variedad Schubert

En geometría algebraica , una variedad de Schubert es una cierta subvariedad de una variedad de Grassmann .${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k}(V)}$de${\displaystyle k}$subespacios -dimensionales de un espacio vectorial${\displaystyle V}$, generalmente con puntos singulares . Al igual que el Grassmanniano, es una especie de espacio de módulos , cuyos elementos satisfacen condiciones que dan cotas inferiores a las dimensiones de las intersecciones de sus elementos. ${\displaystyle w\subset V}$, con los elementos de una bandera completa especificada . Aquí${\displaystyle V}$puede ser un espacio vectorial sobre un campo arbitrario , pero lo más común es que se tome como los números reales o complejos .

Un ejemplo típico es el conjunto${\displaystyle X}$de${\displaystyle 2}$subespacios -dimensionales${\displaystyle w\subset V}$de un espacio de 4 dimensiones${\displaystyle V}$que intersecan un subespacio bidimensional fijo (de referencia) ${\displaystyle V_{2}}$de manera no trivial.

${\displaystyle X\ =\ \{w\subset V\mid \dim(w)=2,\,\dim(w\cap V_{2})\geq 1\}.}$

Sobre el campo de los números reales , esto se puede representar en el espacio xyz habitual de la siguiente manera. Reemplazando los subespacios con sus espacios proyectivos correspondientes e intersectando con un parche de coordenadas afines de${\displaystyle \mathbb {P} (V)}$, obtenemos un subconjunto abierto X ° ⊂ X . Este es isomorfo al conjunto de todas las rectas L (no necesariamente que pasan por el origen) que intersecan el eje x . Cada una de estas rectas L corresponde a un punto de X °, y mover continuamente L en el espacio (manteniendo contacto con el eje x ) corresponde a una curva en X °. Dado que hay tres grados de libertad en el movimiento de L (mover el punto en el eje x , rotar e inclinar), X es una variedad algebraica real tridimensional . Sin embargo, cuando L es igual al eje x , puede rotarse o inclinarse alrededor de cualquier punto del eje, y este exceso de movimientos posibles hace que L sea un punto singular de X .

De manera más general, una variedad de Schubert en${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k}(V)}$ se define especificando la dimensión mínima de intersección de un${\displaystyle k}$subespacio de dimensión${\displaystyle w\subset V}$con cada uno de los espacios en una bandera de referencia completa fija${\displaystyle V_{1}\subset V_{2}\subset \cdots \subset V_{n}=V}$, dónde${\displaystyle \dim V_{j}=j}$(En el ejemplo anterior, esto significaría requerir ciertas intersecciones de la línea L con el eje x y el plano xy ).

En un sentido aún más general, dado un grupo algebraico semisimple${\displaystyle G}$con un subgrupo de Borel${\displaystyle B}$y un subgrupo parabólico estándar${\displaystyle P}$, se sabe que el espacio homogéneo${\displaystyle G/P}$, que es un ejemplo de una variedad de bandera , consta de un número finito de${\displaystyle B}$-órbitas, que pueden ser parametrizadas por ciertos elementos${\displaystyle w\in W}$del grupo Weyl${\displaystyle W}$. El cierre del${\displaystyle B}$-órbita asociada a un elemento${\displaystyle w\in W}$se denota${\displaystyle X_{w}}$y se denomina variedad Schubert en${\displaystyle G/P}$. El caso clásico corresponde a${\displaystyle G=SL_{n}}$, con${\displaystyle P=P_{k}}$, el${\displaystyle k}$subgrupo parabólico máximo de${\displaystyle SL_{n}}$, de modo que${\displaystyle G/P=\mathbf {Gr} _ {k}(\mathbf {C} ^{n})}$es el grassmanniano de${\displaystyle k}$-aviones en${\displaystyle \mathbf {C} ^{n}}$.

Las variedades de Schubert forman una de las clases más importantes y mejor estudiadas de variedades algebraicas singulares . Una cierta medida de la singularidad de las variedades de Schubert viene dada por los polinomios de Kazhdan-Lusztig , que codifican su cohomología de intersección local de Goresky-MacPherson .

Las álgebras de funciones regulares en variedades de Schubert tienen una profunda importancia en la combinatoria algebraica y son ejemplos de álgebras con una ley de enderezamiento . La (co)homología de la Grassmanniana, y más generalmente, de variedades de banderas más generales, tiene una base que consiste en las clases de (co)homología de variedades de Schubert, o ciclos de Schubert . El estudio de la teoría de la intersección en la Grassmanniana fue iniciado por Hermann Schubert y continuado por Zeuthen en el siglo XIX bajo el título de geometría enumerativa . Esta área fue considerada por David Hilbert lo suficientemente importante como para incluirla como el decimoquinto de sus célebres 23 problemas . El estudio continuó en el siglo XX como parte del desarrollo general de la topología algebraica y la teoría de la representación , pero se aceleró en la década de 1990 a partir del trabajo de William Fulton sobre los lugares de degeneración y los polinomios de Schubert , dando seguimiento a investigaciones anteriores de Bernstein , Gelfand , Gelfand y Demazure en teoría de la representación en la década de 1970, Lascoux y Schützenberger en combinatoria en la década de 1980, y Fulton y MacPherson en teoría de la intersección de variedades algebraicas singulares, también en la década de 1980.

• cálculo de Schubert
• descomposición de Bruhat
• Resolución de Bott-Samelson
• polinomio de Schubert

• Griffiths, PA ; Harris, JE (1994). Principios de geometría algebraica . Edición de Wiley Classics Library. Wiley-Interscience. doi : 10.1002/9781118032527 . ISBN 0-471-05059-8.
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• H. Schubert , Lösung des Charakteristiken-Problems für lineare Räume beliebiger Dimension Mitt. Matemáticas. Gesellschaft Hamburgo, 1 (1889) págs.  134-155
• Fulton, William (1997). Young Tableaux. With Applications to Representation Theory and Geometry, Capts. 5 and 9.4 . London Mathematical Society Student Texts. Vol.  35. Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press. doi : 10.1017/CBO9780511626241 . ISBN 9780521567244.
• Fulton, William (1998). Teoría de la intersección . Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-98549-7. MR 1644323 .