Conjunto puntiagudo

En matemáticas , un conjunto apuntado ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]} (también conjunto base ^{[ 1 ]} o conjunto raíz ^{[ 3 ]} ) es un par ordenado $(X,x_{0})$ dónde $X$ es un conjunto y $x_{0}$ es un elemento de $X$ llamado punto base ^{[ 2 ]} (también escrito basepoint ). ^{[ 4 ]}^{: 10–11}

Un mapa entre conjuntos señalados $(X,x_{0})$ y $(Y,y_{0})$ —llamado mapa basado , ^{[ 5 ]} mapa con punto , ^{[ 4 ]} o mapa que preserva puntos ^{[ 6 ]} —es una función de $X$ a $Y$ que mapea un punto base a otro, es decir, un mapa $f:X\to Y$ de tal manera que $f(x_{0})=y_{0}$ ⁠ . Un mapa base se suele denotar ⁠ $f:(X,x_{0})\to (Y,y_{0})$ .

Los conjuntos apuntados son estructuras algebraicas muy simples . En el sentido del álgebra universal , un conjunto apuntado es un conjunto $X$ junto con una única operación nula $*:X^{0}\to X$ ⁠ ,^{[ a ]} que selecciona el punto base.^{[ 7 ]} Los mapas apuntados son los homomorfismos de estas estructuras algebraicas.

La clase de todos los conjuntos apuntados junto con la clase de todos los mapas base forma una categoría . Todo conjunto apuntado puede convertirse en un conjunto ordinario olvidando el punto base (el functor de olvido es fiel ), pero lo contrario no es cierto. ^{[ 8 ]}^{: 44} En particular, el conjunto vacío no puede ser apuntado, porque no tiene ningún elemento que pueda elegirse como punto base. ^{[ 9 ]}

Propiedades categóricas

La categoría de conjuntos con punto base y mapas con base es equivalente a la categoría de conjuntos y funciones parciales . ^{[ 6 ]} El punto base sirve como un "valor predeterminado" para aquellos argumentos para los que la función parcial no está definida. Un libro de texto señala que "Esta completación formal de conjuntos y mapas parciales mediante la adición de elementos 'impropios' e 'infinitos' se reinventó muchas veces, en particular, en topología ( compactificación de un punto ) y en informática teórica ". ^{[ 10 ]} Esta categoría también es isomorfa a la categoría de coslice ( ⁠ $\mathbf {1} \downarrow \mathbf {Conjunto}$ ) , donde $\mathbf {1}$ es (un functor que selecciona) un conjunto unitario, y $\scriptstyle {\mathbf {Set} }$ (el functor identidad de) la categoría de conjuntos . ^{[ 8 ]}^{: 46}^{[ 11 ]} Esto coincide con la caracterización algebraica, ya que el mapa único $\mathbf {1} \to \mathbf {1}$ extiende los triángulos conmutativos que definen las flechas de la categoría de coslices para formar los cuadrados conmutativos que definen los homomorfismos de las álgebras.

Existe un functor fiel de conjuntos apuntados a conjuntos usuales, pero no es completo y estas categorías no son equivalentes . ^{[ 8 ]}

La categoría de conjuntos apuntados es una categoría apuntada . Los conjuntos unitarios apuntados $(\{a\},a)$ son tanto objetos iniciales como objetos terminales , ^{[ 1 ]} es decir, son objetos cero . ^{[ 4 ]}^{: 226} La categoría de conjuntos apuntados y aplicaciones apuntadas tiene tanto productos como coproductos , pero no es una categoría distributiva . También es un ejemplo de una categoría donde $0\times A$ no es isomorfo a ⁠ $0$ ⁠ .^{[ 9 ]}

Aplicaciones

Muchas estructuras algebraicas se basan en un punto distinguido. Por ejemplo, los grupos son conjuntos con punto base al elegir el elemento identidad como punto base, de modo que los homomorfismos de grupos son aplicaciones que preservan el punto. ^{[ 12 ]}^{: 24} Esta observación puede reformularse en términos de teoría de categorías como la existencia de un functor de olvido de grupos a conjuntos con punto base. ^{[ 12 ]}^{: 582}

Un conjunto con un punto puede verse como un espacio con un punto bajo la topología discreta o como un espacio vectorial sobre el cuerpo con un elemento . ^{[ 13 ]}

Como "conjunto enraizado", la noción aparece naturalmente en el estudio de los antimatroides ^{[ 3 ]} y los politopos de transporte. ^{[ 14 ]}

Véase también

Gráfico accesible y punteado
Extensión de Alexandroff : método para extender un espacio topológico no compacto.
Esfera de Riemann : modelo del plano complejo extendido más un punto en el infinito.

Notas

↑ La notación $X 0$ se refiere a la potencia cartesiana cero del conjunto $X$ , que es un conjunto de un elemento que contiene la tupla vacía.

Referencias

1 2 3 Mac Lane 1998 .
1 2 Grégory Berhuy (2010). Introducción a la cohomología de Galois y sus aplicaciones . Serie de notas de clase de la Sociedad Matemática de Londres. Vol. 377. Cambridge University Press. pág. 34. ISBN 978-0-521-73866-8. Zbl 1207.12003 .
1 2 Korte, Bernhard ; Lovász, László ; Schrader, Rainer (1991), Greedoides , algoritmos y combinatoria, vol. 4, Nueva York, Berlín: Springer-Verlag , capítulo 3, ISBN 3-540-18190-3, Zbl 0733.05023
1 2 3 Joseph Rotman (2008). Introducción al álgebra homológica (2.ª ed.). Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-68324-9.
^ Maunder, CRF (1996), Topología algebraica , Dover, pág. 31, ISBN 978-0-486-69131-2.
1 2 Schröder 2001 .
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1 2 3 J. Adamek, H. Herrlich, G. Stecker, (18 de enero de 2005) Categorías abstractas y concretas: la alegría de los gatos
1 2 Lawvere y Schanuel 2009 .
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↑ Francis Borceux; Dominique Bourn (2004). Mal'cev, Protomodular, Homological and Semi-Abelian Categories . Springer Science & Business Media. p. 131. ISBN 978-1-4020-1961-6.
1 2 Paolo Aluffi (2009). Álgebra: Capítulo 0. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-4781-7.
↑ Haran, MJ Shai (2007), "Geometría no aditiva" (PDF) , Compositio Mathematica , 143 (3): 618–688 , doi : 10.1112/S0010437X06002624 , MR 2330442 En la página 622, Haran escribe: "Consideramos $\mathbb {F}$ -espacios vectoriales como conjuntos finitos $X$ con un elemento 'cero' distinguido ...
↑ Klee, V.; Witzgall, C. (1970) [1968]. "Caras y vértices de politopos de transporte". En George Bernard Dantzig (ed.). Matemáticas de las Ciencias de la Decisión. Parte 1. American Mathematical Soc. ASIN B0020145L2 . OCLC 859802521 .

Lecturas adicionales

Lawvere, FW ; Schanuel, Stephen Hoel (2009). Matemáticas conceptuales: Una primera introducción a las categorías (2.ª ed.). Cambridge University Press. pp. 296–298 . ISBN 978-0-521-89485-2.
Mac Lane, Saunders (1998). Categorías para el matemático práctico (2.ª ed.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-98403-8. Zbl 0906.18001 .
Schröder, Lutz (2001). "Categorías: un recorrido gratuito". En Koslowski, Jürgen; Melton, Austin (eds.). Perspectivas categóricas . Medios de ciencia y negocios de Springer. pag. 10.ISBN 978-0-8176-4186-3.

Enlaces externos

Retrocesos en la categoría de conjuntos y funciones parciales
Conjunto apuntando a PlanetMath .
Objeto apuntando al laboratorio n

[7] La notación $X 0$ se refiere a la potencia cartesiana cero del conjunto $X$ , que es un conjunto de un elemento que contiene la tupla vacía.

[FOOTNOTEMac&nbsp;Lane1998-1] 1 2 3 Mac Lane 1998 .

[Berhuy-2] 1 2 Grégory Berhuy (2010). Introducción a la cohomología de Galois y sus aplicaciones . Serie de notas de clase de la Sociedad Matemática de Londres. Vol. 377. Cambridge University Press. pág. 34. ISBN 978-0-521-73866-8. Zbl 1207.12003 .

[Greedoids-3] 1 2 Korte, Bernhard ; Lovász, László ; Schrader, Rainer (1991), Greedoides , algoritmos y combinatoria, vol. 4, Nueva York, Berlín: Springer-Verlag , capítulo 3, ISBN 3-540-18190-3, Zbl 0733.05023

[Rotman2008-4] 1 2 3 Joseph Rotman (2008). Introducción al álgebra homológica (2.ª ed.). Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-68324-9.

[5] Maunder, CRF (1996), Topología algebraica , Dover, pág. 31, ISBN 978-0-486-69131-2.

[FOOTNOTESchröder2001-6] 1 2 Schröder 2001 .

[LaneBirkhoff1999-8] Saunders Mac Lane ; Garrett Birkhoff (1999) [1988]. Álgebra (3.ª ed.). American Mathematical Soc. pág. 497. ISBN 978-0-8218-1646-2.

[joy-9] 1 2 3 J. Adamek, H. Herrlich, G. Stecker, (18 de enero de 2005) Categorías abstractas y concretas: la alegría de los gatos

[FOOTNOTELawvereSchanuel2009-10] 1 2 Lawvere y Schanuel 2009 .

[KoblitzZilber2009-11] Neal Koblitz; B. Zilber; Yu. I. Manin (2009). Un curso de lógica matemática para matemáticos . Springer Science & Business Media. pág. 290. ISBN 978-1-4419-0615-1.

[BorceuxBourn2004-12] Francis Borceux; Dominique Bourn (2004). Mal'cev, Protomodular, Homological and Semi-Abelian Categories . Springer Science & Business Media. p. 131. ISBN 978-1-4020-1961-6.

[Aluffi2009-13] 1 2 Paolo Aluffi (2009). Álgebra: Capítulo 0. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-4781-7.

[14] Haran, MJ Shai (2007), "Geometría no aditiva" (PDF) , Compositio Mathematica , 143 (3): 618–688 , doi : 10.1112/S0010437X06002624 , MR 2330442 En la página 622, Haran escribe: "Consideramos $\mathbb {F}$ -espacios vectoriales como conjuntos finitos $X$ con un elemento 'cero' distinguido ...

[15] Klee, V.; Witzgall, C. (1970) [1968]. "Caras y vértices de politopos de transporte". En George Bernard Dantzig (ed.). Matemáticas de las Ciencias de la Decisión. Parte 1. American Mathematical Soc. ASIN B0020145L2 . OCLC 859802521 .

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