Campo con un elemento

En matemáticas , el campo con un elemento es un nombre sugerente para un objeto que debería comportarse de manera similar a un campo finito con un solo elemento, si tal campo pudiera existir. Este objeto se denota F ₁ o, en un juego de palabras francés-inglés, F _un . ^[1] El nombre "campo con un elemento" y la notación F ₁ son solo sugerentes, ya que no hay ningún campo con un elemento en el álgebra abstracta clásica . En cambio, F ₁ se refiere a la idea de que debería haber una forma de reemplazar conjuntos y operaciones , los bloques de construcción tradicionales para el álgebra abstracta, con otros objetos más flexibles. Se han propuesto muchas teorías de F _{1 , pero no está claro cuál de ellas, si es que hay alguna, le da} a F ₁ todas las propiedades deseadas. Si bien todavía no hay un campo con un solo elemento en estas teorías, hay un objeto similar a un campo cuya característica es una.

La mayoría de las teorías propuestas de F ₁ reemplazan por completo al álgebra abstracta. Los objetos matemáticos como los espacios vectoriales y los anillos polinómicos pueden trasladarse a estas nuevas teorías imitando sus propiedades abstractas. Esto permite el desarrollo del álgebra conmutativa y la geometría algebraica sobre nuevas bases. Una de las características definitorias de las teorías de F ₁ es que estas nuevas bases permiten más objetos que el álgebra abstracta clásica, uno de los cuales se comporta como un cuerpo de característica uno.

La posibilidad de estudiar las matemáticas de F ₁ fue sugerida originalmente en 1956 por Jacques Tits , publicada en Tits 1957, sobre la base de una analogía entre simetrías en geometría proyectiva y la combinatoria de complejos simpliciales . F ₁ ha sido conectada con la geometría no conmutativa y con una posible prueba de la hipótesis de Riemann .

En 1957, Jacques Tits introdujo la teoría de los edificios , que relaciona los grupos algebraicos con complejos simpliciales abstractos . Uno de los supuestos es una condición de no trivialidad: si el edificio es un complejo simplicial abstracto de n dimensiones, y si k < n , entonces cada k -símplice del edificio debe estar contenido en al menos tres n -símplices. Esto es análogo a la condición en la geometría proyectiva clásica de que una línea debe contener al menos tres puntos. Sin embargo, hay geometrías degeneradas que satisfacen todas las condiciones para ser una geometría proyectiva excepto que las líneas admiten solo dos puntos. Los objetos análogos en la teoría de los edificios se llaman apartamentos. Los apartamentos juegan un papel tan constituyente en la teoría de los edificios que Tits conjeturó la existencia de una teoría de la geometría proyectiva en la que las geometrías degeneradas tendrían la misma posición que las clásicas. Esta geometría se llevaría a cabo, dijo, sobre un cuerpo de característica uno . ^[2] Utilizando esta analogía fue posible describir algunas de las propiedades elementales de F ₁ , pero no fue posible construirla.

Después de las observaciones iniciales de Tits, se hicieron pocos avances hasta principios de la década de 1990. A fines de la década de 1980, Alexander Smirnov dio una serie de charlas en las que conjeturó que la hipótesis de Riemann podía probarse considerando los números enteros como una curva sobre un cuerpo con un elemento. Para 1991, Smirnov había dado algunos pasos hacia la geometría algebraica sobre F ₁ , ^[3] introduciendo extensiones de F ₁ y usándolas para manejar la línea proyectiva P ¹ sobre F ₁ . ^[3] Los números algebraicos fueron tratados como mapas de este P ¹ , y se sugirieron aproximaciones conjeturales a la fórmula de Riemann-Hurwitz para estos mapas. Estas aproximaciones implican soluciones a problemas importantes como la conjetura abc . Las extensiones de F ₁ más tarde se denotaron como F _q con q = 1 ⁿ . Junto con Mikhail Kapranov , Smirnov continuó explorando cómo las construcciones algebraicas y de teoría de números en característica prima podrían verse en "característica uno", culminando en un trabajo inédito publicado en 1995. ^[4] En 1993, Yuri Manin dio una serie de conferencias sobre funciones zeta donde propuso desarrollar una teoría de geometría algebraica sobre F ₁ . ^[5] Sugirió que las funciones zeta de variedades sobre F ₁ tendrían descripciones muy simples, y propuso una relación entre la K-teoría de F ₁ y los grupos de homotopía de esferas . Esto inspiró a varias personas a intentar construir teorías explícitas de F ₁ -geometría.

La primera definición publicada de una variedad sobre F ₁ provino de Christophe Soulé en 1999, ^[6] quien la construyó usando álgebras sobre los números complejos y funtores de categorías de ciertos anillos. ^[6] En 2000, Zhu propuso que F ₁ era lo mismo que F ₂ excepto que la suma de uno y uno era uno, no cero. ^[7] Deitmar sugirió que F ₁ debería encontrarse olvidando la estructura aditiva de un anillo y centrándose en la multiplicación. ^[8] Toën y Vaquié se basaron en la teoría de esquemas relativos de Hakim y definieron F ₁ usando categorías monoidales simétricas . ^[9] Más tarde, Vezzani demostró que su construcción era equivalente a la de Deitmar. ^[10] Nikolai Durov construyó F ₁ como una mónada algebraica conmutativa . ^[11] Borger usó la descendencia para construirla a partir de los cuerpos finitos y los números enteros. ^[12]

Alain Connes y Caterina Consani desarrollaron las nociones de Soulé y Deitmar "pegando" la categoría de monoides multiplicativos y la categoría de anillos para crear una nueva categoría y luego definiendo los esquemas F ₁ como un tipo particular de funtor representable en ^[13]. Usando esto, lograron proporcionar una noción de varias construcciones de teoría de números sobre F ₁ como motivos y extensiones de campo, así como también construir grupos de Chevalley sobre F _{1 ²} . Junto con Matilde Marcolli , Connes y Consani también han conectado F ₁ con geometría no conmutativa . ^[14] También se ha sugerido que tiene conexiones con la conjetura de juegos únicos en la teoría de la complejidad computacional . ^[15]${\displaystyle {\mathfrak {M}}{\mathfrak {R}},}$${\displaystyle {\mathfrak {M}}{\mathfrak {R}}.}$

Oliver Lorscheid, junto con otros, ha logrado recientemente el objetivo original de Tits de describir los grupos de Chevalley sobre F ₁ mediante la introducción de objetos llamados planos, que son una generalización simultánea de semianillos y monoides. ^{[16] [17]} Estos se utilizan para definir los llamados "esquemas azules", uno de los cuales es Spec F ₁ . ^[18] Las ideas de Lorscheid se apartan un poco de otras ideas de grupos sobre F ₁ , en que el esquema F ₁ no es en sí mismo el grupo de Weyl de su extensión base a esquemas normales. Lorscheid define primero la categoría Tits, una subcategoría completa de la categoría de esquemas azules, y define la "extensión de Weyl", un funtor de la categoría Tits a Set . Un modelo Tits–Weyl de un grupo algebraico es un esquema azul G con una operación de grupo que es un morfismo en la categoría Tits, cuya extensión base es y cuya extensión de Weyl es isomorfa al grupo de Weyl de${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle {\mathcal {G}}.}$

La geometría F ₁ se ha vinculado a la geometría tropical , a través del hecho de que los semianillos (en particular, los semianillos tropicales) surgen como cocientes de algún semianillo monoide N [ A ] de sumas formales finitas de elementos de un monoide A , que es en sí mismo un F ₁ -álgebra. Esta conexión se hace explícita por el uso de planos por parte de Lorscheid. ^{[19] Los hermanos Giansiracusa han construido una teoría de esquemas tropicales, para la cual su categoría de esquemas tropicales es equivalente a la categoría de esquemas} F ₁ de Toën–Vaquié . ^[20] Esta categoría se integra fielmente , pero no completamente , en la categoría de esquemas azules, y es una subcategoría completa de la categoría de esquemas Durov.

Una de las motivaciones para F ₁ proviene de la teoría de números algebraicos . La prueba de Weil de la hipótesis de Riemann para curvas sobre cuerpos finitos comienza con una curva C sobre un cuerpo finito k , que viene equipado con un cuerpo de funciones F , que es una extensión de cuerpo de k . Cada uno de estos cuerpos de funciones da lugar a una función zeta de Hasse-Weil ζ _F , y la hipótesis de Riemann para cuerpos finitos determina los ceros de ζ _F . La prueba de Weil luego utiliza varias propiedades geométricas de C para estudiar ζ _F .

El campo de números racionales Q está vinculado de una manera similar a la función zeta de Riemann , pero Q no es el campo de funciones de una variedad. En cambio, Q es el campo de funciones del esquema Spec Z. Este es un esquema unidimensional (también conocido como una curva algebraica ), y por lo tanto debería haber algún "campo base" sobre el que se encuentre esta curva, del cual Q sería una extensión del campo (de la misma manera que C es una curva sobre k , y F es una extensión de k ). La esperanza de la geometría F ₁ es que un objeto adecuado F ₁ pueda desempeñar el papel de este campo base, lo que permitiría una prueba de la hipótesis de Riemann imitando la prueba de Weil con F ₁ en lugar de k .

La geometría sobre un cuerpo con un elemento también está motivada por la geometría de Arakelov , donde se estudian ecuaciones diofánticas utilizando herramientas de la geometría compleja . La teoría implica comparaciones complicadas entre cuerpos finitos y números complejos. Aquí la existencia de F ₁ es útil por razones técnicas.

F ₁ no puede ser un cuerpo porque, por definición, todos los cuerpos deben contener dos elementos distintos, la identidad aditiva cero y la identidad multiplicativa uno. Incluso si se elimina esta restricción (por ejemplo, dejando que las identidades aditiva y multiplicativa sean el mismo elemento), un anillo con un elemento debe ser el anillo cero , que no se comporta como un cuerpo finito. Por ejemplo, todos los módulos sobre el anillo cero son isomorfos (ya que el único elemento de dicho módulo es el elemento cero). Sin embargo, una de las motivaciones clave de F ₁ es la descripción de los conjuntos como " F ₁ -espacios vectoriales": si los conjuntos finitos fueran módulos sobre el anillo cero, entonces cada conjunto finito tendría el mismo tamaño, lo que no es el caso. Además, el espectro del anillo trivial está vacío, pero el espectro de un cuerpo tiene un punto.

• Los conjuntos finitos son tanto espacios afines como espacios proyectivos sobre F ₁ .
• Los conjuntos puntiagudos son espacios vectoriales sobre F ₁ . ^[21]
• Los campos finitos F _q son deformaciones cuánticas de F ₁ , donde q es la deformación.
• Los grupos de Weyl son grupos algebraicos simples sobre F ₁ :

  Dado un diagrama de Dynkin para un grupo algebraico semisimple, su grupo de Weyl es ^[22] el grupo algebraico semisimple sobre F ₁ .

• El esquema afín Spec Z es una curva sobre F ₁ .
• Los grupos son álgebras de Hopf sobre F ₁ . En términos más generales, cualquier cosa definida puramente en términos de diagramas de objetos algebraicos debería tener un análogo F ₁ en la categoría de conjuntos.
• Las acciones de grupo sobre conjuntos son representaciones proyectivas de G sobre F ₁ , y de esta manera, G es el álgebra de Hopf de grupo F ₁ [ G ].
• Las variedades tóricas determinan las variedades F ₁ . En algunas descripciones de la geometría F ₁ , lo inverso también es cierto, en el sentido de que la extensión de los escalares de las variedades F ₁ a Z son tóricas. ^[23] Mientras que otros enfoques de la geometría F ₁ admiten clases más amplias de ejemplos, las variedades tóricas parecen estar en el corazón mismo de la teoría.
• La función zeta de P ^N ( F ₁ ) debe ser ζ ( s ) = s ( s − 1)⋯( s − N ) . ^[6]
• El m -ésimo grupo K de F ₁ debería ser el m -ésimo grupo de homotopía estable del espectro de la esfera . ^[6]

Varias estructuras en un conjunto son análogas a las estructuras en un espacio proyectivo y pueden calcularse de la misma manera:

El número de elementos de P ( F^no
_q) = P ^{n −1} ( F _q ) , el espacio proyectivo ( n − 1) ‑dimensional sobre el cuerpo finito F _q , es el q ‑entero ^[24]

${\displaystyle [n]_{q}:={\frac {q^{n}-1}{q-1}}=1+q+q^{2}+\puntos +q^{n-1}.}$

Tomando q = 1 obtenemos [ n ] _q = n .

La expansión del entero q en una suma de potencias de q corresponde a la descomposición de la celda de Schubert del espacio proyectivo.

Hay n ! permutaciones de un conjunto con n elementos y [ n ]! _q banderas máximas en F^no
_q, dónde

${\displaystyle [n]!_{q}:=[1]_{q}[2]_{q}\puntos [n]_{q}}$

es el q ‑factorial . De hecho, una permutación de un conjunto puede considerarse un conjunto filtrado , como una bandera es un espacio vectorial filtrado: por ejemplo, el ordenamiento (0, 1, 2) del conjunto {0, 1, 2} corresponde a la filtración {0} ⊂ {0, 1} ⊂ {0, 1, 2} .

El coeficiente binomial

${\displaystyle {\frac {n!}{m!(nm)!}}}$

da el número de subconjuntos de m elementos de un conjunto de n elementos y el coeficiente binomial q

${\displaystyle {\frac {[n]!_{q}}{[m]!_{q}[nm]!_{q}}}}$

da el número de subespacios m -dimensionales de un espacio vectorial n -dimensional sobre F _q .

La expansión del coeficiente q -binomial en una suma de potencias de q corresponde a la descomposición de la celda de Schubert del Grassmanniano .

La construcción de esquemas monoides de Deitmar ^[25] ha sido llamada "el núcleo mismo de la geometría F ₁ ", ^[16] ya que la mayoría de las otras teorías de la geometría F ₁ contienen descripciones de esquemas monoides. Moralmente, imita la teoría de esquemas desarrollada en los años 1950 y 1960 al reemplazar anillos conmutativos con monoides . El efecto de esto es "olvidar" la estructura aditiva del anillo, dejando solo la estructura multiplicativa. Por esta razón, a veces se la llama "geometría no aditiva".

Un monoide multiplicativo es un monoide A que también contiene un elemento absorbente 0 (distinto de la identidad 1 del monoide), tal que 0 a = 0 para cada a en el monoide A . El cuerpo con un elemento se define entonces como F ₁ = {0, 1} , el monoide multiplicativo del cuerpo con dos elementos, que es inicial en la categoría de monoides multiplicativos. Un ideal de monoide en un monoide A es un subconjunto I que es multiplicativamente cerrado, contiene 0, y tal que IA = { ra  : r ∈ I , a ∈ A } = I . Tal ideal es primo si A ∖ I es multiplicativamente cerrado y contiene 1.

Para los monoides A y B , un homomorfismo de monoide es una función f  : A → B tal que

• ${\displaystyle f(0)=0;}$
• ${\displaystyle f(1)=1,}$y
• ${\displaystyle f(ab)=f(a)f(b)}$para cada uno y en${\estilo de visualización a}$${\estilo de visualización b}$${\estilo de visualización A.}$

El espectro de un monoide A , denotado Spec A , es el conjunto de ideales primos de A . Al espectro de un monoide se le puede dar una topología de Zariski , definiendo conjuntos abiertos básicos

${\displaystyle U_{h}=\{{\mathfrak {p}}\in {\text{Espec}}A:h\notin {\mathfrak {p}}\},}$

para cada h en A . Un espacio monoidal es un espacio topológico junto con un haz de monoides multiplicativos llamado haz de estructura . Un esquema monoide afín es un espacio monoidal que es isomorfo al espectro de un monoide, y un esquema monoide es un haz de monoides que tiene una cubierta abierta por esquemas monoides afines.

Los esquemas monoides se pueden convertir en esquemas de teoría de anillos por medio de un funtor de extensión de base – ⊗ _{F 1} Z que envía el monoide A al módulo Z (es decir, anillo) Z [ A ] / ⟨0 _A ⟩ , y un homomorfismo de monoide f  : A → B se extiende a un homomorfismo de anillo f _Z  : A ⊗ _{F 1} Z → B ⊗ _{F 1} Z que es lineal como un homomorfismo de módulo Z. La extensión de base de un esquema monoide afín se define mediante la fórmula

${\displaystyle \operatorname {Espec} (A)\times _{\operatorname {Espec} (\mathbf {F} _{1})}\operatorname {Espec} (\mathbf {Z} )=\operatorname {Espec} {\big (}A\otimes _{\mathbf {F} _{1}}\mathbf {Z} {\big )},}$

que a su vez define la extensión base de un esquema monoide general.

Esta construcción logra muchas de las propiedades deseadas de la geometría F ₁ : Spec F ₁ consiste en un solo punto, por lo que se comporta de manera similar al espectro de un campo en geometría convencional, y la categoría de esquemas monoides afines es dual a la categoría de monoides multiplicativos, reflejando la dualidad de esquemas afines y anillos conmutativos. Además, esta teoría satisface las propiedades combinatorias esperadas de F ₁ mencionadas en secciones anteriores; por ejemplo, el espacio proyectivo sobre F ₁ de dimensión n como un esquema monoide es idéntico a un apartamento de espacio proyectivo sobre F _q de dimensión n cuando se describe como un edificio.

Sin embargo, los esquemas monoides no cumplen todas las propiedades esperadas de una teoría de F ₁ -geometría, ya que las únicas variedades que tienen análogos de esquemas monoides son variedades tóricas . ^[26] Más precisamente, si X es un esquema monoide cuya extensión base es un esquema plano , separado y conexo de tipo finito , entonces la extensión base de X es una variedad tórica. Otras nociones de F ₁ -geometría, como la de Connes-Consani, ^[27] se basan en este modelo para describir F ₁ -variedades que no son tóricas.

Se pueden definir las extensiones de campo del campo con un elemento como el grupo de raíces de la unidad , o más precisamente (con una estructura geométrica) como el esquema de grupo de raíces de la unidad . Esto es no naturalmente isomorfo al grupo cíclico de orden n , el isomorfismo depende de la elección de una raíz primitiva de la unidad : ^[28]

${\displaystyle \mathbf {F} _{1^{n}}=\mu _{n}.}$

Así, un espacio vectorial de dimensión d sobre F _{1 ⁿ} es un conjunto finito de orden dn sobre el que las raíces de la unidad actúan libremente, junto con un punto base.

Desde este punto de vista el cuerpo finito F _q es un álgebra sobre F _{1 ⁿ} , de dimensión d = ( q − 1)/ n para cualquier n que sea factor de q − 1 (por ejemplo n = q − 1 o n = 1 ). Esto corresponde a que el grupo de unidades de un cuerpo finito F _q (que son los q − 1 elementos no nulos) es un grupo cíclico de orden q − 1 , sobre el que actúa libremente (elevándolo a una potencia) cualquier grupo cíclico de orden que divida a q − 1 , y el elemento cero del cuerpo es el punto base.

De manera similar, los números reales R son un álgebra sobre F _{1 ²} , de dimensión infinita, ya que los números reales contienen ±1, pero ninguna otra raíz de la unidad, y los números complejos C son un álgebra sobre F _{1 ⁿ} para todo n , nuevamente de dimensión infinita, ya que los números complejos tienen todas raíces de la unidad.

Desde este punto de vista, cualquier fenómeno que sólo depende de un campo que tiene raíces de unidad puede ser visto como proveniente de F ₁ – por ejemplo, la transformada de Fourier discreta (de valor complejo) y la transformada de teoría de números relacionada ( Z / n de valor Z ).

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• Hallazgos de la semana de John Baez en Física Matemática: Semana 259
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• Mapeo de F1-land: Una visión general de las geometrías sobre el terreno con un elemento, Javier López Peña, Oliver Lorscheid
• Matemáticas divertidas, Lieven le Bruyn, Koen Thas .
• Conferencia de Vanderbilt sobre geometría no conmutativa y geometría sobre el campo con un elemento Archivado el 12 de diciembre de 2013 en Wayback Machine . (Programa Archivado el 15 de febrero de 2012 en Wayback Machine )
• NCG y F_un, por Alain Connes y K. Consani: resumen de las charlas y diapositivas