Operación binaria

En matemáticas , una operación binaria o diádica es una regla para combinar dos elementos (llamados operandos ) y producir otro elemento. Formalmente, una operación binaria es una operación de aridad dos.

Más específicamente, una operación binaria sobre un conjunto es una función binaria que asigna a cada par de elementos del conjunto un elemento del mismo. Algunos ejemplos son las operaciones aritméticas comunes como la suma , la resta y la multiplicación , así como las operaciones con conjuntos como la unión, el complemento y la intersección. Otros ejemplos se encuentran fácilmente en diferentes áreas de las matemáticas, como la suma de vectores , la multiplicación de matrices y la conjugación de grupos .

Una función binaria que involucra varios conjuntos también se denomina a veces operación binaria . Por ejemplo, la multiplicación escalar de espacios vectoriales toma un escalar y un vector para producir un vector, y el producto escalar toma dos vectores para producir un escalar.

Las operaciones binarias son la piedra angular de la mayoría de las estructuras que se estudian en álgebra , en particular en semigrupos , monoides , grupos , anillos , cuerpos y espacios vectoriales .

Más precisamente, una operación binaria en un conjunto${\displaystyle S}$es una correspondencia de los elementos del producto cartesiano${\displaystyle S\times S}$a${\displaystyle S}$: ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

${\displaystyle \,f\colon S\times S\rightarrow S.}$

Si${\displaystyle f}$no es una asignación sino una asignación parcial , entonces${\displaystyle f}$Se denomina operación binaria parcial . Por ejemplo, la división es una operación binaria parcial en el conjunto de todos los números reales , porque no se puede dividir por cero :${\displaystyle {\frac {a}{0}}}$es indefinido para cada número real${\displaystyle a}$. Tanto en la teoría de modelos como en el álgebra universal clásica , se requiere que las operaciones binarias se definan en todos los elementos de${\displaystyle S\times S}$Sin embargo, en el álgebra universal , la estructura de un álgebra parcial requiere solo operaciones parciales. ^{[ 4 ]}

A veces, especialmente en informática , el término operación binaria se utiliza para cualquier función binaria .

Ejemplos típicos de operaciones binarias son la suma (${\displaystyle +}$) y multiplicación (${\displaystyle \times }$) de números y matrices , así como la composición de funciones en un solo conjunto. Por ejemplo,

• En el conjunto de los números reales${\displaystyle \mathbb {R} }$,${\displaystyle f(a,b)=a+b}$es una operación binaria ya que la suma de dos números reales es un número real.
• En el conjunto de los números naturales${\displaystyle \mathbb {N} }$,${\displaystyle f(a,b)=a+b}$es una operación binaria ya que la suma de dos números naturales es un número natural. Esta es una operación binaria diferente a la anterior ya que los conjuntos son diferentes.
• En el plató${\displaystyle M(2,\mathbb {R} )}$de${\displaystyle 2\times 2}$matrices con entradas reales,${\displaystyle f(A,B)=A+B}$es una operación binaria ya que la suma de dos matrices de este tipo es una${\displaystyle 2\times 2}$matriz.
• En el plató${\displaystyle M(2,\mathbb {R} )}$de${\displaystyle 2\times 2}$matrices con entradas reales,${\displaystyle f(A,B)=AB}$es una operación binaria ya que el producto de dos matrices de este tipo es una${\displaystyle 2\times 2}$matriz.
• Para un conjunto dado${\displaystyle C}$, dejar${\displaystyle S}$sea ​​el conjunto de todas las funciones${\displaystyle h\colon C\rightarrow C}$. Definir${\displaystyle f\colon S\times S\rightarrow S}$por${\displaystyle f(h_{1},h_{2})(c)=(h_{1}\circ h_{2})(c)=h_{1}(h_{2}(c))}$a pesar de${\displaystyle c\in C}$la composición de las dos funciones${\displaystyle h_{1}}$y${\displaystyle h_{2}}$en${\displaystyle S}$. Entonces${\displaystyle f}$es una operación binaria ya que la composición de las dos funciones es nuevamente una función en el conjunto${\displaystyle C}$(es decir, un miembro de${\displaystyle S}$).

Muchas operaciones binarias de interés tanto en álgebra como en lógica formal son conmutativas , satisfaciendo${\displaystyle f(a,b)=f(b,a)}$para todos los elementos${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$en${\displaystyle S}$, o asociativo , satisfactorio${\displaystyle f(f(a,b),c)=f(a,f(b,c))}$a pesar de${\displaystyle a}$,${\displaystyle b}$, y${\displaystyle c}$en${\displaystyle S}$. Muchos también tienen elementos neutros y elementos inversos .

Los tres primeros ejemplos anteriores son conmutativos y todos los ejemplos anteriores son asociativos.

En el conjunto de los números reales${\displaystyle \mathbb {R} }$, resta , es decir,${\displaystyle f(a,b)=ab}$, es una operación binaria que no es conmutativa ya que, en general,${\displaystyle ab\neq ba}$. Tampoco es asociativo, ya que, en general,${\displaystyle a-(bc)\neq (ab)-c}$; por ejemplo,${\displaystyle 1-(2-3)=2}$pero${\displaystyle (1-2)-3=-4}$.

En el conjunto de los números naturales${\displaystyle \mathbb {N} }$, la operación binaria de exponenciación ,${\displaystyle f(a,b)=a^{b}}$, no es conmutativo ya que,${\displaystyle a^{b}\neq b^{a}}$(cf. Ecuación x ^y = y ^x ), y tampoco es asociativa ya que${\displaystyle f(f(a,b),c)\neq f(a,f(b,c))}$. Por ejemplo, con${\displaystyle a=2}$,${\displaystyle b=3}$, y${\displaystyle c=2}$,${\displaystyle f(2^{3},2)=f(8,2)=8^{2}=64}$, pero${\displaystyle f(2,3^{2})=f(2,9)=2^{9}=512}$. Cambiando el conjunto${\displaystyle \mathbb {N} }$al conjunto de los números enteros${\displaystyle \mathbb {Z} }$, esta operación binaria se convierte en una operación binaria parcial ya que ahora no está definida cuando${\displaystyle a=0}$y${\displaystyle b}$es cualquier entero negativo. Para cualquiera de los conjuntos, esta operación tiene una identidad derecha (que es${\displaystyle 1}$) desde${\displaystyle f(a,1)=a}$a pesar de${\displaystyle a}$en el conjunto, que no es una identidad (identidad bilateral) ya que${\displaystyle f(1,b)\neq b}$en general.

División (${\displaystyle \div }$), una operación binaria parcial sobre el conjunto de números reales o racionales, no es conmutativa ni asociativa. Tetración (${\displaystyle \uparrow \uparrow }$), como operación binaria sobre los números naturales, no es conmutativa ni asociativa y no tiene elemento neutro.

Las operaciones binarias a menudo se escriben utilizando la notación infija, como por ejemplo:${\displaystyle a\ast b}$,${\displaystyle a+b}$,${\displaystyle a\cdot b}$o (por yuxtaposición sin símbolo)${\displaystyle ab}$en lugar de mediante la notación funcional de la forma${\displaystyle f(a,b)}$. Las potencias también se suelen escribir sin operador, pero con el segundo argumento como superíndice .

Las operaciones binarias a veces se escriben utilizando notación prefija o postfija, las cuales prescinden de paréntesis. También se las denomina, respectivamente, notación polaca.${\displaystyle \ast ab}$y notación polaca inversa${\displaystyle ab\ast }$.

Una operación binaria${\displaystyle f}$en un plató${\displaystyle S}$puede considerarse como una relación ternaria en${\displaystyle S}$, es decir, el conjunto de ternas${\displaystyle (a,b,f(a,b))}$en${\displaystyle S\times S\times S}$a pesar de${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$en${\displaystyle S}$.

Por ejemplo, la multiplicación escalar en álgebra lineal . Aquí${\displaystyle K}$es un campo y${\displaystyle S}$es un espacio vectorial sobre ese campo.

También el producto escalar de dos mapas vectoriales${\displaystyle S\times S}$a${\displaystyle K}$, dónde${\displaystyle K}$es un campo y${\displaystyle S}$es un espacio vectorial sobre${\displaystyle K}$Depende de los autores si se considera una operación binaria.

• Categoría: Propiedades de las operaciones binarias
• Operación binaria iterada : aplicación repetida de una operación a una secuencia. 
• Magma (álgebra) – Estructura algebraica con una operación binaria 
• Operador (programación) – Estructura básica del lenguaje de programación Páginas que muestran breves descripciones de los destinos de redirección 
• Operación ternaria : operación matemática que combina tres elementos para producir otro elemento. 
• Tabla de verdad §  Operaciones binarias
• Operación unaria : operación matemática con un solo operando. 

• Fraleigh, John B. (1976), Un primer curso de álgebra abstracta (2.ª  ed.), Reading: Addison-Wesley, ISBN 0-201-01984-1
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• Hardy, Darel W.; Walker, Carol L. (2002), Álgebra aplicada: códigos, cifrados y algoritmos discretos , Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall, ISBN 0-13-067464-8
• Rotman, Joseph J. (1973), La teoría de los grupos: una introducción (2.ª  ed.), Boston: Allyn and Bacon

• Weisstein, Eric W. "Operación binaria" . MathWorld .