Objetos iniciales y terminales

En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , un objeto inicial de una categoría C es un objeto I en C tal que para cada objeto X en C , existe precisamente un morfismo I → X.

La noción dual es la de un objeto terminal (también llamado elemento terminal ): T es terminal si para cada objeto X en C existe exactamente un morfismo X → T . Los objetos iniciales también se denominan coterminales o universales , y los objetos terminales también se denominan finales .

Si un objeto es inicial y terminal, se denomina objeto cero u objeto nulo . Una categoría puntiaguda es aquella que tiene un objeto cero.

Un objeto inicial estricto I es uno para el cual todo morfismo en I es un isomorfismo .

• El conjunto vacío es el único objeto inicial en Set , la categoría de conjuntos . Todo conjunto de un elemento ( singleton ) es un objeto terminal en esta categoría; no hay objetos cero. De manera similar, el espacio vacío es el único objeto inicial en Top , la categoría de espacios topológicos y todo espacio de un punto es un objeto terminal en esta categoría.
• En la categoría Rel de conjuntos y relaciones, el conjunto vacío es el único objeto inicial, el único objeto terminal y, por tanto, el único objeto cero.

• En la categoría de conjuntos puntiagudos (cuyos objetos son conjuntos no vacíos junto con un elemento distinguido; siendo un morfismo de ( A ,  a ) a ( B ,  b ) una función f  : A → B con f ( a ) = b ), todo singleton es un objeto cero. De manera similar, en la categoría de espacios topológicos puntiagudos , todo singleton es un objeto cero.
• En Grp , la categoría de grupos , cualquier grupo trivial es un objeto cero. El objeto trivial también es un objeto cero en Ab , la categoría de grupos abelianos , Rng, la categoría de pseudoanillos , R -Mod , la categoría de módulos sobre un anillo, y K -Vect , la categoría de espacios vectoriales sobre un cuerpo. Consulte Objeto cero (álgebra) para obtener más detalles. Este es el origen del término "objeto cero".
• En Ring , la categoría de anillos con morfismos que preservan la unidad y la unidad, el anillo de números enteros Z es un objeto inicial. El anillo cero que consiste únicamente en un único elemento 0 = 1 es un objeto terminal.
• En Rig , la categoría de rigs con morfismos de unidad y de preservación de unidad, el rig de números naturales N es un objeto inicial. El rig cero, que es el anillo cero , que consiste únicamente en un único elemento 0 = 1, es un objeto terminal.
• En Campo , la categoría de campos , no existen objetos iniciales ni terminales. Sin embargo, en la subcategoría de campos de característica fija, el campo principal es un objeto inicial.
• Cualquier conjunto parcialmente ordenado ( P , ≤) puede interpretarse como una categoría: los objetos son los elementos de P , y existe un único morfismo de x a y si y solo si x ≤ y . Esta categoría tiene un objeto inicial si y solo si P tiene un elemento menor ; tiene un objeto terminal si y solo si P tiene un elemento mayor .
• Gato , la categoría de categorías pequeñas con funtores como morfismos tiene como objeto inicial la categoría vacía, 0 (sin objetos ni morfismos), y como objeto terminal la categoría terminal, 1 (con un único objeto con un único morfismo identidad).
• En la categoría de esquemas , Spec( Z ), el espectro primo del anillo de números enteros, es un objeto terminal. El esquema vacío (igual al espectro primo del anillo cero ) es un objeto inicial.
• Un límite de un diagrama F puede caracterizarse como un objeto terminal en la categoría de conos a F . Asimismo, un colimite de F puede caracterizarse como un objeto inicial en la categoría de coconos a partir de F .
• En la categoría Ch _R de complejos de cadena sobre un anillo conmutativo R , el complejo cero es un objeto cero.
• En una secuencia corta y exacta de la forma 0 → a → b → c → 0 , los objetos inicial y terminal son el objeto cero anónimo. Esto se utiliza con frecuencia en las teorías de cohomología.

No es necesario que existan objetos iniciales y terminales en una categoría dada. Sin embargo, si existen, son esencialmente únicos. En concreto, si I ₁ e I ₂ son dos objetos iniciales diferentes, entonces existe un isomorfismo único entre ellos. Además, si I es un objeto inicial, entonces cualquier objeto isomorfo a I también es un objeto inicial. Lo mismo es válido para los objetos terminales.

Para categorías completas existe un teorema de existencia para objetos iniciales. Específicamente, una categoría completa ( localmente pequeña ) C tiene un objeto inicial si y solo si existe un conjunto I ( no una clase propia ) y una familia I - indexada ( K _i ) de objetos de C tales que para cualquier objeto X de C , existe al menos un morfismo K _i → X para algún i ∈ I.

Los objetos terminales en una categoría C también pueden definirse como límites del diagrama vacío único 0 → C . Dado que la categoría vacía es vacuamente una categoría discreta , un objeto terminal puede considerarse como un producto vacío (un producto es de hecho el límite del diagrama discreto { X _i } , en general). Dualmente, un objeto inicial es un colimite del diagrama vacío 0 → C y puede considerarse como un coproducto vacío o una suma categórica.

De ello se deduce que cualquier funtor que preserve los límites llevará objetos terminales a objetos terminales, y cualquier funtor que preserve los colímites llevará objetos iniciales a objetos iniciales. Por ejemplo, el objeto inicial en cualquier categoría concreta con objetos libres será el objeto libre generado por el conjunto vacío (ya que el funtor libre , al ser adjunto por la izquierda al funtor olvidadizo de Set , preserva los colímites).

Los objetos iniciales y terminales también pueden caracterizarse en términos de propiedades universales y funtores adjuntos . Sea 1 la categoría discreta con un único objeto (denotado por •), y sea U  : C → 1 el funtor único (constante) para 1 . Entonces

• Un objeto inicial I en C es un morfismo universal de • a U . El funtor que envía • a I es adjunto izquierdo a U .
• Un objeto terminal T en C es un morfismo universal de U a •. El funtor que envía • a T es adjunto derecho a U.

Muchas construcciones naturales en la teoría de categorías pueden formularse en términos de encontrar un objeto inicial o terminal en una categoría adecuada.

• Un morfismo universal de un objeto X a un funtor U puede definirse como un objeto inicial en la categoría de coma ( X ↓ U ) . Dualmente, un morfismo universal de U a X es un objeto terminal en ( U ↓ X ) .
• El límite de un diagrama F es un objeto terminal en Cono( F ) , la categoría de conos a F . Dualmente, un colimite de F es un objeto inicial en la categoría de conos de F .
• Una representación de un funtor F a un conjunto es un objeto inicial en la categoría de elementos de F.
• La noción de funtor final (respectivamente, funtor inicial) es una generalización de la noción de objeto final (respectivamente, objeto inicial).

• El monoide endomorfismo de un objeto inicial o terminal I es trivial: End( I ) = Hom( I , I ) = { id _I } .
• Si una categoría C tiene un objeto cero 0 , entonces para cualquier par de objetos X e Y en C , la composición única X → 0 → Y es un morfismo cero de X a Y .

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• Este artículo se basa en parte en el artículo de PlanetMath sobre ejemplos de objetos iniciales y terminales.