Estructura algebraica

En matemáticas , una estructura algebraica consiste en un conjunto no vacío A (llamado conjunto subyacente , conjunto portador o dominio ), una colección de operaciones sobre A (normalmente operaciones binarias como la suma y la multiplicación) y un conjunto finito de identidades (conocidas como axiomas ) que estas operaciones deben satisfacer.

Una estructura algebraica puede estar basada en otras estructuras algebraicas con operaciones y axiomas que involucran varias estructuras. Por ejemplo, un espacio vectorial involucra una segunda estructura llamada cuerpo y una operación llamada multiplicación escalar entre elementos del cuerpo (llamados escalares ) y elementos del espacio vectorial (llamados vectores ).

Álgebra abstracta es el nombre que se da comúnmente al estudio de las estructuras algebraicas. La teoría general de las estructuras algebraicas se ha formalizado en el álgebra universal . La teoría de categorías es otra formalización que incluye también otras estructuras matemáticas y funciones entre estructuras del mismo tipo ( homomorfismos ).

En álgebra universal, una estructura algebraica se denomina álgebra ; [ ^1] este término puede ser ambiguo, ya que, en otros contextos, un álgebra es una estructura algebraica que es un espacio vectorial sobre un cuerpo o un módulo sobre un anillo conmutativo .

El conjunto de todas las estructuras de un tipo dado (mismas operaciones y mismas leyes) se denomina variedad en álgebra universal; este término también se utiliza con un significado completamente diferente en geometría algebraica , como abreviatura de variedad algebraica . En teoría de categorías, el conjunto de todas las estructuras de un tipo dado y los homomorfismos entre ellas forman una categoría concreta .

La suma y la multiplicación son ejemplos prototípicos de operaciones que combinan dos elementos de un conjunto para producir un tercer elemento del mismo conjunto. Estas operaciones obedecen a varias leyes algebraicas. Por ejemplo, a + ( b + c ) = ( a + b ) + c y a ( bc ) = ( ab ) c son leyes asociativas , y a + b = b + a y ab = ba son leyes conmutativas . Muchos sistemas estudiados por matemáticos tienen operaciones que obedecen algunas, pero no necesariamente todas, de las leyes de la aritmética ordinaria. Por ejemplo, los posibles movimientos de un objeto en el espacio tridimensional se pueden combinar realizando un primer movimiento del objeto y luego un segundo movimiento desde su nueva posición. Tales movimientos, formalmente llamados movimientos rígidos , obedecen la ley asociativa, pero no satisfacen la ley conmutativa.

Los conjuntos con una o más operaciones que obedecen a leyes específicas se denominan estructuras algebraicas . Cuando un nuevo problema involucra las mismas leyes que una estructura algebraica de este tipo, todos los resultados que se han demostrado utilizando únicamente las leyes de la estructura se pueden aplicar directamente al nuevo problema.

En términos generales, las estructuras algebraicas pueden implicar un conjunto arbitrario de operaciones, incluidas las operaciones que combinan más de dos elementos ( operaciones de aridad superior ) y las operaciones que solo toman un argumento ( operaciones unarias ) o incluso cero argumentos ( operaciones nulares ). Los ejemplos que se enumeran a continuación no son de ninguna manera una lista completa, pero incluyen las estructuras más comunes que se enseñan en los cursos de pregrado.

Un axioma de una estructura algebraica suele tener la forma de una identidad , es decir, una ecuación tal que los dos lados del signo igual son expresiones que involucran operaciones de la estructura algebraica y variables . Si las variables en la identidad se reemplazan por elementos arbitrarios de la estructura algebraica, la igualdad debe seguir siendo verdadera. A continuación se presentan algunos ejemplos comunes.

Conmutatividad

Una operación es conmutativa si para cada x e y en la estructura algebraica.${\displaystyle *}$$${\displaystyle x*y=y*x}$$

Asociatividad

Una operación es asociativa si para cada x , y y z en la estructura algebraica.${\displaystyle *}$$${\displaystyle (x*y)*z=x*(y*z)}$$

Distributividad izquierda

Una operación es distributiva izquierda con respecto a otra operación si para cada x , y y z en la estructura algebraica (la segunda operación se denota aquí como , porque la segunda operación es suma en muchos ejemplos comunes).${\displaystyle *}$${\displaystyle +}$$${\displaystyle x*(y+z)=(x*y)+(x*z)}$$${\displaystyle +}$

Distributividad derecha

Una operación es distributiva derecha con respecto a otra operación si para cada x , y y z en la estructura algebraica.${\displaystyle *}$${\displaystyle +}$$${\displaystyle (y+z)*x=(y*x)+(z*x)}$$

Distributividad

Una operación es distributiva con respecto a otra operación si es distributiva tanto por la izquierda como por la derecha. Si la operación es conmutativa, la distributividad por la izquierda y por la derecha son ambas equivalentes a la distributividad.${\displaystyle *}$${\displaystyle +}$${\displaystyle *}$

Algunos axiomas comunes contienen una cláusula existencial . En general, dicha cláusula se puede evitar introduciendo más operaciones y reemplazando la cláusula existencial por una identidad que involucre la nueva operación. Más precisamente, consideremos un axioma de la forma "para todo X existe y tal que ", donde X es una k - tupla de variables. La elección de un valor específico de y para cada valor de X define una función que puede verse como una operación de aridad k , y el axioma se convierte en la identidad${\displaystyle f(X,y)=g(X,y)}$${\displaystyle \varphi :X\mapsto y,}$ ${\displaystyle f(X,\varphi (X))=g(X,\varphi (X)).}$

La introducción de esta operación auxiliar complica ligeramente la formulación de un axioma, pero tiene algunas ventajas. Dada una estructura algebraica específica, la prueba de que se satisface un axioma existencial consiste generalmente en la definición de la función auxiliar, completada con verificaciones sencillas. Además, cuando se calcula en una estructura algebraica, generalmente se utilizan explícitamente las operaciones auxiliares. Por ejemplo, en el caso de los números , el inverso aditivo lo proporciona la operación unaria menos${\displaystyle x\mapsto -x.}$

Además, en álgebra universal , una variedad es una clase de estructuras algebraicas que comparten las mismas operaciones y los mismos axiomas, con la condición de que todos los axiomas sean identidades. Lo que precede muestra que los axiomas existenciales de la forma anterior se aceptan en la definición de una variedad.

A continuación se presentan algunos de los axiomas existenciales más comunes.

Elemento de identidad

Una operación binaria tiene un elemento identidad si existe un elemento e tal que para todo x en la estructura. Aquí, la operación auxiliar es la operación de aridad cero que tiene e como resultado.${\displaystyle *}$$${\displaystyle x*e=x\quad {\text{and}}\quad e*x=x}$$

Elemento inverso

Dada una operación binaria que tiene un elemento identidad e , un elemento x es invertible si tiene un elemento inverso, es decir, si existe un elemento tal que Por ejemplo, un grupo es una estructura algebraica con una operación binaria que es asociativa, tiene un elemento identidad y para la cual todos los elementos son invertibles.${\displaystyle *}$${\displaystyle \operatorname {inv} (x)}$$${\displaystyle \operatorname {inv} (x)*x=e\quad {\text{and}}\quad x*\operatorname {inv} (x)=e.}$$

Los axiomas de una estructura algebraica pueden ser cualquier fórmula de primer orden , es decir, una fórmula que involucra conectivos lógicos (como "y" , "o" y "no" ) y cuantificadores lógicos ( ) que se aplican a elementos (no a subconjuntos) de la estructura. ${\displaystyle \forall ,\exists }$

Un axioma típico de este tipo es la inversión en cuerpos . Este axioma no puede reducirse a axiomas de tipos anteriores. (De ello se deduce que los cuerpos no forman una variedad en el sentido del álgebra universal ). Puede afirmarse: "Todo elemento distinto de cero de un cuerpo es invertible ;" o, equivalentemente: la estructura tiene una operación unaria inv tal que

${\displaystyle \forall x,\quad x=0\quad {\text{or}}\quad x\cdot \operatorname {inv} (x)=1.}$

La operación inv puede verse como una operación parcial que no está definida para x = 0 ; o como una función ordinaria cuyo valor en 0 es arbitrario y no debe utilizarse.

Estructuras simples : sin operación binaria :

• Conjunto : estructura algebraica degenerada S que no tiene operaciones.

Estructuras de tipo grupo : una operación binaria. La operación binaria puede indicarse con cualquier símbolo o sin símbolo (yuxtaposición), como se hace para la multiplicación ordinaria de números reales.

• Grupo : un monoide con una operación unaria (inversa), que da lugar a elementos inversos .
• Grupo abeliano : grupo cuya operación binaria es conmutativa .

Estructuras en forma de anillo o ringoides : dos operaciones binarias, a menudo llamadas adición y multiplicación , en las que la multiplicación se distribuye sobre la adición.

• Anillo : un semianillo cuyo monoide aditivo es un grupo abeliano.
• Anillo de división : un anillo no trivial en el que se define la división por elementos distintos de cero.
• Anillo conmutativo : anillo en el que la operación de multiplicación es conmutativa.
• Campo : un anillo de división conmutativo (es decir, un anillo conmutativo que contiene un inverso multiplicativo para cada elemento distinto de cero).

Estructuras reticulares : dos o más operaciones binarias, incluidas las operaciones llamadas encuentro y unión , conectadas por la ley de absorción . ^[2]

• Red completa : una red en la que existen encuentros y uniones arbitrarias .
• Red acotada : una red con un elemento mayor y un elemento menor.
• Red distributiva : red en la que cada uno de los elementos que se encuentran y se unen se distribuye entre sí. Un conjunto potencia bajo unión e intersección forma una red distributiva.
• Álgebra de Boole : una red distributiva complementada. Tanto el encuentro como la unión pueden definirse en términos del otro y de la complementación.

• Módulo : un grupo abeliano M y un anillo R que actúan como operadores sobre M. Los miembros de R se denominan a veces escalares y la operación binaria de multiplicación escalar es una función R  ×  M → M , que satisface varios axiomas. Contando las operaciones de anillo, estos sistemas tienen al menos tres operaciones.
• Espacio vectorial : módulo donde el anillo R es un campo o, en algunos contextos, un anillo de división .

• Álgebra sobre un cuerpo : un módulo sobre un cuerpo, que también conlleva una operación de multiplicación compatible con la estructura del módulo. Esto incluye distributividad sobre la suma y linealidad con respecto a la multiplicación.
• Espacio producto interior : un cuerpo F y un espacio vectorial V con una forma bilineal definida V × V → F .

Las estructuras algebraicas también pueden coexistir con estructuras añadidas de naturaleza no algebraica, como un orden parcial o una topología . La estructura añadida debe ser compatible, en algún sentido, con la estructura algebraica.

• Grupo topológico : un grupo con una topología compatible con el funcionamiento del grupo.
• Grupo de Lie : un grupo topológico con una estructura de variedad suave compatible .
• Grupos ordenados , anillos ordenados y campos ordenados : cada tipo de estructura con un orden parcial compatible .
• Grupo arquimediano : grupo ordenado linealmente para el cual se cumple la propiedad arquimediana .
• Espacio vectorial topológico : espacio vectorial cuyo M tiene una topología compatible.
• Espacio vectorial normado : espacio vectorial con una norma compatible . Si dicho espacio es completo (como un espacio métrico), se denomina espacio de Banach .
• Espacio de Hilbert : espacio de producto interno sobre números reales o complejos cuyo producto interno da lugar a una estructura de espacio de Banach.
• Álgebra de operadores de vértices
• Álgebra de von Neumann : un *-álgebra de operadores en un espacio de Hilbert equipado con la topología de operador débil .

Las estructuras algebraicas se definen a través de diferentes configuraciones de axiomas . El álgebra universal estudia de forma abstracta dichos objetos. Una dicotomía importante es entre las estructuras que están axiomatizadas completamente por identidades y las estructuras que no lo están. Si todos los axiomas que definen una clase de álgebras son identidades, entonces esta clase es una variedad (que no debe confundirse con las variedades algebraicas de la geometría algebraica ).

Las identidades son ecuaciones formuladas utilizando únicamente las operaciones que permite la estructura y variables que están cuantificadas universalmente de forma tácita en el universo relevante . Las identidades no contienen conectivos , variables cuantificadas existencialmente ni relaciones de ningún tipo que no sean las operaciones permitidas. El estudio de las variedades es una parte importante del álgebra universal . Una estructura algebraica en una variedad puede entenderse como el álgebra cociente del álgebra de términos (también llamada " álgebra absolutamente libre ") dividida por las relaciones de equivalencia generadas por un conjunto de identidades. Por lo tanto, una colección de funciones con firmas dadas genera un álgebra libre, el álgebra de términos T. Dado un conjunto de identidades ecuacionales (los axiomas), se puede considerar su clausura transitiva simétrica E. El álgebra cociente T / E es entonces la estructura o variedad algebraica. Así, por ejemplo, los grupos tienen una signatura que contiene dos operadores: el operador de multiplicación m , que toma dos argumentos, y el operador inverso i , que toma un argumento, y el elemento identidad e , una constante, que puede considerarse un operador que toma cero argumentos. Dado un conjunto (contable) de variables x , y , z , etc., el término álgebra es la colección de todos los términos posibles que involucran m , i , e y las variables; así, por ejemplo, m ( i ( x ), m ( x , m ( y , e ))) sería un elemento del término álgebra. Uno de los axiomas que definen un grupo es la identidad m ( x , i ( x )) = e ; otro es m ( x , e ) = x . Los axiomas pueden representarse como árboles. Estas ecuaciones inducen clases de equivalencia en el álgebra libre; el álgebra del cociente tiene entonces la estructura algebraica de un grupo.

Algunas estructuras no forman variedades porque:

1. Es necesario que 0 ≠ 1, siendo 0 el elemento identidad aditivo y 1 el elemento identidad multiplicativo, pero esto es una no identidad;
2. Las estructuras como los campos tienen algunos axiomas que se cumplen solo para miembros distintos de cero de S. Para que una estructura algebraica sea una variedad, sus operaciones deben estar definidas para todos los miembros de S ; no puede haber operaciones parciales.

Las estructuras cuyos axiomas incluyen inevitablemente no identidades se encuentran entre las más importantes en matemáticas, por ejemplo, los cuerpos y los anillos de división . Las estructuras con no identidades presentan desafíos que las variedades no presentan. Por ejemplo, el producto directo de dos cuerpos no es un cuerpo, porque , pero los cuerpos no tienen divisores de cero . ${\displaystyle (1,0)\cdot (0,1)=(0,0)}$

La teoría de categorías es otra herramienta para estudiar las estructuras algebraicas (véase, por ejemplo, Mac Lane 1998). Una categoría es una colección de objetos con morfismos asociados. Cada estructura algebraica tiene su propia noción de homomorfismo , es decir, cualquier función compatible con la(s) operación(es) que definen la estructura. De esta manera, cada estructura algebraica da lugar a una categoría . Por ejemplo, la categoría de grupos tiene todos los grupos como objetos y todos los homomorfismos de grupo como morfismos. Esta categoría concreta puede verse como una categoría de conjuntos con una estructura de teoría de categorías añadida. Del mismo modo, la categoría de grupos topológicos (cuyos morfismos son los homomorfismos de grupo continuos) es una categoría de espacios topológicos con estructura extra. Un funtor olvidadizo entre categorías de estructuras algebraicas "olvida" una parte de una estructura.

Hay varios conceptos en la teoría de categorías que intentan capturar el carácter algebraico de un contexto, por ejemplo

• categoría algebraica
• categoría esencialmente algebraica
• categoría presentable
• categoría presentable localmente
• funtores y categorías monádicos
• propiedad universal

En un ligero abuso de notación , la palabra "estructura" también puede referirse sólo a las operaciones sobre una estructura, en lugar del conjunto subyacente en sí. Por ejemplo, la oración, "Hemos definido una estructura de anillo sobre el conjunto ", significa que hemos definido operaciones de anillo sobre el conjunto . Otro ejemplo: el grupo puede verse como un conjunto que está equipado con una estructura algebraica, a saber, la operación . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle +}$

• Objeto libre
• Estructura matemática
• Firma (lógica)
• Estructura (lógica matemática)

• Mac Lane, Saunders ; Birkhoff, Garrett (1999), Álgebra (2.ª ed.), AMS Chelsea, ISBN 978-0-8218-1646-2
• Michel, Anthony N.; Herget, Charles J. (1993), Álgebra aplicada y análisis funcional , Nueva York: Dover Publications , ISBN 978-0-486-67598-5
• Burris, Stanley N.; Sankappanavar, HP (1981), Un curso de álgebra universal, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-90578-3

Teoría de categorías

• Mac Lane, Saunders (1998), Categorías para el matemático en activo (2.ª ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98403-2
• Taylor, Paul (1999), Fundamentos prácticos de las matemáticas , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-63107-5

• Estructuras del álgebra de Jipsen. Incluye muchas estructuras que no se mencionan aquí.
• Página de Mathworld sobre álgebra abstracta.
• Enciclopedia de Filosofía de Stanford : Álgebra de Vaughan Pratt .