Hispanopedia WikiEn matemáticas , un subanillo de un anillo R es un subconjunto de R que es a su vez un anillo cuando las operaciones binarias de suma y multiplicación en R se restringen al subconjunto, y que comparte la misma identidad multiplicativa que R. [ a ]
Definición
Un subanillo de un anillo ( R , +, *, 0, 1) es un subconjunto S de R que preserva la estructura del anillo, es decir, un anillo ( S , +, *, 0, 1) con S ⊆ R . Equivalentemente, es a la vez un subgrupo de ( R , +, 0) y un submonoide de ( R , *, 1) .
De forma equivalente, S es un subanillo si y solo si contiene el elemento neutro multiplicativo de R y es cerrado bajo la multiplicación y la resta. Esto se conoce a veces como la prueba del subanillo . [ 1 ]
Variaciones
Algunos matemáticos definen los anillos sin requerir la existencia de una identidad multiplicativa (véase Anillo (matemáticas) § Historia ). En este caso, un subanillo de R es un subconjunto de R que es un anillo para las operaciones de R (esto implica que contiene la identidad aditiva de R ). Esta definición alternativa proporciona una condición estrictamente más débil, incluso para anillos que sí tienen una identidad multiplicativa, ya que todos los ideales se convierten en subanillos, y pueden tener una identidad multiplicativa diferente a la de R. Con la definición que requiere una identidad multiplicativa, que se utiliza en el resto de este artículo, el único ideal de R que es un subanillo de R es el propio R.
Ejemplos
- El anillo de los números enteroses un subanillo tanto del cuerpo de los números reales como del anillo de polinomios. [ 1 ]
![{\displaystyle \mathbb {Z} [X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a538d203a057d4c604f799c28e9a7be410fdcac)
- y sus cocientesno tienen subanillos (con identidad multiplicativa) aparte del anillo completo. [ 1 ]
- Cada anillo tiene un subanillo más pequeño único, isomorfo a algún anillodonde n es un entero no negativo (véase Característica ). Los enteroscorresponde a n = 0 en esta afirmación, ya quees isomorfo a. [ 2 ]
- El centro de un anillo R es un subanillo de R , y R es un álgebra asociativa sobre su centro.
Subanillo generado por un conjunto
Un tipo especial de subanillo de un anillo R es el subanillo generado por un subconjunto X , que se define como la intersección de todos los subanillos de R que contienen a X. [ 3 ] El subanillo generado por X es también el conjunto de todas las combinaciones lineales con coeficientes enteros de productos de elementos de X , incluyendo la identidad aditiva ("combinación vacía") y la identidad multiplicativa ("producto vacío"). [ 4 ]
Cualquier intersección de subanillos de R es en sí misma un subanillo de R ; por lo tanto, el subanillo generado por X (denotado aquí como S ) es efectivamente un subanillo de R. Este subanillo S es el subanillo más pequeño de R que contiene a X ; es decir, si T es cualquier otro subanillo de R que contiene a X , entonces S ⊆ T.
Dado que R mismo es un subanillo de R , si R es generado por X , se dice que el anillo R es generado por X.
Extensión de anillo
Los subanillos generalizan algunos aspectos de las extensiones de cuerpos . Si S es un subanillo de un anillo R , entonces, equivalentemente, se dice que R es una extensión de anillo [ b ] de S.
Contiguo
Si A es un anillo y T es un subanillo de A generado por R ∪ S , donde R es un subanillo, entonces T es una extensión de anillo y se dice que es S adjunto a R , denotado R [ S ] . Los elementos individuales también pueden adjuntarse a un subanillo, denotado R [ a₁ , a₂ , ... , an ] . [ 5 ] [ 3 ]
Por ejemplo, el anillo de enteros gaussianoses un subanillo degenerado pory así es la adjunción de la unidad imaginaria i a. [ 3 ]
![{\displaystyle \mathbb {Z} [i]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ffa94e9e2e6d9e5e5373d5fafb954b902743fde)
Subanillo principal
La intersección de todos los subanillos de un anillo R es un subanillo que puede llamarse subanillo primo de R por analogía con los cuerpos primos .
El subanillo primo de un anillo R es un subanillo del centro de R , que es isomorfo al anillode los enteros o al anillo de los enteros módulo n , donde n es el entero positivo más pequeño tal que la suma de n copias de 1 es igual a 0 .
Véase también
Notas
- ↑ En general, no todos los subconjuntos de un anillo R son anillos.
- ↑ No confundir con el análogo en teoría de anillos de una extensión de grupo .
Referencias
- 1 2 3 Dummit, David Steven; Foote, Richard Martin (2004). Álgebra abstracta (Tercera ed.). Hoboken, NJ: John Wiley & Sons. pág. 228. ISBN 0-471-43334-9.
- ↑ Lang, Serge (2002). Álgebra (3.ª ed.). Nueva York. págs. 89–90 . ISBN 978-0387953854.
{{cite book}}: CS1 mantenimiento: falta el editor de ubicación ( enlace ) - 1 2 3 Lovett, Stephen (2015). «Anillos». Álgebra abstracta: estructuras y aplicaciones . Boca Raton: CRC Press. págs. 216–217 . ISBN 9781482248913.
- ↑ Robinson, Derek JS (2022). Álgebra abstracta: una introducción con aplicaciones (3.ª ed.). Walter de Gruyter GmbH & Co KG. pág. 109. ISBN 9783110691160.
- ↑ Gouvêa, Fernando Q. (2012). «Anillos y módulos». Guía de grupos, anillos y cuerpos . Washington, DC: Mathematical Association of America. pág. 145. ISBN 9780883853559.
Referencias generales
- Adamson, Iain T. (1972). Anillos y módulos elementales . Textos matemáticos universitarios. Oliver and Boyd. pp. 14–16 . ISBN 0-05-002192-3.
- Sharpe, David (1987). Anillos y factorización . Cambridge University Press . págs. 15-17 . ISBN 0-521-33718-6.
- teoría de anillos
