}^{k-1}\zeta \left(s,z+{\frac {n}{k}}\right)}$

y

${\displaystyle \zeta (s,kz)=\sum _{n=0}^{\infty }{s+n-1 \choose n}(1-k)^{n}z^{n}\zeta (s+n,z).}$

Las fórmulas de multiplicación para los caracteres no principales pueden expresarse en forma de funciones L de Dirichlet .

La función zeta periódica ^{[ 2 ]} se define a veces como

${\displaystyle F(s;q)=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {e^{2\pi imq}}{m^{s}}}=\operatorname {Li} _{s}\left(e^{2\pi iq}\right)}$

donde Li _s ( z ) es el polilogaritmo . Obedece la fórmula de duplicación.

${\displaystyle 2^{1-s}F(s;q)=F\left(s,{\frac {q}{2}}\right)+F\left(s,{\frac {q+1}{2}}\right).}$

Como tal, es un vector propio del operador de Bernoulli con valor propio 2 ^{1 − s} . El teorema de multiplicación es

${\displaystyle k^{1-s}F(s;kq)=\sum _{n=0}^{k-1}F\left(s,q+{\frac {n}{k}}\right).}$

La función zeta periódica aparece en la fórmula de reflexión de la función zeta de Hurwitz, razón por la cual la relación que obedece y la relación zeta de Hurwitz difieren por el intercambio de s → 1 − s . Cabe señalar que el nombre "periódica" es completamente engañoso: aunque la definición está escrita de manera que parezca periódica, la estructura analítica real es bastante compleja, con múltiples cortes de rama y una monodromía compleja . ^{[ 3 ]}   

Los polinomios de Bernoulli se pueden obtener como un caso límite de la función zeta periódica, considerando s como un número entero, y así se puede derivar el teorema de multiplicación. De manera similar, al sustituir q = log z se obtiene el teorema de multiplicación para el polilogaritmo.    

La fórmula de duplicación toma la forma

${\displaystyle 2^{1-s}\operatorname {Li} _{s}(z^{2})=\operatorname {Li} _{s}(z)+\operatorname {Li} _{s}(-z).}$

La fórmula general de multiplicación tiene la forma de una suma de Gauss o una transformada discreta de Fourier :

${\displaystyle k^{1-s}\operatorname {Li} _{s}(z^{k})=\sum _{n=0}^{k-1}\operatorname {Li} _{s}\left(ze^{i2\pi n/k}\right).}$

Estas identidades se derivan de la de la función zeta periódica, tomando z = log q .    

La fórmula de duplicación para la función de Kummer es

${\displaystyle 2^{1-n}\Lambda _ {n}(-z^{2})=\Lambda _ {n}(z)+\Lambda _ {n}(-z)}$

y por lo tanto se asemeja al del polilogaritmo, pero retorcido por i . 

Para los polinomios de Bernoulli , los teoremas de multiplicación fueron dados por Joseph Ludwig Raabe en 1851:

${\displaystyle k^{1-m}B_{m}(kx)=\sum _{n=0}^{k-1}B_{m}\left(x+{\frac {n}{k}}\right)}$

y para los polinomios de Euler ,

${\displaystyle k^{-m}E_{m}(kx)=\sum _{n=0}^{k-1}(-1)^{n}E_{m}\left(x+{\frac {n}{k}}\right)\quad {\mbox{ para }}k=1,3,\dots }$

y

${\displaystyle k^{-m}E_{m}(kx)={\frac {-2}{m+1}}\sum _{n=0}^{k-1}(-1)^{n}B_{m+1}\left(x+{\frac {n}{k}}\right)\quad {\mbox{ para }}k=2,4,\dots .}$

Los polinomios de Bernoulli se pueden obtener como un caso especial de la función zeta de Hurwitz, y a partir de ahí se deducen las identidades.

El mapa de Bernoulli es un modelo simple ^{[ 4 ]} de un sistema dinámico disipativo , que describe el efecto de un operador de desplazamiento sobre una cadena infinita de lanzamientos de moneda (el conjunto de Cantor ). El mapa de Bernoulli es una versión unilateral del mapa de Baker, estrechamente relacionado . El mapa de Bernoulli se generaliza a una versión k-ádica , que actúa sobre cadenas infinitas de k símbolos: este es el esquema de Bernoulli . El operador de transferencia${\displaystyle {\mathcal {L}}_{k}}$El operador de desplazamiento correspondiente en el esquema de Bernoulli viene dado por

${\displaystyle [{\mathcal {L}}_{k}f](x)={\frac {1}{k}}\sum _{n=0}^{k-1}f\left({\frac {x+n}{k}}\right)}$

Quizás no sea sorprendente que los autovectores de este operador estén dados por los polinomios de Bernoulli. Es decir, se tiene que

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{k}B_{m}={\frac {1}{k^{m}}}B_{m}}$

Es el hecho de que los valores propios${\displaystyle k^{-m}<1}$que lo identifica como un sistema disipativo : para un sistema dinámico no disipativo que conserva la medida , los valores propios del operador de transferencia se encuentran en el círculo unitario .

Se puede construir una función que obedezca el teorema de la multiplicación a partir de cualquier función totalmente multiplicativa . Sea${\displaystyle f(n)}$ser totalmente multiplicativo; es decir,${\displaystyle f(mn)=f(m)f(n)}$para cualesquiera enteros m y n . Definimos su serie de Fourier como

${\displaystyle g(x)=\sum _{n=1}^{\infty }f(n)\exp(2\pi inx)}$

Suponiendo que la suma converge, de modo que g ( x ) existe, entonces se tiene que obedece el teorema de la multiplicación; es decir, que

${\displaystyle {\frac {1}{k}}\sum _{n=0}^{k-1}g\left({\frac {x+n}{k}}\right)=f(k)g(x)}$

Es decir, g ( x ) es una autofunción del operador de transferencia de Bernoulli, con autovalor f ( k ). El teorema de multiplicación para los polinomios de Bernoulli se deduce entonces como un caso especial de la función multiplicativa.${\displaystyle f(n)=n^{-s}}$Las funciones completamente multiplicativas están determinadas enteramente por sus valores en los números primos; por lo tanto, cualquier secuencia, siempre que la serie de Fourier converja, generará una función que obedece el teorema de la multiplicación.

El teorema de la multiplicación sobre un cuerpo de característica cero no se cierra después de un número finito de términos, sino que requiere una serie infinita para ser expresado. Ejemplos de ello son los de la función de Bessel.${\displaystyle J_{\nu }(z)}$:

${\displaystyle \lambda ^{-\nu }J_{\nu }(\lambda z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\left({\frac {(1-\lambda ^{2})z}{2}}\right)^{n}J_{\nu +n}(z),}$

dónde${\displaystyle \lambda }$y${\displaystyle \nu }$pueden tomarse como números complejos arbitrarios. Estas identidades de característica cero se derivan generalmente de una de las muchas identidades posibles en la serie hipergeométrica.

• Milton Abramowitz e Irene A. Stegun (eds.). Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficas y tablas matemáticas (1972). Dover, Nueva York. (Los teoremas de multiplicación se enumeran individualmente capítulo por capítulo).
• C. Truesdell, " Sobre los teoremas de suma y multiplicación para las funciones especiales ", Actas de la Academia Nacional de Ciencias, Matemáticas , (1950) págs.  752–757.