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Sistema axiomático

En matemáticas y lógica , un sistema axiomático o sistema de axiomas es un tipo estándar de estructura lógica deductiva, utilizada también en informática teórica . Consiste en u...

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En matemáticas y lógica , un sistema axiomático o sistema de axiomas es un tipo estándar de estructura lógica deductiva, utilizada también en informática teórica . Consiste en un conjunto de enunciados formales, conocidos como axiomas , que se emplean para la deducción lógica de otros enunciados. En matemáticas, estas consecuencias lógicas de los axiomas se denominan lemas o teoremas . Una teoría matemática es una expresión que se utiliza para referirse a un sistema axiomático y a todos sus teoremas derivados.

Una demostración dentro de un sistema axiomático es una secuencia de pasos deductivos que establece una nueva proposición como consecuencia de los axiomas. El sistema de axiomas en sí mismo es, intencionalmente, una construcción sintáctica: cuando los axiomas se expresan en lenguaje natural , lo cual es habitual en libros y artículos técnicos, los sustantivos se utilizan como marcadores de posición . El uso de un enfoque axiomático supone un alejamiento del razonamiento informal, en el que los sustantivos pueden tener valores semánticos del mundo real, y un acercamiento a la demostración formal . En un contexto totalmente formal, debe utilizarse un sistema lógico como el cálculo de predicados en las demostraciones. La aplicación contemporánea del razonamiento axiomático formal difiere de los métodos tradicionales tanto en la exclusión de consideraciones semánticas como en la especificación del sistema lógico empleado.

El método axiomático en matemáticas

La reducción de un conjunto de proposiciones a una colección particular de axiomas es fundamental para la investigación matemática . Esta dependencia fue muy prominente y controvertida en las matemáticas de la primera mitad del siglo XX, un período al que pertenecen algunos hitos importantes del método axiomático. Los axiomas de probabilidad de Andrey Kolmogorov , de 1933, son un ejemplo destacado. [ 1 ] Este enfoque fue a veces criticado como «formalismo», porque eliminaba partes de las intuiciones operativas de los matemáticos y de quienes aplican las matemáticas. En un contexto histórico, este supuesto formalismo se discute ahora como deductivismo , un enfoque filosófico de las matemáticas que aún está muy extendido. [ 2 ]

Cronología de los sistemas axiomáticos hasta 1900

En el siglo XIX se desarrollaron importantes sistemas axiomáticos, entre los que se incluyen la geometría no euclidiana , la teoría abstracta de conjuntos de Georg Cantor y los axiomas revisionistas de Hilbert para la geometría euclidiana .

Situación a principios del siglo XX

David Hilbert «fue el primero en adoptar explícitamente el método axiomático como marco de investigación para el estudio de los fundamentos de las matemáticas ». [ 10 ] Para Hilbert, una cuestión fundamental era el estatus lógico de la teoría de conjuntos de Cantor . En su lista de 23 problemas sin resolver en matemáticas desde 1900, Hilbert colocó la hipótesis del continuo como el primer problema de la lista. [ 11 ]

El sexto problema de Hilbert solicitaba la "axiomatización de todas las ramas de la ciencia en las que las matemáticas desempeñan un papel importante". Tenía en mente, al menos, las principales áreas de la física matemática y la probabilidad. [ 12 ] [ 13 ] Sobre el efecto en la ciencia, Giorgio Israel escribió:

Fundada por el matemático Felix Klein , la Escuela de Gotinga, bajo la influencia de David Hilbert, centró sus esfuerzos en la teoría de conjuntos, el análisis funcional, la mecánica cuántica y la lógica matemática. Para ello, adoptó como principio metodológico el método axiomático, que revolucionaría la ciencia del siglo XX, desde la teoría de probabilidades hasta la física teórica. [ 14 ]

Israel también comenta sobre la resistencia cultural, al menos en Francia e Italia, a este "modelo alemán" y su alcance internacional. [ 14 ] El Congreso Internacional de Matemáticos inicial había escuchado las opiniones de Henri Poincaré de Francia sobre física matemática; la lista de Hilbert fue una presentación para el segundo Congreso. [ 15 ] La escuela italiana de geometría algebraica adoptó una actitud diferente hacia el trabajo axiomático en la construcción de teorías y la pedagogía. [ 16 ]

Cronología de los sistemas axiomáticos desde 1901

En el período previo a 1950, gran parte de las matemáticas puras adquirieron fundamentos axiomáticos ampliamente aceptados. En la teoría axiomática de conjuntos coexistían múltiples sistemas . Las matemáticas comenzaron a escribirse con un estilo más conciso y menos discursivo, aunque aún informal.

Por otro lado, el enfoque asociado con Hilbert de considerar el método axiomático como fundamental fue objeto de críticas. Parte de la crítica de LEJ Brouwer al programa completo de Hilbert resultó en una axiomatización de la lógica proposicional intuicionista por Arend Heyting . [ 17 ] Esto permitió reconciliar el constructivismo en matemáticas con el "deductivismo", mediante un intercambio de cálculo lógico, bajo el título de la interpretación de Brouwer-Heyting-Kolmogorov .

Situación a mediados del siglo XX

Tres características destacadas de las matemáticas en 1950 fueron:

Axiomática a la Bourbaki

Los objetivos de Bourbaki eran un tratamiento amplio de las matemáticas que fuera: (a) axiomático, basado en una base lógica simplificada en la teoría de conjuntos; (b) en la tradición de Hilbert y la Escuela de Göttingen, aunque excluyendo las necesidades de la física y la computación; (c) una recepción francesa de los desarrollos actuales. El trabajo inicial se llevó a cabo como una enérgica reacción de jóvenes turcos contra el Cours d'analyse mathématique , un texto estándar sobre análisis clásico de principios del siglo XX, de Édouard Goursat , y a favor del texto Moderne Algebra de principios de la década de 1930 sobre álgebra abstracta , de Bartel Leendert van der Waerden . [ 35 ]

Un artículo seudónimo de 1950, en realidad obra de Jean Dieudonné , explicaba la actitud de Bourbaki hacia el método axiomático. [ 36 ] [ 37 ] Se afirma que la principal ventaja de trabajar axiomáticamente reside en la «elaboración» de «formas» o estructuras matemáticas ; esto tiene prioridad sobre el trabajo fundamental y la clarificación de la inferencia . Lo que Dieudonné escribió era propio de su época, como una desviación de los enfoques de Hilbert, y aún no una llegada a la estructura en el sentido implícito por los morfismos de la teoría de categorías . [ 37 ]

Cronología de las variedades abstractas

Para exponer su demostración de la hipótesis de Riemann para curvas sobre cuerpos finitos , Weil utilizó el jacobiano de una curva y algunos resultados de la teoría de la intersección . Dado que trabajaba sobre un cuerpo de característica p en lugar de los números complejos , la aplicación de los resultados clásicos requirió demostraciones puramente algebraicas. Además, empleó una construcción del jacobiano como una "variedad abstracta": un objeto matemático intrínseco, en lugar de una variedad algebraica proyectiva que se encuentra en un espacio proyectivo complejo .

Una generación más tarde, con la publicación del libro de texto Geometría algebraica de Robin Hartshorne , la "variedad abstracta" obtuvo una definición estándar dentro de la teoría de esquemas . [ 38 ]

QFT axiomático

Los axiomas plausibles para la teoría cuántica de campos (TQC), los axiomas de Wightman , fueron introducidos por Arthur Wightman . La necesidad de ejemplos no triviales para estos axiomas condujo a la teoría cuántica de campos constructiva , iniciada por el trabajo de Arthur Jaffe y Oscar Lanford , en tesis doctorales dirigidas por Wightman a mediados de la década de 1960. [ 52 ]

Discusión sobre sistemas axiomáticos

En matemáticas , la axiomatización es el proceso de partir de un conjunto de conocimientos y trabajar hacia atrás para llegar a sus axiomas. Consiste en la formulación de un sistema de enunciados (es decir, axiomas ) que relacionan una serie de términos primitivos, de modo que se pueda derivar deductivamente un conjunto coherente de proposiciones a partir de estos enunciados. Posteriormente, la demostración de cualquier proposición debería ser, en principio, rastreable hasta estos axiomas. La axiomatización generalmente implica decisiones, y una vez que una teoría es axiomática, puede ser posible cambiar el conjunto de axiomas sin afectar los resultados matemáticos implícitos.

Axiomas y postulados

En la lógica de la Antigua Grecia , se reconocía un contraste entre axiomas y postulados (siendo «postulado», sin embargo, un término inglés derivado del latín medieval ). Este contraste reflejaba, aunque no de forma consistente, que los axiomas se referían a nociones primitivas que debían ser de conocimiento común ; y los postulados, que eran «peticiones» o «exigencias» a efectos argumentativos . La postura de Aristóteles respecto a los postulados era minimalista . [ 53 ]

Desde la época de la obra de Boole en la década de 1840, en la tradición del álgebra de la lógica , la lógica misma se desarrolló a partir únicamente de "postulados". La visión minimalista se interpretó, a finales del siglo XIX, como una investigación sobre la independencia de los axiomas. La elegancia matemática también fue un factor a considerar. [ 54 ] Friedrich Schur criticó la falta de independencia de los axiomas de Hilbert para la geometría, presentados en Grundlagen der Geometrie . [ 55 ]

Cronograma del análisis postulacional

El análisis postulacional , según Susan Stebbing , es lo que se utiliza «en la construcción de un sistema deductivo ». [ 56 ] Es un término que se aplica a la corrección o ajuste de sistemas axiomáticos. Se pueden añadir o eliminar axiomas del sistema; se pueden reforzar o debilitar. También es posible cambiar el cálculo lógico utilizado para la deducción.

Propiedades

Cuatro propiedades importantes de un sistema axiomático son la consistencia, la consistencia relativa, la completitud y la independencia. Se dice que un sistema axiomático es consistente si carece de contradicciones . Es decir, es imposible derivar tanto una proposición como su negación a partir de los axiomas del sistema. [ 72 ] La consistencia es un requisito fundamental para la mayoría de los sistemas axiomáticos, ya que la presencia de contradicciones permitiría demostrar cualquier proposición ( principio de explosión ). La consistencia relativa entra en juego cuando no podemos demostrar la consistencia de un sistema axiomático. Sin embargo, en algunos casos podemos demostrar que un sistema axiomático A es consistente si otro conjunto de axiomas B es consistente. [ 72 ]

En un sistema axiomático, un axioma se considera independiente si no puede probarse ni refutarse a partir de otros axiomas del sistema. Un sistema se considera independiente si cada uno de sus axiomas subyacentes es independiente. [ 72 ] A diferencia de la consistencia, en muchos casos la independencia no es un requisito necesario para que un sistema axiomático funcione correctamente, aunque suele buscarse para minimizar el número de axiomas del sistema.

Un sistema axiomático se denomina completo si, para cada enunciado, se puede derivar a partir de los axiomas del sistema tanto el enunciado mismo como su negación; es decir, cada enunciado puede probarse como verdadero o falso utilizando los axiomas. [ 72 ] [ 73 ] Sin embargo, cabe señalar que en algunos casos puede resultar indecidible si un enunciado puede probarse o no.

Axiomas y modelos

Un modelo para un sistema axiomático es una estructura formal que asigna significado a los términos indefinidos del sistema, de manera coherente con las relaciones definidas en él. Si un sistema axiomático tiene un modelo, se dice que los axiomas se han satisfecho . [ 74 ] La existencia de un modelo que satisface un sistema axiomático demuestra la consistencia del sistema. [ 75 ]

Los modelos también pueden utilizarse para demostrar la independencia de un axioma en el sistema. Al construir un modelo para un subsistema (sin un axioma específico), se demuestra que el axioma omitido es independiente si su corrección no se deriva necesariamente del subsistema. [ 74 ]

Se dice que dos modelos son isomorfos si se puede encontrar una correspondencia biunívoca entre sus elementos, de manera que se preserve su relación. [ 76 ] Un sistema axiomático para el cual cada modelo es isomorfo a otro se denomina categórico o categorial. Sin embargo, este término no debe confundirse con el tema de la teoría de categorías . La propiedad de categorialidad (categoricidad) garantiza la completitud de un sistema, pero lo contrario no es cierto: la completitud no garantiza la categorialidad (categoricidad) de un sistema, ya que dos modelos pueden diferir en propiedades que no pueden expresarse mediante la semántica del sistema.

Incompletitud

Si el sistema formal no está completo , no toda demostración puede remontarse a los axiomas del sistema al que pertenece. Por ejemplo, una afirmación de teoría de números podría expresarse en el lenguaje de la aritmética (es decir, el lenguaje de los axiomas de Peano) y podría presentarse una demostración que recurra a la topología o al análisis complejo . Podría no resultar evidente de inmediato si existe otra demostración que se derive exclusivamente de los axiomas de Peano.

Véase también

Referencias

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Lecturas adicionales

  • "Método axiomático" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
  • Eric W. Weisstein, Sistema Axiomático , de MathWorld—Un recurso web de Wolfram. Mathworld.wolfram.com y Answers.com
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