Hispanopedia WikiEn matemáticas , una relación ternaria o triádica es una relación finita en la que el número de lugares de la relación es tres. Las relaciones ternarias también pueden denominarse 3-ádicas , 3-arias , 3-dimensionales o de 3 lugares .
Así como una relación binaria se define formalmente como un conjunto de pares , es decir, un subconjunto del producto cartesiano A × B de algunos conjuntos A y B , una relación ternaria es un conjunto de tríos, que forman un subconjunto del producto cartesiano A × B × C de tres conjuntos A , B y C.
Un ejemplo de relación ternaria en geometría elemental involucra tríos de puntos. En este caso, un trío (A, B, C) pertenece a la relación si los tres puntos son colineales, es decir, se encuentran sobre la misma línea recta. Otro ejemplo geométrico de relación ternaria considera tríos formados por dos puntos y una línea. Aquí, un trío (A, B, ℓ) pertenece a la relación si la línea ℓ pasa por ambos puntos, A y B; en otras palabras, si los dos puntos determinan o son incidentes con la línea.
Ejemplos
Funciones binarias
Una función f : A × B → C en dos variables, que asigna dos valores de los conjuntos A y B , respectivamente, a un valor en C, asocia a cada par ( a , b ) en A × B un elemento f ( a , b ) en C . Por lo tanto, su grafo consta de pares de la forma (( a , b ), f ( a , b )) . Dichos pares en los que el primer elemento es a su vez un par se identifican a menudo con ternas. Esto hace que el grafo de f sea una relación ternaria entre A , B y C , que consta de todas las ternas ( a , b , f ( a , b )) , que satisfacen a en A , b en B y f ( a , b ) en C . [ 1 ]
Órdenes cíclicas
Dado cualquier conjunto A cuyos elementos están dispuestos en un círculo, se puede definir una relación ternaria R en A , es decir, un subconjunto de A 3 = A × A × A , estipulando que R ( a , b , c ) se cumple si y solo si los elementos a , b y c son distintos entre sí y al ir de a a c en sentido horario se pasa por b . Por ejemplo, si A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 } representa las horas en la esfera de un reloj , entonces R (8, 12, 4) se cumple y R (12, 8, 4) no se cumple.
Relaciones de intermediación
Relación de equivalencia ternaria
Relación de congruencia
La congruencia ordinaria de la aritmética
La relación que se cumple para tres enteros a , b y m si y solo si m divide a − b , formalmente puede considerarse una relación ternaria. Sin embargo, generalmente se la considera como una familia de relaciones binarias entre a y b , indexadas por el módulo m . Para cada m fijo , esta relación binaria posee ciertas propiedades naturales, como ser una relación de equivalencia ; mientras que la relación ternaria combinada, en general, no se estudia como una sola relación.
Relación de escritura
Una relación de tipado Γ ⊢ e : σ indica que e es un término de tipo σ en el contexto Γ, y por lo tanto es una relación ternaria entre contextos, términos y tipos.
Reglas de Schröder
Dadas relaciones homogéneas A , B y C en un conjunto, se puede definir una relación ternaria ( A , B , C ) mediante la composición de relaciones AB y la inclusión AB ⊆ C. Dentro del cálculo de relaciones, cada relación A tiene una relación inversa AT y una relación complementaria A' . Utilizando estas involuciones , Augustus De Morgan y Ernst Schröder demostraron que ( A , B , C ) es equivalente a ( C , BT , A ) y también a ( AT , C , B ) . Las equivalencias mutuas de estas formas, construidas a partir de la relación ternaria ( A , B , C ) , se denominan reglas de Schröder . [ 2 ]
Referencias
- ↑ George Grätzer (1979) Álgebra Universal , segunda edición, página 5, Springer books ISBN 0-387-90355-0
- ↑ Schmidt, Gunther ; Ströhlein, Thomas (1993), Relaciones y grafos , Springer books , págs . 15–19
Lecturas adicionales
- Myers, Dale (1997), "Un isomorfismo interpretativo entre relaciones binarias y ternarias", en Mycielski, Jan; Rozenberg, Grzegorz; Salomaa, Arto (eds.), Estructuras en lógica e informática , Lecture Notes in Computer Science, vol. 1261, Springer, pp. 84–105 , doi : 10.1007/3-540-63246-8_6 , ISBN 3-540-63246-8
- Novák, Vítězslav (1996), "Estructuras ternarias y semigrupos parciales", Revista Matemática Checoslovaca , 46 (1): 111– 120, hdl : 10338.dmlcz/127275
- Novák, Vítězslav; Novotný, Miroslav (1989), "Relaciones ternarias transitivas y cuasiordenamientos", Archivum Mathematicum , 25 ( 1– 2): 5– 12, hdl : 10338.dmlcz/107333
- Novák, Vítězslav; Novotný, Miroslav (1992), "Relaciones binarias y ternarias", Mathematica Bohemica , 117 (3): 283– 292, hdl : 10338.dmlcz/126278
- Novotný, Miroslav (1991), "Estructuras ternarias y grupoides", Revista Matemática Checoslovaca , 41 (1): 90– 98, hdl : 10338.dmlcz/102437
- Šlapal, Josef (1993), "Relaciones y topologías", Revista Matemática Checoslovaca , 43 (1): 141– 150, hdl : 10338.dmlcz/128381
- Relaciones matemáticas