Combinatoria algebraica

La combinatoria algebraica es un área de las matemáticas que emplea métodos del álgebra abstracta , en particular la teoría de grupos y la teoría de la representación , en diversos contextos combinatorios y, a la inversa, aplica técnicas combinatorias a problemas de álgebra .

El término «combinatoria algebraica» se introdujo a finales de la década de 1970. ^{[ 1 ]} Durante la primera mitad de la década de 1990, los objetos combinatorios típicos de interés en la combinatoria algebraica admitían mucha simetría ( esquemas de asociación , grafos fuertemente regulares , conjuntos parcialmente ordenados con una acción de grupo ) o poseían una rica estructura algebraica, frecuentemente de origen teórico de la representación ( funciones simétricas , tablas de Young ). Este período se refleja en el área 05E, Combinatoria algebraica , de la Clasificación de Materias Matemáticas de la AMS , introducida en 1991.

La combinatoria algebraica se ha concebido cada vez más como un área de las matemáticas donde la interacción entre métodos combinatorios y algebraicos es particularmente fuerte y significativa. Así, los temas combinatorios pueden ser de naturaleza enumerativa o involucrar matroides , politopos , conjuntos parcialmente ordenados o geometrías finitas . En el ámbito algebraico, además de la teoría de grupos y la teoría de la representación, se utilizan comúnmente la teoría de retículos y el álgebra conmutativa .

El anillo de funciones simétricas es un límite específico de los anillos de polinomios simétricos en n indeterminadas, cuando n tiende a infinito. Este anillo sirve como estructura universal en la que las relaciones entre polinomios simétricos pueden expresarse de forma independiente del número n de indeterminadas (pero sus elementos no son ni polinomios ni funciones). Entre otras cosas, este anillo desempeña un papel importante en la teoría de la representación de los grupos simétricos .

Un esquema de asociación es una colección de relaciones binarias que satisfacen ciertas condiciones de compatibilidad. Los esquemas de asociación proporcionan un enfoque unificado para muchos temas, por ejemplo, diseños combinatorios y teoría de la codificación . ^{[ 2 ] [ 3 ]} En álgebra, los esquemas de asociación generalizan los grupos , y la teoría de esquemas de asociación generaliza la teoría de caracteres de representaciones lineales de grupos. ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]}

Un grafo fuertemente regular se define de la siguiente manera. Sea G = ( V , E ) un grafo regular con v vértices y grado k . Se dice que G es fuertemente regular si también existen enteros λ y μ tales que:

• Cada dos vértices adyacentes tienen λ vecinos comunes.
• Cada dos vértices no adyacentes tienen μ vecinos comunes.

A veces se dice que un gráfico de este tipo es un srg( v , k , λ, μ).

Algunos autores excluyen los grafos que satisfacen la definición trivialmente, a saber, aquellos grafos que son la unión disjunta de uno o más grafos completos de igual tamaño , ^{[ 7 ] [ 8 ]} y sus complementos , los grafos de Turán .

Un cuadro de Young (pl.: cuadros ) es un objeto combinatorio útil en la teoría de la representación y el cálculo de Schubert . Proporciona una manera conveniente de describir las representaciones de grupo de los grupos lineales simétricos y generales , y de estudiar sus propiedades. Los cuadros de Young fueron introducidos por Alfred Young , matemático de la Universidad de Cambridge , en 1900. Posteriormente , Georg Frobenius los aplicó al estudio del grupo simétrico en 1903. Su teoría fue desarrollada posteriormente por muchos matemáticos, entre ellos Percy MacMahon , WVD Hodge , G. de B. Robinson , Gian-Carlo Rota , Alain Lascoux , Marcel-Paul Schützenberger y Richard P. Stanley .

Un matroide es una estructura que captura y generaliza la noción de independencia lineal en espacios vectoriales . Existen muchas formas equivalentes de definir un matroide, siendo las más importantes el uso de conjuntos independientes, bases, circuitos, conjuntos cerrados o planos, operadores de cierre y funciones de rango.

La teoría de matroides toma prestados muchos conceptos de la terminología del álgebra lineal y la teoría de grafos , principalmente porque es la abstracción de diversas nociones de importancia central en estos campos. Los matroides han encontrado aplicaciones en geometría, topología , optimización combinatoria , teoría de redes y teoría de códigos . ^{[ 9 ] [ 10 ]}

Una geometría finita es cualquier sistema geométrico que tiene solo un número finito de puntos . La conocida geometría euclidiana no es finita, porque una línea euclidiana contiene infinitos puntos. Una geometría basada en los gráficos mostrados en una pantalla de ordenador, donde los píxeles se consideran los puntos, sería una geometría finita. Si bien existen muchos sistemas que podrían denominarse geometrías finitas, la atención se centra principalmente en los espacios proyectivos y afines finitos debido a su regularidad y simplicidad. Otros tipos importantes de geometría finita son los planos de Möbius o inversos finitos y los planos de Laguerre , que son ejemplos de un tipo general llamado planos de Benz , y sus análogos de dimensiones superiores, como las geometrías inversos finitas superiores .

Las geometrías finitas pueden construirse mediante álgebra lineal , partiendo de espacios vectoriales sobre un cuerpo finito ; los planos afines y proyectivos así construidos se denominan geometrías de Galois . Las geometrías finitas también pueden definirse de forma puramente axiomática. Las geometrías finitas más comunes son las de Galois, puesto que cualquier espacio proyectivo finito de dimensión tres o superior es isomorfo a un espacio proyectivo sobre un cuerpo finito (es decir, la proyectividad de un espacio vectorial sobre un cuerpo finito). Sin embargo, la dimensión dos posee planos afines y proyectivos que no son isomorfos a las geometrías de Galois, concretamente los planos no desarguesianos . Resultados similares se aplican a otros tipos de geometrías finitas.

• Teoría algebraica de grafos
• Álgebra conmutativa combinatoria
• Combinatoria poliédrica
• Combinatoria algebraica (revista)
• Revista de Combinatoria Algebraica
• Conferencia Internacional sobre Series de Potencias Formales y Combinatoria Algebraica

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