Característica (álgebra)

En matemáticas , la característica de un anillo${\displaystyle R}$, a menudo denotado${\displaystyle \operatorname {char} (R)}$, se define como el número positivo más pequeño de copias de la identidad multiplicativa del anillo ( 1 ) que sumarán la identidad aditiva ( 0 ). Si no existe tal número, se dice que el anillo tiene característica cero.

Eso es,${\displaystyle \operatorname {char} (R)}$es el número positivo más pequeño${\displaystyle n}$de tal manera que ^{[ 1 ] (p 198, Teorema 23.14)}

${\displaystyle \underbrace {1+\cdots +1} _{n{\text{ sumandos}}}=0}$

si tal número${\displaystyle n}$existe y${\displaystyle 0}$de lo contrario.

La definición especial del cero característico está motivada por las definiciones equivalentes que se describen en la siguiente sección, donde no es necesario considerar el cero característico por separado.

La característica también puede tomarse como el exponente del grupo aditivo del anillo , es decir, el entero positivo más pequeño.${\displaystyle n}$de tal manera que: ^{[ 1 ] (pág. 198, Def. 23.12)}

${\displaystyle \underbrace {a+\cdots +a} _{n{\text{ sumandos}}}=0}$

para cada elemento${\displaystyle a}$del anillo (de nuevo, si${\displaystyle n}$existe; de ​​lo contrario, cero). Esta definición es equivalente para un anillo, debido a la distributividad . Para los anillos sin identidad ( rngs ), la primera definición carece de sentido y se suele utilizar la segunda.

Los números enteros , racionales y reales tienen característica 0.

Los enteros módulo n tienen una característica${\displaystyle n}$.

Cada anillo booleano tiene la característica 2.

La característica de un campo es 0 o un número primo .

• La característica de un anillo${\displaystyle R}$es el número natural${\displaystyle n}$de tal manera que${\displaystyle n\mathbb {Z} }$es el núcleo del homomorfismo de anillo único de${\displaystyle \mathbb {Z} }$a${\displaystyle R}$. ^{[ a ]}

• La característica es el número natural${\displaystyle n}$de tal manera que${\displaystyle R}$contiene un subanillo isomorfo al anillo factor.${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$, que es la imagen del homomorfismo anterior.

• Cuando los enteros no negativos${\displaystyle \{0,1,2,3,\dots \}}$están parcialmente ordenados por divisibilidad, entonces${\displaystyle 1}$es el más pequeño y${\displaystyle 0}$es el más grande. Entonces la característica de un anillo es el valor más pequeño de${\displaystyle n}$para qué${\displaystyle n\cdot 1=0}$. Si nada "menor" (en este orden) que 0 es suficiente, entonces la característica es${\displaystyle 0}$. Este es el orden parcial apropiado debido a hechos tales como que${\displaystyle \operatorname {char} (A\times B)}$es el mínimo común múltiplo de${\displaystyle \operatorname {char} (A)}$y${\displaystyle \operatorname {char} (B)}$y que ningún homomorfismo de anillo${\displaystyle f:A\to B}$existe a menos que exista${\displaystyle \operatorname {char} (B)}$divide${\displaystyle \operatorname {char} (A)}$.

• La característica de un anillo${\displaystyle R}$es${\displaystyle n}$precisamente si la afirmación${\displaystyle ka=0}$a pesar de${\displaystyle a\in R}$implica que${\displaystyle k}$es un múltiplo de${\displaystyle n}$.

Si R y S son anillos y existe un homomorfismo de anillos R → S , entonces la característica de S divide la característica de R. Esto a veces se puede usar para excluir la posibilidad de ciertos homomorfismos de anillos. El único anillo con característica 1 es el anillo cero , que tiene un solo elemento 0. Si un anillo no trivial R no tiene divisores de cero no triviales , entonces su característica es 0 o prima . En particular, esto se aplica a todos los cuerpos , a todos los dominios de integridad y a todos los anillos de división . Cualquier anillo de característica cero es infinito.

El anillo${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$Un conjunto de enteros módulo n tiene característica n . Si R es un subanillo de S , entonces R y S tienen la misma característica. Por ejemplo, si p es primo y q ( X ) es un polinomio irreducible con coeficientes en el campo${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$con p elementos, entonces el anillo cociente${\displaystyle \mathbb {F} _{p}[X]/(q(X))}$es un campo de característica p . Otro ejemplo: El campo${\displaystyle \mathbb {C} }$de números complejos contiene${\displaystyle \mathbb {Z} }$, por lo tanto la característica de${\displaystyle \mathbb {C} }$es 0 .

A${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$-álgebra es equivalente a un anillo cuya característica divide a n . Esto se debe a que para cada anillo R existe un homomorfismo de anillos.${\displaystyle \mathbb {Z} \a R}$y este mapa tiene en cuenta a través de${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$si y solo si la característica de R divide a n . En este caso, para cualquier r en el anillo, entonces sumar r a sí mismo n veces da nr = 0 .

Si un anillo conmutativo R tiene característica prima p , entonces tenemos ( x + y ) ^p = x ^p + y ^p para todos los elementos x e y en R ; el " sueño del estudiante de primer año " , normalmente incorrecto, se cumple para potencia p . La aplicación x ↦ x ^p define entonces un homomorfismo de anillos R → R , que se denomina homomorfismo de Frobenius . Si R es también un dominio de integridad , el homomorfismo es inyectivo .

Como se mencionó anteriormente, la característica de cualquier campo es 0 o un número primo. Un campo con característica distinta de cero se denomina campo de característica finita , positiva o prima . El exponente característico se define de manera similar, excepto que es igual a 1 cuando la característica es 0 ; de lo contrario, tiene el mismo valor que la característica. ^{[ 2 ]}

Todo cuerpo F tiene un único subcuerpo mínimo , también llamado su cuerpo primo . Este subcuerpo es isomorfo al cuerpo de los números racionales.${\displaystyle \mathbb {Q} }$o un campo finito${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$de orden primo. Dos cuerpos primos de la misma característica son isomorfos, y este isomorfismo es único. En otras palabras, existe esencialmente un único cuerpo primo en cada característica.

• Anillo de características mixtas