Avión Benz

En matemáticas , un plano de Benz es un tipo de estructura geométrica bidimensional , que recibe su nombre del matemático alemán Walter Benz . El término se aplicó a un grupo de objetos que surgen de una axiomatización común de ciertas estructuras y se dividió en tres familias, que se introdujeron por separado: planos de Möbius , planos de Laguerre y planos de Minkowski . ^{[ 1 ] [ 2 ]}

Partiendo del plano euclidiano real y fusionando el conjunto de líneas con el conjunto de círculos para formar un conjunto de bloques, se obtiene una estructura de incidencia no homogénea: tres puntos distintos determinan un bloque, pero las líneas se distinguen como un conjunto de bloques que se intersecan mutuamente por pares en un punto sin ser tangentes (o sin puntos cuando son paralelas). Añadiendo al conjunto de puntos el nuevo punto${\displaystyle \infty }$Al definirse como situado en cada línea, cada bloque queda determinado por exactamente tres puntos, así como por la intersección de dos bloques cualesquiera siguiendo un patrón uniforme (intersecándose en dos puntos, tangentes o sin intersecarse). Esta geometría homogénea se denomina geometría inversiva clásica o plano de Möbius. La inhomogeneidad de la descripción (líneas, círculos, nuevo punto) puede considerarse irrelevante mediante un modelo tridimensional. Utilizando una proyección estereográfica , el plano de Möbius clásico puede considerarse isomorfo a la geometría de las secciones planas (círculos) en una esfera en el espacio euclidiano tridimensional.

De forma análoga al plano proyectivo (axiomático) , un plano de Möbius (axiomático) define una estructura de incidencia. Los planos de Möbius pueden construirse de manera similar sobre cuerpos distintos de los números reales.

Comenzando de nuevo desde${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{2}}$y tomando las curvas con ecuaciones${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}$(parábolas y líneas) como bloques, la siguiente homogeneización es efectiva: Agregar a la curva${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}$el nuevo punto${\displaystyle (\infty ,a)}$Por lo tanto, el conjunto de puntos es${\displaystyle (\mathbb {R} \cup {\infty })\times \mathbb {R} }$Esta geometría de parábolas se denomina plano de Laguerre clásico (originalmente fue concebida como la geometría de líneas y círculos orientados. Ambas geometrías son isomorfas).

En cuanto al plano de Möbius, existe un modelo tridimensional: la geometría de las secciones planas elípticas en un cilindro ortogonal (en${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$). Una abstracción conduce (de forma análoga al plano de Möbius) al plano axiomático de Laguerre.

A partir de${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$y fusionando las líneas${\displaystyle y=mx+d,m\neq 0}$con las hipérbolas${\displaystyle y={\tfrac {a}{xb}}+c,a\neq 0}$Para obtener el conjunto de bloques, la siguiente idea homogeneiza la estructura de incidencia: Añadir a cualquier línea el punto ${\displaystyle (\infty,\infty)}$y a cualquier hipérbola${\displaystyle y={\tfrac {a}{xb}}+c,a\neq 0}$los dos puntos${\displaystyle (b,\infty),(\infty,c)}$Por lo tanto, el conjunto de puntos es${\displaystyle (\mathbb {R} \cup \{\infty \})^{2}}$Esta geometría de las hipérbolas se denomina plano clásico de Minkowski.

De forma análoga a los planos clásicos de Möbius y Laguerre, existe un modelo tridimensional: el plano clásico de Minkowski es isomorfo a la geometría de las secciones planas de un hiperboloide de una hoja (cuádrica no degenerada de índice 2) en el espacio proyectivo tridimensional. De manera similar a los dos primeros casos, obtenemos el plano de Minkowski (axiomático).

Debido al papel esencial del círculo (considerado como la cónica no degenerada en un plano proyectivo ) y a la descripción plana de los modelos originales, los tres tipos de geometrías se subsumen en geometrías circulares planas o, en honor a Walter Benz, quien consideró estas estructuras geométricas desde un punto de vista común, planos de Benz.

• Geometría conforme
• Cuádrica
• Plano proyectivo
• transformaciones de Laguerre

• Francis Buekenhout (1981) "Les planes de Benz", Journal of Geometry 17(1):61 – 8.

• Plano de Benz de la Enciclopedia de Matemáticas
• Geometrías circulares planas de Erich Hartmann : una introducción a los planos de Moebius, Laguerre y Minkowski, de la Universidad Tecnológica de Darmstadt.