Categoría distributiva

En matemáticas , una categoría es distributiva si tiene productos finitos y coproductos finitos y tal que para cada elección de objetos , la función canónica ${\estilo de visualización A, B, C}$

${\displaystyle [{\mathit {id}}_{A}\times \iota _{1},{\mathit {id}}_{A}\times \iota _{2}]:A\!\times \!B\,+A\!\times \!C\to A\!\times \!(B+C)}$

es un isomorfismo , y para todos los objetos , el mapa canónico es un isomorfismo (donde 0 denota el objeto inicial ). De manera equivalente, si para cada objeto el endofunctor definido por preserva los coproductos hasta los isomorfismos . ^[1] Se deduce que y los mapas canónicos antes mencionados son iguales para cada elección de objetos. ${\estilo de visualización A}$${\displaystyle 0\to A\times 0}$${\estilo de visualización A}$ ${\displaystyle A\veces -}$${\displaystyle B\mapsto A\times B}$${\estilo de visualización f}$${\estilo de visualización f}$

En particular, si el funtor tiene un adjunto derecho (es decir, si la categoría es cartesiana cerrada ), necesariamente preserva todos los colimites y, por lo tanto, cualquier categoría cartesiana cerrada con coproductos finitos (es decir, cualquier categoría bicartesiana cerrada ) es distributiva. ${\displaystyle A\veces -}$

La categoría de conjuntos es distributiva. Sean A , B y C conjuntos . Entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}A\times (B\amalg C)&=\{(a,d)\mid a\en A{\text{ y }}d\en B\amalg C\}\\&\cong \{(a,d)\mid a\en A{\text{ y }}d\en B\}\amalg \{(a,d)\mid a\en A{\text{ y }}d\en C\}\\&=(A\times B)\amalg (A\times C)\end{aligned}}}$

donde denota el coproducto en el conjunto , es decir, la unión disjunta , y denota una biyección . En el caso en que A , B y C sean conjuntos finitos , este resultado refleja la propiedad distributiva : los conjuntos anteriores tienen cada uno cardinalidad . ${\estilo de visualización \amalg}$${\estilo de visualización \cong}$ ${\displaystyle |A|\cdot (|B|+|C|)=|A|\cdot |B|+|A|\cdot |C|}$

Las categorías Grp y Ab no son distributivas, aunque tienen productos y coproductos.

Una categoría aún más simple que tiene tanto productos como coproductos pero no es distributiva es la categoría de conjuntos puntiagudos . ^[2]