Relación ancestral

En lógica matemática , la relación ancestral (a menudo abreviada como ancestral ) de una relación binaria R es su cierre transitivo , aunque definido de una manera diferente, ver más abajo.

Las relaciones ancestrales aparecen por primera vez en la Begriffsschrift de Frege . Más tarde, Frege las empleó en su Grundgesetze como parte de su definición de los cardinales finitos . Por lo tanto, lo ancestral fue una parte clave de su búsqueda de una base logicista de la aritmética.

Las proposiciones numeradas a continuación están tomadas de su Begriffsschrift y reformuladas en notación contemporánea.

Una propiedad P se llama R - hereditaria si, siempre que x es P y xRy se cumple, entonces y también es P :

${\displaystyle (Px\land xRy)\rightarrow Py}$

Se dice que un individuo b es un R - ancestro de a , escrito aR ^* b , si b tiene todas las R -propiedades hereditarias que tienen todos los objetos x tales que aRx :

${\displaystyle \mathbf {76:} \ \vdash aR^{*}b\leftrightarrow \para todo F[\para todo x(aRx\a Fx)\land \para todo x\para todo y(Fx\land xRy\a Fy)\a Fb]}$

Lo ancestral es una relación transitiva :

${\displaystyle \mathbf {98:} \ \vdash (aR^{*}b\land bR^{*}c)\rightarrow aR^{*}c}$

Sea la notación I ( R ) que R es funcional (Frege llama a estas relaciones "muchos-uno"):

${\displaystyle \mathbf {115:} \ \vdash I(R)\leftrightarrow \forall x\forall y\forall z[(xRy\land xRz)\rightarrow y=z]}$

Si R es funcional , entonces el antecesor de R es lo que hoy en día se llama conexo ^{[ aclaración necesaria ]} :

${\displaystyle \mathbf {133:} \ \vdash (I(R)\land aR^{*}b\land aR^{*}c)\rightarrow (bR^{*}c\lor b=c\lor cR^{*}b)}$

La relación ancestral es igual a la clausura transitiva de . En efecto, es transitiva (véase 98 arriba), contiene (en efecto, si aRb entonces, por supuesto, b tiene cada propiedad R -hereditaria que tienen todos los objetos x tales que aRx , porque b es uno de ellos), y finalmente, está contenida en (en efecto, supongamos que ; tomemos que la propiedad sea ; entonces las dos premisas, y , se satisfacen obviamente; por lo tanto, , lo que significa , por nuestra elección de ). Véase también el libro de Boolos más abajo, página 8. ${\estilo de visualización R^{*}}$ ${\estilo de visualización R^{+}}$${\estilo de visualización R}$${\estilo de visualización R^{*}}$${\estilo de visualización R^{*}}$${\estilo de visualización R}$${\estilo de visualización R^{*}}$${\estilo de visualización R^{+}}$$estilo de visualización aR^{*}b}$${\estilo de visualización Fx}$$Estilo de visualización aR^{+}x$${\displaystyle \para todo x(aRx\to Fx)}$${\displaystyle \para todo x\para todo y(Fx\ly xRy\to Fy)}$${\estilo de visualización Fb}$$estilo de visualización aR^{+}b$${\estilo de visualización F}$

Los Principia Mathematica hicieron un uso repetido de lo ancestral, como lo hizo la Lógica matemática de Quine (1951).

Sin embargo, vale la pena señalar que la relación ancestral no se puede definir en la lógica de primer orden . Es controvertido si la lógica de segundo orden con semántica estándar es realmente "lógica". Quine afirmó famosamente que era realmente "teoría de conjuntos con piel de oveja". En sus libros que establecen sistemas formales relacionados con la PM y capaces de modelar partes significativas de las matemáticas, a saber, y en orden de publicación, "Un sistema de logística", "Lógica matemática" y "Teoría de conjuntos y su lógica", la visión última de Quine en cuanto a la división adecuada entre sistemas lógicos y extralógicos parece ser que una vez que se agregan a un sistema los axiomas que permiten que surjan fenómenos de incompletitud, el sistema ya no es puramente lógico.

• Escritura de constitución
• Gottlob Frege
• Cierre transitivo

• George Boolos , 1998. Lógica, lógica y lógica . Harvard Univ. Press.
• Ivor Grattan-Guinness , 2000. En busca de raíces matemáticas . Princeton Univ. Press.
• Willard Van Orman Quine , 1951 (1940). Lógica matemática . Harvard Univ. Press. ISBN  0-674-55451-5 .

• Enciclopedia de filosofía de Stanford : "Lógica, teorema y fundamentos de la aritmética de Frege" -- por Edward N. Zalta . Sección 4.2.