Historia de la lógica

El jainismo hizo su propia contribución singular a este desarrollo principal de la lógica al ocuparse también de las cuestiones epistemológicas básicas, a saber, las relativas a la naturaleza del conocimiento, cómo se deriva el conocimiento y de qué manera se puede decir que el conocimiento es fiable.

Los jainistas tienen doctrinas de relatividad que utilizan para la lógica y el razonamiento:

• Anekāntavāda – la teoría del pluralismo relativo o la multiplicidad;
• Syādvāda – la teoría de la predicación condicionada y;
• Nayavāda – La teoría de los puntos de vista parciales.

Estos conceptos de la filosofía jainista hicieron importantes contribuciones al pensamiento, especialmente en los ámbitos del escepticismo y la relatividad.^{[ 15 ]}

Sin embargo, a veces se dice que Dignāga (c. 480–540 d. C.) desarrolló un silogismo formal, ^{[ 16 ]} y fue a través de él y su sucesor, Dharmakirti , que la lógica budista alcanzó su apogeo; se discute si su análisis constituye realmente un sistema silogístico formal. En particular, su análisis se centró en la definición de una relación que justifica la inferencia, " vyapti ", también conocida como concomitancia invariable o permeación. ^{[ 17 ]} Con este fin, se desarrolló una doctrina conocida como "apoha" o diferenciación. ^{[ 18 ]} Esto implicaba lo que podría llamarse inclusión y exclusión de propiedades definitorias.

La famosa «rueda de la razón» ( Hetucakra ) de Dignāga es un método para indicar cuándo una cosa (como el humo) puede considerarse un signo invariable de otra cosa (como el fuego), pero la inferencia suele ser inductiva y se basa en observaciones pasadas. Matilal señala que el análisis de Dignāga se asemeja mucho al Método Conjunto de Acuerdo y Diferencia de John Stuart Mill, que es inductivo. ^{[ 19 ]}

El razonamiento válido se ha empleado en todos los periodos de la historia humana. Sin embargo, la lógica estudia los principios del razonamiento válido, la inferencia y la demostración. Es probable que la idea de demostrar una conclusión surgiera por primera vez en relación con la geometría , que originalmente significaba lo mismo que "medición de tierras". ^{[ 20 ]} Los antiguos egipcios descubrieron la geometría , incluyendo la fórmula para el volumen de una pirámide truncada . ^{[ 21 ]} La antigua Babilonia también era experta en matemáticas. El Manual de Diagnóstico Médico de Esagil-kin-apli en el siglo XI a. C. se basaba en un conjunto lógico de axiomas y supuestos, ^{[ 22 ]} mientras que los astrónomos babilonios en los siglos VIII y VII a. C. emplearon una lógica interna dentro de sus sistemas planetarios predictivos, una importante contribución a la filosofía de la ciencia . ^{[ 23 ]}

Si bien los antiguos egipcios descubrieron empíricamente algunas verdades de la geometría, el gran logro de los antiguos griegos fue reemplazar los métodos empíricos por la demostración práctica . Tanto Tales como Pitágoras , filósofos presocráticos, parecían conocer los métodos geométricos.

Fragmentos de las primeras demostraciones se conservan en las obras de Platón y Aristóteles, ^{[ 24 ]} y la idea de un sistema deductivo probablemente era conocida en la escuela pitagórica y la Academia Platónica . ^{[ 21 ]} Las demostraciones de Euclides de Alejandría son un paradigma de la geometría griega. Los tres principios básicos de la geometría son los siguientes:

• Ciertas proposiciones deben aceptarse como verdaderas sin demostración; este tipo de proposición se conoce como axioma de la geometría.
• Toda proposición que no sea un axioma de la geometría debe demostrarse que se deduce de los axiomas de la geometría; dicha demostración se conoce como prueba o "derivación" de la proposición.
• La demostración debe ser formal ; es decir, la derivación de la proposición debe ser independiente del tema particular en cuestión. ^{[ 21 ]}

Otra evidencia de que los primeros pensadores griegos se preocupaban por los principios del razonamiento se encuentra en el fragmento llamado dissoi logoi , probablemente escrito a principios del siglo IV a. C. Este forma parte de un prolongado debate sobre la verdad y la falsedad. ^{[ 25 ]} En el caso de las ciudades-estado griegas clásicas, el interés por la argumentación también fue estimulado por las actividades de los retóricos u oradores y los sofistas , quienes utilizaban argumentos para defender o atacar una tesis, tanto en contextos legales como políticos. ^{[ 26 ]}

Pitágoras

Antes del 520  a. C., en una de sus visitas a Egipto o Grecia, Pitágoras pudo haber conocido a Tales, aproximadamente  54 años mayor que él. ^{[ 33 ]} El estudio sistemático de la demostración parece haber comenzado con la escuela de Pitágoras (es decir, los pitagóricos) a finales del siglo VI a. C. ^{[ 21 ]} De hecho, los pitagóricos, creyendo que todo era número, son los primeros filósofos en enfatizar la forma en lugar de la materia . ^{[ 34 ]}

Heráclito y Parménides

Los escritos de Heráclito (c. 535 – c. 475 a. C.) fueron el primer lugar donde se le dio especial importancia a la palabra Logos en la filosofía griega antigua. ^{[ 35 ]} Heráclito sostenía que todo cambia y que todo era fuego y opuestos en conflicto, aparentemente unificados solo por este Logos . Es conocido por sus dichos oscuros.

Este logos siempre se mantiene, pero los humanos siempre demuestran ser incapaces de comprenderlo, tanto antes de oírlo como después de oírlo por primera vez. Pues aunque todas las cosas se ajustan a este logos , los humanos son como los inexpertos cuando experimentan palabras y acciones como las que expongo, distinguiendo cada una según su naturaleza y describiéndola como tal. Pero otras personas no se dan cuenta de lo que hacen estando despiertas, del mismo modo que olvidan lo que hacen mientras duermen.

— Diels-Kranz , 22B1

A diferencia de Heráclito, Parménides sostenía que todo es uno y nada cambia. Puede que fuera un pitagórico disidente, que no estaba de acuerdo en que el Uno (un número) produjera lo múltiple. ^{[ 36 ]} «X no es» siempre debe ser falso o carecer de sentido. Lo que existe no puede dejar de existir. Nuestras percepciones sensoriales, con su observación de la generación y la destrucción, están gravemente equivocadas. En lugar de la percepción sensorial, Parménides abogó por el logos como medio para alcanzar la Verdad. Se le ha llamado el descubridor de la lógica, ^{[ 37 ] [ 38 ]}

Esta visión, la de que Aquello Que No Existe existe, jamás podrá predominar. Debes apartar tu pensamiento de esta vía de búsqueda, y no permitir que la experiencia ordinaria, en toda su diversidad, te obligue a seguir este camino, es decir, el de dejar que el ojo, sin vista, el oído, lleno de sonidos, y la lengua, te guíen; sino que debes juzgar, mediante la Razón ( Logos ), la tan debatida prueba que yo expongo.

— B 7.1–8.2

Zenón de Elea , discípulo de Parménides, concibió un patrón argumentativo estándar propio del método de demostración conocido como reducción al absurdo . Esta técnica consiste en extraer una conclusión obviamente falsa (es decir, absurda) de una suposición, demostrando así su falsedad. ^{[ 39 ]} Por consiguiente, Zenón y su maestro son considerados los primeros en aplicar el arte de la lógica. ^{[ 40 ]} En el diálogo Parménides de Platón , Zenón afirma haber escrito un libro en defensa del monismo de Parménides, demostrando la absurda consecuencia de asumir la existencia de pluralidad. Zenón utilizó este método para desarrollar sus paradojas en sus argumentos contra el movimiento. Este razonamiento dialéctico se popularizó posteriormente. Los miembros de esta escuela eran llamados «dialécticos» (del griego «dialog»).

Platón

Que nadie que ignore la geometría entre aquí.

— Inscripción sobre la entrada a la Academia de Platón.

Ninguna de las obras que se conservan del gran filósofo del siglo IV, Platón (428-347 a. C.), incluye lógica formal, ^{[ 41 ]} pero sí incluyen importantes contribuciones al campo de la lógica filosófica . Platón plantea tres preguntas:

• ¿Qué es lo que propiamente puede considerarse verdadero o falso?
• ¿Cuál es la naturaleza de la conexión entre los supuestos de un argumento válido y su conclusión?
• ¿Cuál es la naturaleza de la definición?

La primera pregunta surge en el diálogo Teeteto , donde Platón identifica el pensamiento o la opinión con el habla o el discurso ( logos ). ^{[ 42 ]} La segunda pregunta es resultado de la teoría de las Ideas de Platón . Las Ideas no son cosas en el sentido ordinario, ni estrictamente ideas en la mente, sino que corresponden a lo que los filósofos posteriormente llamaron universales , es decir, una entidad abstracta común a cada conjunto de cosas que tienen el mismo nombre. Tanto en la República como en el Sofista , Platón sugiere que la conexión necesaria entre los supuestos de un argumento válido y su conclusión corresponde a una conexión necesaria entre "ideas". ^{[ 43 ]} La tercera pregunta se refiere a la definición . Muchos de los diálogos de Platón tratan sobre la búsqueda de una definición de algún concepto importante (justicia, verdad, el Bien), y es probable que Platón estuviera impresionado por la importancia de la definición en matemáticas. ^{[ 44 ]} Lo que subyace a toda definición es una Idea platónica, la naturaleza común presente en diferentes cosas particulares. Así, una definición refleja el objeto último de la comprensión y es el fundamento de toda inferencia válida. Esto tuvo una gran influencia en Aristóteles , discípulo de Platón , en particular en la noción aristotélica de la esencia de una cosa. ^{[ 45 ]}

La lógica de Aristóteles , y en particular su teoría del silogismo , ha tenido una enorme influencia en la historia de la lógica y el pensamiento occidental en general. ^{[ 46 ]} Aristóteles fue el primer lógico en intentar un análisis sistemático de la sintaxis lógica , del sustantivo (o término ) y del verbo. Fue el primer lógico formal , ya que demostró los principios del razonamiento empleando variables para mostrar la forma lógica subyacente de un argumento. ^{[ 47 ]} Buscó relaciones de dependencia que caracterizan la inferencia necesaria y distinguió la validez de estas relaciones de la verdad de las premisas. Fue el primero en discutir explícitamente los principios de no contradicción y del tercero excluido . ^{[ 48 ]}

El Organon

Sus obras lógicas, llamadas Organon , son el estudio formal de lógica más antiguo que ha llegado hasta nuestros días. Aunque es difícil determinar las fechas, el orden probable de escritura de las obras lógicas de Aristóteles es el siguiente:

• Las Categorías , un estudio de los diez tipos de términos primitivos.
• Los Temas (con un apéndice titulado Sobre las refutaciones sofísticas ), un análisis de la dialéctica.
• Sobre la interpretación , un análisis de proposiciones categóricas simples en términos simples, negación y signos de cantidad.
• Los Primeros Analíticos , un análisis formal de lo que constituye un silogismo (un argumento válido, según Aristóteles).
• Los Segundos Analíticos , un estudio de la demostración científica, que contiene las ideas maduras de Aristóteles sobre la lógica.

Las Categorías influyen en su obra la Metafísica , que a su vez tuvo una profunda influencia en el pensamiento occidental; de ahí proviene el nombre de la disciplina de la metafísica .

Aristóteles también desarrolló una teoría de la lógica no formal ( es decir, la teoría de las falacias ), que se presenta en Tópicos y refutaciones sofísticas . ^{[ 48 ]}

Sobre la interpretación contiene un tratamiento exhaustivo de las nociones de oposición y conversión; el capítulo 7 es el origen del cuadrado de oposición (o cuadrado lógico); el capítulo 9 contiene el comienzo de la lógica modal y el famoso argumento de la batalla naval .

En su obra " Los Analíticos Priores" se expone el silogismo , en el que se realizan tres avances importantes por primera vez en la historia: el uso de variables, un tratamiento puramente formal y el uso de un sistema axiomático.

La otra gran escuela de lógica griega es la de los estoicos . ^{[ 49 ]} La lógica estoica remonta sus raíces al filósofo Euclides de Megara , de finales del siglo V a. C. , discípulo de Sócrates y contemporáneo de Platón, algo mayor que él, probablemente siguiendo la tradición de Parménides y Zenón. Sus discípulos y sucesores fueron llamados « megarianos » o «erísticos», y más tarde «dialécticos». Los dos dialécticos más importantes de la escuela megariana fueron Diodoro Cronos y Filón , que estuvieron activos a finales del siglo IV a. C.

Los estoicos adoptaron la lógica megariana y la sistematizaron. El miembro más importante de la escuela fue Crisipo (c. 278 – c. 206 a. C.), su tercer líder, quien formalizó gran parte de la doctrina estoica. Se cree que escribió más de 700 obras, incluyendo al menos 300 sobre lógica, de las cuales casi ninguna ha sobrevivido. ^{[ 50 ] [ 51 ]} A diferencia de Aristóteles, no contamos con obras completas de los megarianos ni de los primeros estoicos, y debemos basarnos principalmente en relatos (a veces hostiles) de fuentes posteriores, entre las que destacan Diógenes Laercio , Sexto Empírico , Galeno , Aulo Gelio , Alejandro de Afrodisias y Cicerón . ^{[ 52 ]}

Tres contribuciones significativas de la escuela estoica fueron (i) su explicación de la modalidad , (ii) su teoría del condicional material y (iii) su explicación del significado y la verdad . ^{[ 53 ]}

• Modalidad . Según Aristóteles, los megarenses de su época afirmaban que no existía distinción entre potencialidad y actualidad . ^{[ 54 ]} Diodoro Cronos definió lo posible como aquello que es o será, lo imposible como aquello que no será verdadero y lo contingente como aquello que ya es o será falso. ^{[ 55 ]} Diodoro también es famoso por lo que se conoce como su argumento maestro , que establece que cada par de las siguientes 3 proposiciones contradice la tercera proposición:

• Todo lo que es pasado es verdadero y necesario.
• Lo imposible no se deduce de lo posible.
• Lo que ni es ni será es posible.

Diodoro utilizó la plausibilidad de las dos primeras premisas para demostrar que nada es posible si no es ni será verdadero. ^{[ 56 ]} Crisipo, por el contrario, negó la segunda premisa y afirmó que lo imposible podía derivarse de lo posible. ^{[ 57 ]}

• Enunciados condicionales . Los primeros lógicos en debatir sobre enunciados condicionales fueron Diodoro y su discípulo Filón de Megara. Sexto Empírico se refiere tres veces a un debate entre Diodoro y Filón. Filón consideraba que un enunciado condicional era verdadero a menos que tuviera un antecedente verdadero _{y un consecuente falso. Precisamente, sean T₀ y T₁} enunciados verdaderos, y sean F₀ y F₁ enunciados falsos ; entonces , según Filón , cada uno _{de los siguientes} enunciados condicionales es verdadero, porque no es cierto que el consecuente sea falso mientras que el antecedente sea verdadero (no es cierto que se afirme que un enunciado falso se derive de un enunciado verdadero):

• Si T ₀ , entonces T ₁
• Si F ₀ , entonces T ₀
• Si F ₀ , entonces F ₁

La siguiente proposición condicional no cumple este requisito y, por lo tanto, es una afirmación falsa según Filón:

• Si T ₀ , entonces F ₀

En efecto, Sexto dice: «Según [ Filón ] , hay tres maneras en que un condicional puede ser verdadero y una en que puede ser falso». ^{[ 58 ]} El criterio de verdad de Filón es lo que ahora se llamaría una definición veritativo-funcional de «si... entonces»; es la definición utilizada en la lógica moderna .

En cambio, Diodoro admitió la validez de los condicionales solo cuando la cláusula antecedente nunca podía conducir a una conclusión falsa. ^{[ 58 ] [ 59 ] [ 60 ]}

• Significado y verdad . La diferencia más importante y llamativa entre la lógica megarense-estoica y la lógica aristotélica es que la lógica megarense-estoica se ocupa de proposiciones, no de términos, y por lo tanto está más cerca de la lógica proposicional moderna . ^{[ 61 ]} Los estoicos distinguían entre enunciado ( phone ), que puede ser ruido, habla ( lexis ), que es articulada pero puede carecer de significado, y discurso ( logos ), que es un enunciado con significado. La parte más original de su teoría es la idea de que lo que se expresa mediante una oración, llamada lekton , es algo real; esto corresponde a lo que ahora se llama proposición . Sexto dice que, según los estoicos, tres cosas están vinculadas: lo que significa, lo que es significado y el objeto; por ejemplo, lo que significa es la palabra Dion , lo que es significado es lo que los griegos entienden pero los bárbaros no, y el objeto es el propio Dion. ^{[ 62 ]}

Las obras de Al-Kindi , Al-Farabi , Avicena , Al-Ghazali , Averroes y otros lógicos musulmanes se basaron en la lógica aristotélica y fueron importantes para comunicar las ideas del mundo antiguo al Occidente medieval. ^{[ 63 ]} Al-Farabi (Alfarabi) (873–950) fue un lógico aristotélico que trató temas como los contingentes futuros , el número y la relación de las categorías, la relación entre lógica y gramática , y las formas de inferencia no aristotélicas . ^{[ 64 ]} Al-Farabi también consideró las teorías de los silogismos condicionales y la inferencia analógica , que pertenecían a la tradición lógica estoica más que a la aristotélica. ^{[ 65 ]}

Maimónides (1138-1204) escribió un Tratado de lógica (en árabe: Maqala Fi-Sinat Al-Mantiq ), refiriéndose a Al-Farabi como el "segundo maestro", siendo el primero Aristóteles.

Ibn Sina (Avicena) (980–1037) fue el fundador de la lógica aviceniana , que reemplazó a la lógica aristotélica como el sistema lógico dominante en el mundo islámico, ^{[ 66 ]} y también tuvo una influencia importante en escritores medievales occidentales como Alberto Magno . ^{[ 67 ]} Avicena escribió sobre el silogismo hipotético ^{[ 68 ]} y sobre el cálculo proposicional , que eran parte de la tradición lógica estoica. ^{[ 69 ]} Desarrolló una teoría silogística original "temporalmente modalizada", que involucra lógica temporal y lógica modal . ^{[ 64 ]} También hizo uso de la lógica inductiva , como los métodos de concordancia, diferencia y variación concomitante que son críticos para el método científico . ^{[ 68 ]} Una de las ideas de Avicena tuvo una influencia particularmente importante en los lógicos occidentales como Guillermo de Ockham : la palabra de Avicena para significado o noción ( ma'na ) fue traducida por los lógicos escolásticos como el latín intentio ; en la lógica y la epistemología medievales , este es un signo en la mente que representa naturalmente una cosa. ^{[ 70 ]} Esto fue crucial para el desarrollo del conceptualismo de Ockham : un término universal ( por ejemplo, "hombre") no significa una cosa que existe en la realidad, sino más bien un signo en la mente ( intentio in intellectu ) que representa muchas cosas en la realidad; Ockham cita el comentario de Avicena sobre la Metafísica V en apoyo de esta visión. ^{[ 71 ]}

Fakhr al-Din al-Razi (n. 1149) criticó la « primera figura » de Aristóteles y formuló un sistema temprano de lógica inductiva, prefigurando el sistema de lógica inductiva desarrollado por John Stuart Mill (1806-1873). ^{[ 72 ]} La obra de Al-Razi fue vista por eruditos islámicos posteriores como un punto de inflexión para la lógica islámica, hacia una lógica postavicena . Esta fue elaborada posteriormente por su alumno Afdaladdîn al-Khûnajî (m. 1249), quien desarrolló una forma de lógica centrada en el tema de las concepciones y los asentimientos . En respuesta a esta tradición, Nasir al-Din al-Tusi (1201-1274) inició una tradición de lógica neoavicena que se mantuvo fiel a la obra de Avicena y existió como una alternativa a la escuela postavicena, más dominante, durante los siglos siguientes. ^{[ 73 ]}

La escuela iluminacionista fue fundada por Shahab al-Din Suhrawardi (1155–1191), quien desarrolló la idea de "necesidad decisiva", que se refiere a la reducción de todas las modalidades (necesidad, posibilidad , contingencia e imposibilidad ) al único modo de necesidad. ^{[ 74 ]} Ibn al-Nafis (1213–1288) escribió un libro sobre lógica aviceniana, que era un comentario de Al-Isharat ( Los signos ) y Al-Hidayah ( La guía ) de Avicena. ^{[ 75 ]} Ibn Taymiyyah (1263–1328), escribió el Ar-Radd 'ala al-Mantiqiyyin , donde argumentó en contra de la utilidad, aunque no de la validez, del silogismo ^{[ 76 ]} y a favor del razonamiento inductivo . ^{[ 72 ]} Ibn Taymiyyah también argumentó en contra de la certeza de los argumentos silogísticos y a favor de la analogía ; su argumento es que los conceptos basados ​​en la inducción no son en sí mismos ciertos, sino solo probables, y por lo tanto, un silogismo basado en tales conceptos no es más cierto que un argumento basado en la analogía. Afirmó además que la inducción misma se fundamenta en un proceso de analogía. Su modelo de razonamiento analógico se basaba en el de los argumentos jurídicos. ^{[ 77 ] [ 78 ]} Este modelo de analogía se ha utilizado en el trabajo reciente de John F. Sowa . ^{[ 78 ]}

El Sharh al-takmil fi'l-mantiq , escrito por Muhammad ibn Fayd Allah ibn Muhammad Amin al-Sharwani en el siglo XV, es la última obra árabe importante sobre lógica que se ha estudiado. ^{[ 79 ]} Sin embargo, se escribieron miles y miles de páginas sobre lógica entre los siglos XIV y XIX, aunque solo una fracción de los textos escritos durante este período ha sido estudiada por los historiadores; por lo tanto, se sabe poco sobre la obra original sobre lógica islámica producida durante este período posterior. ^{[ 73 ]}

La «lógica medieval» (también conocida como «lógica escolástica») generalmente se refiere a la forma de lógica aristotélica desarrollada en la Europa medieval aproximadamente entre 1200 y 1600. ^{[ 1 ]} Durante siglos después de la formulación de la lógica estoica, fue el sistema lógico dominante en el mundo clásico. Cuando se reanudó el estudio de la lógica tras la Edad Media , la principal fuente fue la obra del filósofo cristiano Boecio , quien conocía parte de la lógica de Aristóteles, pero casi nada de la obra de los estoicos. ^{[ 80 ]} Hasta el siglo XII, las únicas obras de Aristóteles disponibles en Occidente eran las Categorías , Sobre la interpretación y la traducción de Boecio de la Isagoge de Porfirio (un comentario sobre las Categorías). Estas obras se conocían como la «Lógica antigua» ( Logica Vetus o Ars Vetus ). Una obra importante en esta tradición fue la Logica Ingredientibus de Pedro Abelardo (1079-1142). Su influencia directa fue pequeña, ^{[ 81 ]} pero su influencia a través de discípulos como Juan de Salisbury fue grande, y su método de aplicar un análisis lógico riguroso a la teología dio forma a la manera en que se desarrolló la crítica teológica en el período que siguió. ^{[ 82 ]} La prueba del principio de explosión , también conocido como el principio de Pseudo-Escoto, la ley según la cual cualquier proposición puede probarse a partir de una contradicción (incluida su negación), fue dada por primera vez por el lógico francés del siglo XII Guillermo de Soissons .

A principios del siglo XIII, las obras restantes del Organon de Aristóteles , incluyendo los Primeros Analíticos , los Segundos Analíticos y las Refutaciones Sofísticas (conocidas colectivamente como la Lógica Nova o "Nueva Lógica"), se habían recuperado en Occidente. ^{[ 83 ]} Hasta entonces, el trabajo lógico consistía principalmente en paráfrasis o comentarios sobre la obra de Aristóteles. ^{[ 84 ]} El período comprendido entre mediados del siglo XIII y mediados del siglo XIV fue de importantes desarrollos en lógica, particularmente en tres áreas que eran originales, con escaso fundamento en la tradición aristotélica anterior. Estas fueron: ^{[ 85 ]}

• La teoría de la suposición . La teoría de la suposición trata sobre la forma en que los predicados ( p. ej., «hombre») abarcan un dominio de individuos ( p. ej., todos los hombres). ^{[ 86 ]} En la proposición «todo hombre es un animal», ¿el término «hombre» abarca o «supone» a los hombres que existen solo en el presente, o el alcance incluye a los hombres del pasado y del futuro? ¿Puede un término suponer a un individuo inexistente? Algunos medievalistas han argumentado que esta idea es precursora de la lógica moderna de primer orden . ^{[ 87 ]} «La teoría de la suposición, con las teorías asociadas de copulatio (capacidad de signo de los términos adjetivales), ampliatio (expansión del dominio referencial) y distributio , constituye uno de los logros más originales de la lógica medieval occidental». ^{[ 88 ]}
• La teoría de los sincategoremas . Los sincategoremas son términos necesarios para la lógica que, a diferencia de los términos categoremáticos , no tienen significado propio, sino que lo comparten con otras palabras. Ejemplos de sincategoremas son «y», «no», «todo», «si», etc.
• La teoría de las consecuencias . Una consecuencia es una proposición hipotética y condicional: dos proposiciones unidas por los términos «si... entonces». Por ejemplo, «si un hombre corre, entonces Dios existe» ( Si homo currit, Deus est ). ^{[ 89 ]} Una teoría de las consecuencias completamente desarrollada se presenta en el Libro III de la obra Summa Logicae de Guillermo de Ockham . Allí, Ockham distingue entre consecuencias «materiales» y «formales», que son aproximadamente equivalentes a la implicación material moderna y la implicación lógica , respectivamente. Jean Buridan y Alberto de Sajonia ofrecen explicaciones similares .

Las últimas grandes obras de esta tradición son la Lógica de Juan Poinsot (1589-1644, conocido como Juan de Santo Tomás ), las Disputas Metafísicas de Francisco Suárez (1548-1617) y la Lógica Demostrativa de Giovanni Girolamo Saccheri (1667-1733).

La lógica tradicional generalmente se refiere a la tradición de los libros de texto que comienza con Lógica, o el arte de pensar , de Antoine Arnauld y Pierre Nicole , más conocida como la Lógica de Port-Royal . ^{[ 90 ]} Publicada en 1662, fue la obra más influyente sobre lógica después de Aristóteles hasta el siglo XIX. ^{[ 91 ]} El libro presenta una doctrina vagamente cartesiana (que la proposición es una combinación de ideas en lugar de términos, por ejemplo) dentro de un marco que se deriva ampliamente de la lógica de términos aristotélica y medieval . Entre 1664 y 1700, hubo ocho ediciones, y el libro tuvo una influencia considerable después de eso. ^{[ 91 ]} La Lógica de Port-Royal introduce los conceptos de extensión e intensión . La explicación que Locke da de las proposiciones en el Ensayo es esencialmente la del Port-Royal: «Las proposiciones verbales, que son palabras, son los signos de nuestras ideas, unidos o separados en oraciones afirmativas o negativas. Así pues, la proposición consiste en unir o separar estos signos, según concuerden o discrepen las cosas que representan». ^{[ 92 ]}

Dudley Fenner ayudó a popularizar la lógica ramista , una reacción contra Aristóteles. Otra obra influyente fue el Novum Organum de Francis Bacon , publicado en 1620. El título se traduce como "nuevo instrumento". Esta es una referencia a la obra de Aristóteles conocida como el Organon . En esta obra, Bacon rechaza el método silogístico de Aristóteles en favor de un procedimiento alternativo "que mediante un trabajo lento y fiel reúne información de las cosas y la lleva a la comprensión". ^{[ 93 ]} Este método se conoce como razonamiento inductivo , un método que parte de la observación empírica y procede a axiomas o proposiciones inferiores; a partir de estos axiomas inferiores, se pueden inducir otros más generales. Por ejemplo, para encontrar la causa de un fenómeno como el calor, se deben construir tres listas:

• La lista de presencia: una lista de todas las situaciones en las que se detecta calor.
• La lista de ausencias: una lista de todas las situaciones que son similares a al menos una de las de la lista de presencias, excepto por la falta de calor.
• La lista de variabilidad: una lista de todas las situaciones en las que la temperatura puede variar.

Entonces, la forma, naturaleza (o causa) del calor puede definirse como aquello que es común a cada situación de la lista de presencia, y que falta en cada situación de la lista de ausencia, y que varía en grado en cada situación de la lista de variabilidad.

Otras obras dentro de la tradición de los libros de texto incluyen Logick: Or, the Right Use of Reason (1725) de Isaac Watts , Logic (1826) de Richard Whately y A System of Logic (1843) de John Stuart Mill . Si bien esta última fue una de las últimas grandes obras de la tradición, la visión de Mill de que los fundamentos de la lógica residen en la introspección ^{[ 94 ]} influyó en la idea de que la lógica se comprende mejor como una rama de la psicología, una visión que dominó los siguientes cincuenta años de su desarrollo, especialmente en Alemania. ^{[ 95 ]}

GWF Hegel indicó la importancia de la lógica para su sistema filosófico cuando condensó su extensa Ciencia de la lógica en una obra más breve publicada en 1817 como el primer volumen de su Enciclopedia de las ciencias filosóficas. La Lógica "abreviada" o "enciclopedia" , como se la conoce comúnmente, presenta una serie de transiciones que conducen desde las categorías más vacías y abstractas —Hegel comienza con el "Ser puro" y la "Nada pura"— hasta el " Absoluto ", la categoría que contiene y resuelve todas las categorías que la precedieron. A pesar del título, la Lógica de Hegel no es realmente una contribución a la ciencia de la inferencia válida. En lugar de derivar conclusiones sobre conceptos mediante inferencia válida a partir de premisas, Hegel busca demostrar que pensar en un concepto obliga a pensar en otro (uno no puede, argumenta, poseer el concepto de "Cualidad" sin el concepto de "Cantidad"); Esta compulsión, supuestamente, no es una cuestión de psicología individual, ya que surge casi orgánicamente del contenido de los conceptos mismos. Su propósito es mostrar la estructura racional de lo «Absoluto», e incluso de la racionalidad misma. El método mediante el cual el pensamiento se dirige de un concepto a su contrario, y luego a otros conceptos, se conoce como la dialéctica hegeliana .

Aunque la Lógica de Hegel ha tenido poca repercusión en los estudios lógicos convencionales, su influencia se puede apreciar en otros ámbitos:

• Geschichte der Logik im Abendland (1855-1867) de Carl von Prantl . ^{[ 96 ]}
• La obra de los idealistas británicos , como por ejemplo los Principios de lógica de F.H. Bradley (1883).
• Los estudios económicos, políticos y filosóficos de Karl Marx y de las diversas escuelas del marxismo .

Entre la obra de Mill y Frege transcurrió medio siglo durante el cual la lógica fue ampliamente tratada como una ciencia descriptiva, un estudio empírico de la estructura del razonamiento y, por lo tanto, esencialmente como una rama de la psicología . ^{[ 97 ]} El psicólogo alemán Wilhelm Wundt , por ejemplo, discutió la derivación de «lo lógico a partir de las leyes psicológicas del pensamiento», enfatizando que «el pensamiento psicológico es siempre la forma más completa de pensamiento». ^{[ 98 ]} Esta visión estaba muy extendida entre los filósofos alemanes de la época:

• Theodor Lipps describió la lógica como "una disciplina específica de la psicología". ^{[ 99 ]}
• Christoph von Sigwart entendió la necesidad lógica como fundamentada en la compulsión del individuo a pensar de cierta manera. ^{[ 100 ]}
• Benno Erdmann argumentó que "las leyes lógicas solo son válidas dentro de los límites de nuestro pensamiento". ^{[ 101 ]}

Tal era la visión dominante de la lógica en los años posteriores a la obra de Mill. ^{[ 102 ]} Este enfoque psicológico de la lógica fue rechazado por Gottlob Frege . También fue objeto de una crítica extensa y demoledora por parte de Edmund Husserl en el primer volumen de sus Investigaciones lógicas (1900), un ataque que ha sido descrito como «abrumador». ^{[ 103 ]} Husserl argumentó con vehemencia que fundamentar la lógica en observaciones psicológicas implicaba que todas las verdades lógicas permanecían sin probar, y que el escepticismo y el relativismo eran consecuencias inevitables.

Tales críticas no erradicaron de inmediato lo que se denomina « psicologismo ». Por ejemplo, el filósofo estadounidense Josiah Royce , si bien reconoció la fuerza de la crítica de Husserl, siguió «incapaz de dudar» de que el progreso en psicología iría acompañado de progreso en lógica, y viceversa. ^{[ 104 ]}

La idea de que la inferencia pudiera representarse mediante un proceso puramente mecánico se encuentra ya en Raymond Llull , quien propuso un método (algo excéntrico) para extraer conclusiones mediante un sistema de anillos concéntricos. El trabajo de lógicos como los Calculadores de Oxford ^{[ 109 ]} condujo a un método que utilizaba letras en lugar de escribir cálculos lógicos ( calculates ) con palabras, un método empleado, por ejemplo, en la Lógica magna de Pablo de Venecia . Trescientos años después de Llull, el filósofo y lógico inglés Thomas Hobbes sugirió que toda la lógica y el razonamiento podían reducirse a las operaciones matemáticas de suma y resta. ^{[ 110 ]} La misma idea se encuentra en la obra de Leibniz , quien había leído tanto a Llull como a Hobbes, y que argumentó que la lógica puede representarse mediante un proceso combinatorio o cálculo. Pero, al igual que Llull y Hobbes, no logró desarrollar un sistema detallado o exhaustivo, y su trabajo sobre este tema no se publicó hasta mucho después de su muerte. Leibniz afirma que los lenguajes ordinarios están sujetos a "innumerables ambigüedades" y no son adecuados para un cálculo, cuya tarea es exponer los errores de inferencia que surgen de las formas y estructuras de las palabras; ^{[ 111 ]} por lo tanto, propuso identificar un alfabeto del pensamiento humano que comprendiera conceptos fundamentales que pudieran combinarse para expresar ideas complejas, ^{[ 112 ]} y crear un cálculo razonador que hiciera que todos los argumentos fueran "tan tangibles como los de los matemáticos, de modo que podamos encontrar nuestro error de un vistazo, y cuando haya disputas entre personas, podamos simplemente decir: Calculemos". ^{[ 113 ]}

Gergonne (1816) afirmó que el razonamiento no tiene por qué tratar sobre objetos sobre los que se tienen ideas perfectamente claras, ya que las operaciones algebraicas pueden llevarse a cabo sin tener ninguna idea del significado de los símbolos involucrados. ^{[ 114 ]} Bolzano anticipó una idea fundamental de la teoría de la demostración moderna cuando definió la consecuencia lógica o "deducibilidad" en términos de variables: ^{[ 115 ]}

Por lo tanto digo que las proposiciones${\displaystyle M}$,${\displaystyle N}$,${\displaystyle O}$... son deducibles de proposiciones${\displaystyle A}$,${\displaystyle B}$,${\displaystyle C}$,${\displaystyle D}$...con respecto a las partes variables${\displaystyle i}$,${\displaystyle j}$,..., si cada clase de ideas cuya sustitución por${\displaystyle i}$,${\displaystyle j}$... hace que todo${\displaystyle A}$,${\displaystyle B}$,${\displaystyle C}$,${\displaystyle D}$,... cierto, también hace que todo${\displaystyle M}$,${\displaystyle N}$,${\displaystyle O}$,... cierto. Ocasionalmente, puesto que es costumbre, diré que las proposiciones${\displaystyle M}$,${\displaystyle N}$,${\displaystyle O}$... siguen , o pueden inferirse o derivarse , de${\displaystyle A}$,${\displaystyle B}$,${\displaystyle C}$,${\displaystyle D}$... Proposiciones${\displaystyle A}$,${\displaystyle B}$,${\displaystyle C}$,${\displaystyle D}$... Llamaré a las instalaciones ...${\displaystyle M}$,${\displaystyle N}$,${\displaystyle O}$...las conclusiones.

Esto ahora se conoce como validez semántica .

La lógica moderna comienza con lo que se conoce como la "escuela algebraica", originada por Boole e incluyendo a Peirce , Jevons , Schröder y Venn . ^{[ 116 ]} Su objetivo era desarrollar un cálculo para formalizar el razonamiento en el área de clases, proposiciones y probabilidades. La escuela comienza con la obra seminal de Boole, Análisis matemático de la lógica, que apareció en 1847, aunque De Morgan (1847) es su precursor inmediato. ^{[ 117 ]} La idea fundamental del sistema de Boole es que las fórmulas algebraicas pueden usarse para expresar relaciones lógicas. Esta idea se le ocurrió a Boole en su adolescencia, mientras trabajaba como ujier en una escuela privada en Lincoln, Lincolnshire . ^{[ 118 ]} Por ejemplo, sean x e y clases, sea el símbolo = que indique que las clases tienen los mismos miembros, xy represente la clase que contiene todos y solo los miembros de x e y, y así sucesivamente. Boole llama a estos símbolos electivos , es decir, símbolos que seleccionan ciertos objetos para su consideración. ^{[ 119 ]} Una expresión en la que se utilizan símbolos electivos se llama función electiva , y una ecuación cuyos miembros son funciones electivas es una ecuación electiva . ^{[ 120 ]} La teoría de las funciones electivas y su "desarrollo" es esencialmente la idea moderna de funciones de verdad y su expresión en forma normal disyuntiva . ^{[ 119 ]}

El sistema de Boole admite dos interpretaciones: en lógica de clases y en lógica proposicional. Boole distinguió entre "proposiciones primarias", objeto de la teoría silogística, y "proposiciones secundarias", objeto de la lógica proposicional, y demostró cómo, bajo diferentes "interpretaciones", el mismo sistema algebraico podía representar ambas. Un ejemplo de proposición primaria es "Todos los habitantes son europeos o asiáticos". Un ejemplo de proposición secundaria es "O todos los habitantes son europeos o todos son asiáticos". ^{[ 121 ]} Estas se distinguen fácilmente en la lógica de predicados moderna, donde también es posible demostrar que la primera se deduce de la segunda, pero constituye una desventaja significativa que no exista una forma de representar esto en el sistema booleano. ^{[ 122 ]}

En su Lógica simbólica (1881), John Venn utilizó diagramas de áreas superpuestas para expresar relaciones booleanas entre clases o condiciones de verdad de proposiciones. En 1869, Jevons se dio cuenta de que los métodos de Boole podían mecanizarse y construyó una "máquina lógica" que mostró a la Royal Society al año siguiente. ^{[ 119 ]} En 1885, Allan Marquand propuso una versión eléctrica de la máquina que aún existe ( imagen en la Biblioteca Firestone ).

Los defectos del sistema de Boole (como el uso de la letra v para las proposiciones existenciales) fueron subsanados por sus seguidores. Jevons publicó Lógica pura, o la lógica de la cualidad aparte de la cantidad en 1864, donde sugirió un símbolo para significar la disyunción exclusiva , lo que permitió simplificar enormemente el sistema de Boole. ^{[ 123 ]} Schröder aprovechó esto provechosamente cuando dispuso los teoremas en columnas paralelas en sus Vorlesungen (1890–1905). Peirce (1880) mostró cómo todas las funciones electivas booleanas podían expresarse mediante el uso de una única operación binaria primitiva, " ni ... ni ... " e igualmente bien " ni ambos ... y ... ", ^{[ 124 ]} sin embargo, como muchas de las innovaciones de Peirce, esto permaneció desconocido o inadvertido hasta que Sheffer lo redescubrió en 1913. ^{[ 125 ]} El trabajo temprano de Boole también carece de la idea de la suma lógica que se origina en Peirce (1867), Schröder (1877) y Jevons (1890), ^{[ 126 ]} y el concepto de inclusión , sugerido por primera vez por Gergonne (1816) y claramente articulado por Peirce (1870).

El éxito del sistema algebraico de Boole sugirió que toda lógica debía ser capaz de representación algebraica, y hubo intentos de expresar una lógica de relaciones de tal forma, de los cuales el más ambicioso fue el monumental Vorlesungen über die Algebra der Logik ("Lecciones sobre el álgebra de la lógica", vol. iii, 1895) de Schröder, aunque la idea original fue nuevamente anticipada por Peirce. ^{[ 127 ]}

La aceptación inquebrantable de Boole de la lógica de Aristóteles es enfatizada por el historiador de la lógica John Corcoran en una introducción accesible a Leyes del pensamiento . ^{[ 128 ]} Corcoran también escribió una comparación punto por punto de Primeros analíticos y Leyes del pensamiento . ^{[ 129 ]} Según Corcoran, Boole aceptó y respaldó plenamente la lógica de Aristóteles. Los objetivos de Boole eran "ir por debajo, por encima y más allá" de la lógica de Aristóteles mediante 1) proporcionarle fundamentos matemáticos que involucran ecuaciones, 2) extender la clase de problemas que podía tratar —desde evaluar la validez hasta resolver ecuaciones— y 3) expandir el rango de aplicaciones que podía manejar —por ejemplo, desde proposiciones que tienen solo dos términos hasta aquellas que tienen arbitrariamente muchos.

Más concretamente, Boole coincidía con lo que decía Aristóteles ; sus «discrepancias», si es que pueden llamarse así, se refieren a lo que Aristóteles no decía. Primero, en el ámbito de los fundamentos, Boole redujo las cuatro formas proposicionales de la lógica aristotélica a fórmulas en forma de ecuaciones, una idea revolucionaria en sí misma. Segundo, en el ámbito de los problemas lógicos, la incorporación de la resolución de ecuaciones a la lógica —otra idea revolucionaria— implicaba su doctrina de que las reglas de inferencia de Aristóteles (los «silogismos perfectos») debían complementarse con reglas para la resolución de ecuaciones. Tercero, en el ámbito de las aplicaciones, el sistema de Boole podía manejar proposiciones y argumentos con múltiples términos, mientras que Aristóteles solo podía manejar proposiciones y argumentos sujeto-predicado de dos términos. Por ejemplo, el sistema de Aristóteles no podía deducir "Ningún cuadrilátero que sea un cuadrado es un rectángulo que sea un rombo" de "Ningún cuadrado que sea un cuadrilátero es un rombo que sea un rectángulo" o de "Ningún rombo que sea un rectángulo es un cuadrado que sea un cuadrilátero".

Después de Boole, los siguientes grandes avances fueron realizados por el matemático alemán Gottlob Frege . El objetivo de Frege era el programa del Logicismo , es decir, demostrar que la aritmética es idéntica a la lógica. ^{[ 130 ]} Frege fue mucho más allá que cualquiera de sus predecesores en su enfoque riguroso y formal de la lógica, y su cálculo o Begriffsschrift es importante. ^{[ 130 ]} Frege también intentó demostrar que el concepto de número puede definirse por medios puramente lógicos, de modo que (si estaba en lo cierto) la lógica incluye la aritmética y todas las ramas de las matemáticas que son reducibles a la aritmética. No fue el primer autor en sugerir esto. En su obra pionera Die Grundlagen der Arithmetik (Los fundamentos de la aritmética), secciones 15-17, reconoce los esfuerzos de Leibniz, J. S. Mill y Jevons, citando la afirmación de este último de que "el álgebra es una lógica altamente desarrollada, y el número no es más que discriminación lógica". ^{[ 131 ]}

La primera obra de Frege, el Begriffsschrift ("escritura de conceptos"), es un sistema rigurosamente axiomatizado de lógica proposicional, que se basa en solo dos conectores (negación y condicional), dos reglas de inferencia ( modus ponens y sustitución) y seis axiomas. Frege se refirió a la "completitud" de este sistema, pero no pudo demostrarla. ^{[ 132 ]} Sin embargo, la innovación más significativa fue su explicación del cuantificador en términos de funciones matemáticas. La lógica tradicional considera que la oración "César es un hombre" tiene fundamentalmente la misma forma que "todos los hombres son mortales". Las oraciones con un sujeto de nombre propio se consideraban de carácter universal, interpretables como "todo César es un hombre". ^{[ 133 ]} Desde el principio, Frege abandona los tradicionales "conceptos sujeto y predicado ", reemplazándolos por argumento y función respectivamente, que cree que "resistirán el paso del tiempo". Continúa diciendo que es "fácil ver cómo considerar un contenido como una función de un argumento conduce a la formación de conceptos. Además, la demostración de la conexión entre los significados de las palabras if, and, not, or, there is, some, all, etc., merece atención". ^{[ 134 ]} Frege argumentó que la expresión cuantificadora "all men" no tiene la misma forma lógica o semántica que "all men", y que la proposición universal "every A is B" es una proposición compleja que involucra dos funciones , a saber, ' – is A' y ' – is B', de modo que todo lo que satisface la primera, también satisface la segunda. En notación moderna, esto se expresaría como

${\displaystyle \forall \;x{\big (}A(x)\rightarrow B(x){\big )}}$

En inglés, "for all x, if Ax then Bx". Así, solo las proposiciones singulares tienen la forma sujeto-predicado, y son irreductiblemente singulares, es decir, no reducibles a una proposición general. Las proposiciones universales y particulares, por el contrario, no tienen en absoluto la forma simple sujeto-predicado. Si "todos los mamíferos" fuera el sujeto lógico de la oración "todos los mamíferos son terrestres", entonces para negar toda la oración tendríamos que negar el predicado para obtener "todos los mamíferos no son terrestres". Pero este no es el caso. ^{[ 135 ]} Este análisis funcional de las oraciones del lenguaje ordinario tuvo posteriormente un gran impacto en la filosofía y la lingüística .

Esto significa que en el cálculo de Frege, las proposiciones "primarias" de Boole pueden representarse de una manera diferente a las proposiciones "secundarias". "Todos los habitantes son hombres o mujeres" es

${\displaystyle \forall \;x{\Big (}I(x)\rightarrow {\big (}M(x)\lor W(x){\big )}{\Big )}}$

mientras que "Todos los habitantes son hombres o todos los habitantes son mujeres" es

${\displaystyle \forall \;x{\big (}I(x)\rightarrow M(x){\big )}\lor \forall \;x{\big (}I(x)\rightarrow W(x){\big )}}$

Como señaló Frege en una crítica del cálculo de Boole:

«La verdadera diferencia es que evito la división [booleana] en dos partes... y doy una presentación homogénea del conjunto. En Boole, las dos partes discurren paralelas, de modo que una es como la imagen especular de la otra, pero precisamente por eso no guarda ninguna relación orgánica con ella.» ^{[ 136 ]}

Además de proporcionar un sistema lógico unificado y completo, el cálculo de Frege también resolvió el antiguo problema de la generalidad múltiple . La ambigüedad de "toda chica besó a un chico" es difícil de expresar en la lógica tradicional, pero la lógica de Frege lo resuelve mediante el diferente alcance de los cuantificadores. Así,

${\displaystyle \forall \;x{\Big (}G(x)\rightarrow \exists \;y{\big (}B(y)\land K(x,y){\big )}{\Big )}}$

significa que a cada chica le corresponde algún chico (cualquiera sirve) al que la chica besó. Pero

${\displaystyle \exists \;x{\Big (}B(x)\land \forall \;y{\big (}G(y)\rightarrow K(y,x){\big )}{\Big )}}$

Esto significa que existe un chico en particular al que todas las chicas besaron. Sin este recurso, el proyecto del logicismo habría sido dudoso o imposible. Usándolo, Frege proporcionó una definición de la relación ancestral , de la relación de muchos a uno y de la inducción matemática . ^{[ 137 ]}

Este período se superpone con el trabajo de la llamada "escuela matemática", que incluía a Dedekind , Pasch , Peano , Hilbert , Zermelo , Huntington , Veblen y Heyting . Su objetivo era la axiomatización de ramas de las matemáticas como la geometría, la aritmética, el análisis y la teoría de conjuntos. El más notable fue el Programa de Hilbert , que buscaba fundamentar todas las matemáticas en un conjunto finito de axiomas, demostrando su consistencia por medios "finitistas" y proporcionando un procedimiento para determinar la verdad o falsedad de cualquier enunciado matemático. La axiomatización estándar de los números naturales recibe el nombre de axiomas de Peano . Peano mantuvo una clara distinción entre símbolos matemáticos y lógicos. Si bien desconocía el trabajo de Frege, recreó de forma independiente su aparato lógico basándose en el trabajo de Boole y Schröder. ^{[ 138 ]}

El proyecto logicista sufrió un revés casi fatal con el descubrimiento de una paradoja en 1901 por Bertrand Russell . Esto demostró que la ingenua teoría de conjuntos de Frege conducía a una contradicción. La teoría de Frege contenía el axioma de que para cualquier criterio formal, existe un conjunto de todos los objetos que cumplen dicho criterio. Russell demostró que un conjunto que contiene exactamente los conjuntos que no son miembros de sí mismo contradice su propia definición (si no es miembro de sí mismo, lo es, y si es miembro de sí mismo, no lo es). ^{[ 139 ]} Esta contradicción se conoce ahora como la paradoja de Russell . Ernst Zermelo propuso un método importante para resolver esta paradoja . ^{[ 140 ]} La teoría de conjuntos de Zermelo fue la primera teoría axiomática de conjuntos . Se desarrolló hasta convertirse en la ahora canónica teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF). La paradoja de Russell se expresa simbólicamente de la siguiente manera:

${\displaystyle {\text{Sea }}R=\{x\mid x\not \in x\}{\text{, entonces }}R\in R\iff R\not \in R}$

La monumental obra Principia Mathematica , un trabajo en tres volúmenes sobre los fundamentos de las matemáticas , escrito por Russell y Alfred North Whitehead y publicado entre 1910 y 1913, también incluyó un intento de resolver la paradoja, mediante un elaborado sistema de tipos : un conjunto de elementos es de un tipo diferente al de cada uno de sus elementos (un conjunto no es un elemento; un elemento no es un conjunto) y no se puede hablar del " conjunto de todos los conjuntos ". Principia fue un intento de derivar todas las verdades matemáticas a partir de un conjunto bien definido de axiomas y reglas de inferencia en lógica simbólica .

Los nombres de Gödel y Tarski dominan la década de 1930, ^{[ 141 ]} un período crucial en el desarrollo de la metamatemática : el estudio de las matemáticas utilizando métodos matemáticos para producir metateorías , o teorías matemáticas sobre otras teorías matemáticas. Las primeras investigaciones en metamatemática habían sido impulsadas por el programa de Hilbert. El trabajo en metamatemática culminó en el trabajo de Gödel, quien en 1929 demostró que una oración de primer orden dada es deducible si y solo si es lógicamente válida, es decir, es verdadera en cada estructura para su lenguaje. Esto se conoce como el teorema de completitud de Gödel . Un año después, demostró dos teoremas importantes, que mostraron que el programa de Hilbert era inalcanzable en su forma original. El primero es que ningún sistema consistente de axiomas cuyos teoremas puedan ser enumerados por un procedimiento efectivo como un algoritmo o un programa de computadora es capaz de probar todos los hechos sobre los números naturales . En cualquier sistema de este tipo, siempre habrá afirmaciones sobre los números naturales que sean verdaderas, pero que no se puedan demostrar dentro del sistema. En segundo lugar, si dicho sistema también es capaz de demostrar ciertos hechos básicos sobre los números naturales, entonces no puede demostrar la consistencia del propio sistema. Estos dos resultados se conocen como los teoremas de incompletitud de Gödel , o simplemente el teorema de Gödel . Más adelante en la década, Gödel desarrolló el concepto de constructibilidad conjuntista , como parte de su demostración de que el axioma de elección y la hipótesis del continuo son consistentes con la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel . En teoría de la demostración , Gerhard Gentzen desarrolló la deducción natural y el cálculo de secuentes . La primera intenta modelar el razonamiento lógico tal como ocurre «naturalmente» en la práctica y se aplica más fácilmente a la lógica intuicionista , mientras que el segundo se ideó para aclarar la derivación de pruebas lógicas en cualquier sistema formal. Desde la obra de Gentzen, la deducción natural y el cálculo de secuentes se han aplicado ampliamente en los campos de la teoría de la demostración, la lógica matemática y la informática. Gentzen también demostró teoremas de normalización y eliminación de cortes para la lógica intuicionista y clásica, que podían utilizarse para reducir las demostraciones lógicas a una forma normal. ^{[ 142 ]}

Alfred Tarski , discípulo de Łukasiewicz , es conocido principalmente por su definición de verdad y consecuencia lógica , y por el concepto semántico de satisfacción lógica . En 1933, publicó (en polaco) El concepto de verdad en lenguajes formalizados , en el que propuso su teoría semántica de la verdad : una oración como "la nieve es blanca" es verdadera si y solo si la nieve es blanca. La teoría de Tarski separó el metalenguaje , que formula la afirmación sobre la verdad, del lenguaje objeto, que contiene la oración cuya verdad se afirma, y ​​estableció una correspondencia (el esquema T ) entre las frases del lenguaje objeto y los elementos de una interpretación . El enfoque de Tarski sobre la difícil idea de explicar la verdad ha tenido una influencia duradera en la lógica y la filosofía, especialmente en el desarrollo de la teoría de modelos . ^{[ 143 ]} Tarski también produjo trabajos importantes sobre la metodología de los sistemas deductivos y sobre principios fundamentales como la completitud , la decidibilidad , la consistencia y la definibilidad . Según Anita Feferman, Tarski "cambió la faz de la lógica en el siglo XX". ^{[ 144 ]}

Alonzo Church y Alan Turing propusieron modelos formales de computabilidad, ofreciendo soluciones negativas independientes al problema de decisión de Hilbert en 1936 y 1937, respectivamente. Este problema planteaba la necesidad de un procedimiento que, dada cualquier proposición matemática formal, determinara algorítmicamente si dicha proposición es verdadera. Church y Turing demostraron que no existe tal procedimiento; el artículo de Turing introdujo el problema de la parada como un ejemplo clave de un problema matemático sin solución algorítmica.

El sistema de computación de Church evolucionó hasta convertirse en el cálculo lambda moderno , mientras que la máquina de Turing se convirtió en un modelo estándar para un dispositivo de computación de propósito general. Pronto se demostró que muchos otros modelos de computación propuestos eran equivalentes en potencia a los propuestos por Church y Turing. Estos resultados llevaron a la tesis de Church-Turing de que cualquier algoritmo determinista que pueda ser ejecutado por un humano puede ser ejecutado por una máquina de Turing. Church demostró resultados adicionales de indecidibilidad, mostrando que tanto la aritmética de Peano como la lógica de primer orden son indecidibles . El trabajo posterior de Emil Post y Stephen Cole Kleene en la década de 1940 extendió el alcance de la teoría de la computabilidad e introdujo el concepto de grados de insolubilidad .

Los resultados de las primeras décadas del siglo XX también tuvieron un impacto en la filosofía analítica y la lógica filosófica , particularmente a partir de la década de 1950, en temas como la lógica modal , la lógica temporal , la lógica deóntica y la lógica de la relevancia .

Después de la Segunda Guerra Mundial, la lógica matemática se ramificó en cuatro áreas de investigación interrelacionadas pero separadas: teoría de modelos , teoría de la demostración , teoría de la computabilidad y teoría de conjuntos . ^{[ 145 ]}

En la teoría de conjuntos, el método de forzamiento revolucionó el campo al proporcionar un método robusto para construir modelos y obtener resultados de independencia. Paul Cohen introdujo este método en 1963 para demostrar la independencia de la hipótesis del continuo y el axioma de elección de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel . ^{[ 146 ]} Su técnica, que fue simplificada y extendida poco después de su introducción, se ha aplicado desde entonces a muchos otros problemas en todas las áreas de la lógica matemática.

La teoría de la computabilidad tuvo sus raíces en el trabajo de Turing, Church, Kleene y Post en las décadas de 1930 y 1940. Se desarrolló en un estudio de la computabilidad abstracta, que se conoció como teoría de la recursión . ^{[ 147 ]} El método de prioridad , descubierto independientemente por Albert Muchnik y Richard Friedberg en la década de 1950, condujo a importantes avances en la comprensión de los grados de insolubilidad y estructuras relacionadas. La investigación en la teoría de la computabilidad de orden superior demostró sus conexiones con la teoría de conjuntos. Los campos del análisis constructivo y el análisis computable se desarrollaron para estudiar el contenido efectivo de los teoremas matemáticos clásicos; estos a su vez inspiraron el programa de matemáticas inversas . Una rama separada de la teoría de la computabilidad, la teoría de la complejidad computacional , también se caracterizó en términos lógicos como resultado de investigaciones sobre la complejidad descriptiva .

La teoría de modelos aplica los métodos de la lógica matemática al estudio de modelos de teorías matemáticas específicas. Alfred Tarski publicó numerosos trabajos pioneros en este campo, que recibe su nombre de una serie de artículos que publicó bajo el título « Contribuciones a la teoría de modelos» . En la década de 1960, Abraham Robinson utilizó técnicas de la teoría de modelos para desarrollar el cálculo y el análisis basados ​​en infinitesimales , un problema que Leibniz había planteado inicialmente.

En la teoría de la demostración, la relación entre las matemáticas clásicas y las matemáticas intuicionistas se clarificó mediante herramientas como el método de realizabilidad inventado por Georg Kreisel y la interpretación de la Dialectica de Gödel . Este trabajo inspiró el campo contemporáneo de la minería de pruebas . La correspondencia de Curry-Howard surgió como una profunda analogía entre la lógica y la computación, incluyendo una correspondencia entre los sistemas de deducción natural y los cálculos lambda tipados utilizados en la informática. Como resultado, la investigación en esta clase de sistemas formales comenzó a abordar aspectos tanto lógicos como computacionales; esta área de investigación llegó a conocerse como teoría de tipos moderna. También se realizaron avances en el análisis ordinal y el estudio de resultados de independencia en aritmética, como el teorema de Paris-Harrington .

Este fue también un período, particularmente en la década de 1950 y posteriormente, en el que las ideas de la lógica matemática comenzaron a influir en el pensamiento filosófico. Por ejemplo, la lógica temporal es un sistema formalizado para representar y razonar sobre proposiciones calificadas en términos de tiempo. El filósofo Arthur Prior desempeñó un papel significativo en su desarrollo en la década de 1960. Las lógicas modales extienden el alcance de la lógica formal para incluir los elementos de la modalidad (por ejemplo, posibilidad y necesidad ). Las ideas de Saul Kripke , particularmente sobre mundos posibles , y el sistema formal ahora llamado semántica de Kripke han tenido un profundo impacto en la filosofía analítica . ^{[ 148 ]} Su obra más conocida e influyente es Nombres y necesidad (1980). ^{[ 149 ]} Las lógicas deónticas están estrechamente relacionadas con las lógicas modales: intentan capturar las características lógicas de la obligación , el permiso y conceptos relacionados. Aunque Bolzano mostró algunas novedades básicas que sincretizaban la lógica matemática y filosófica a principios del siglo XIX, fue Ernst Mally , discípulo de Alexius Meinong , quien propuso el primer sistema deóntico formal en su Grundgesetze des Sollens , basado en la sintaxis del cálculo proposicional de Whitehead y Russell .

Otro sistema lógico fundado después de la Segunda Guerra Mundial fue la lógica difusa, creada por el matemático azerbaiyano Lotfi Asker Zadeh en 1965.