Fórmula abierta

Una fórmula abierta es una fórmula que contiene al menos una variable libre . ^{[ 1 ]}

Una fórmula abierta no tiene un valor de verdad asignado, a diferencia de una fórmula cerrada , que constituye una proposición y, por lo tanto, puede tener un valor de verdad como verdadero o falso . Una fórmula abierta se puede transformar en una fórmula cerrada aplicando un cuantificador a cada variable libre. Esta transformación se denomina captura de las variables libres para convertirlas en variables ligadas.

Por ejemplo, al razonar sobre números naturales , la fórmula " x +2 > y " es abierta, ya que contiene las variables libres x e y . En cambio, la fórmula " ∃ y ∀ x : x +2 > y " es cerrada y tiene valor de verdad verdadero .

Las fórmulas abiertas se utilizan a menudo en definiciones matemáticas rigurosas de propiedades, como

" x es tía de y si, para alguna persona z , z es padre o madre de y , y x es hermana de z ."

(con variables libres x , y y variable ligada z ) que definen la noción de "tía" en términos de "padre" y "hermana". Otro ejemplo más formal, que define la propiedad de ser un número primo , es

" P ( x ) si ∀ m , n ∈${\displaystyle \mathbb {N} }$: m >1 ∧ n >1 → x ≠ m ⋅ n ",

(con variable libre x y variables ligadas m , n ).

Un ejemplo de fórmula cerrada con valor de verdad falso involucra la secuencia de números de Fermat.

${\displaystyle F_{n}=2^{2^{n}}+1,}$

Fermat estudió esto en relación con la primalidad. La asignación de la letra predicado P ( es primo ) a cada número de la secuencia de Fermat da como resultado un conjunto de fórmulas cerradas. Si bien son verdaderas para n = 0,...,4, no se conoce ningún valor mayor de n que dé como resultado una fórmula verdadera, a fecha de 2023.; Por ejemplo,${\displaystyle F_{5}=4\,294\,967\,297=641\cdot 6\,700\,417}$no es un número primo. Por lo tanto, la fórmula cerrada ∀ n P ( F _n ) es falsa.

En teoría de bases de datos , al expresar una consulta como una fórmula abierta de primer orden , las variables libres representan aquellas que en una consulta SQL aparecerían en la cláusula SELECT . Por ejemplo, una fórmula como:

${\displaystyle \varphi (son)=birthYear(son,2020)\land \exists mom{\textbf {.}}(motherOf(mom,son)\land birthYear(mom,1999))}$

dónde${\displaystyle hijo}$es la única variable libre, que podría expresarse en SQL de la siguiente manera:

SELECT y1 . person AS son FROM birth_year y1 WHERE y1 . year = 2020 AND EXISTS ( SELECT * FROM mother_of m1 JOIN birth_year y2 ON m1 . mother = y2 . person WHERE m1 . son = y1 . person AND y2 . year = 1999 )

que selecciona a todas las personas nacidas en 2020 y cuya madre nació en 1999.

Formalmente, ejecutar la consulta SQL anterior sobre una base de datos es equivalente a buscar todas las sustituciones.${\displaystyle \sigma }$de las variables libres de${\displaystyle \varphi }$con constantes tales que la interpretación de Herbrand de${\displaystyle {\mathcal {D}}}$Satisface${\displaystyle \sigma (\varphi)}$, dónde${\displaystyle {\mathcal {D}}}$es el conjunto de átomos fundamentales que representan la base de datos.

• Lógica de primer orden
• Lógica de orden superior
• Cuantificador (lógica)
• Predicado (lógica matemática)
• Ámbito (lógica)
• Glosario de lógica

• Wolfgang Rautenberg (2008), Einführung in die Mathematische Logik (en alemán) (3.  ed.), Wiesbaden: Vieweg+Teubner, ISBN 978-3-8348-0578-2
• H.-P. Tuschik, H. Wolter (2002), Mathematische Logik – kurzgefaßt (en alemán), Heidelberg: Spektrum, Akad. Editorial, ISBN 3-8274-1387-7