Expresión fundamental

En lógica matemática , un término fundamental de un sistema formal es un término que no contiene ninguna variable . De manera similar, una fórmula fundamental es una fórmula que no contiene ninguna variable.

En lógica de primer orden con identidad con símbolos constantes y , la oración es una fórmula fundamental. Una expresión fundamental es un término fundamental o una fórmula fundamental. ${\estilo de visualización a}$${\estilo de visualización b}$ ${\displaystyle Q(a)\lor P(b)}$

Considere las siguientes expresiones en lógica de primer orden sobre una firma que contiene los símbolos constantes y para los números 0 y 1, respectivamente, un símbolo de función unaria para la función sucesora y un símbolo de función binaria para la suma. ${\estilo de visualización 0}$${\estilo de visualización 1}$${\estilo de visualización s}$${\estilo de visualización +}$

• ${\displaystyle s(0),s(s(0)),s(s(s(0))),\ldots }$son términos básicos;
• ${\displaystyle 0+1,\;0+1+1,\lpuntos}$son términos básicos;
• ${\displaystyle 0+s(0),\;s(0)+s(0),\;s(0)+s(s(0))+0}$son términos básicos;
• ${\displaystyle x+s(1)}$y son términos, pero no términos básicos;${\estilo de visualización s(x)}$
• ${\displaystyle s(0)=1}$y son fórmulas fundamentales.${\estilo de visualización 0+0=0}$

Lo que sigue es una definición formal de lenguajes de primer orden . Sea un lenguaje de primer orden, con el conjunto de símbolos constantes, el conjunto de operadores funcionales y el conjunto de símbolos predicados . ${\estilo de visualización C}$${\estilo de visualización F}$${\estilo de visualización P}$

AEl término fundamental es untérminoque no contiene variables. Los términos fundamentales pueden definirse mediante recursión lógica (recursión de fórmulas):

1. Los elementos de son términos fundamentales;${\estilo de visualización C}$
2. Si es un símbolo de función -ario y son términos fundamentales, entonces es un término fundamental.${\displaystyle f\en F}$${\estilo de visualización n}$${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}}$${\displaystyle f\left(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}\right)}$
3. Todo término fundamental puede darse mediante una aplicación finita de las dos reglas anteriores (no hay otros términos fundamentales; en particular, los predicados no pueden ser términos fundamentales).

En términos generales, el universo Herbrand es el conjunto de todos los términos fundamentales.

Apredicado fundamental ,átomo de tierra oEl literal fundamental es unafórmula atómicacuyos términos de argumento son todos términos fundamentales.

Si es un símbolo de predicado -ario y son términos fundamentales, entonces es un predicado fundamental o un átomo fundamental. ${\displaystyle p\en P}$${\estilo de visualización n}$${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}}$${\displaystyle p\left(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}\right)}$

En términos generales, la base de Herbrand es el conjunto de todos los átomos fundamentales, ^[1] mientras que una interpretación de Herbrand asigna un valor de verdad a cada átomo fundamental en la base.

Afórmula molida oLa cláusula suelo es una fórmula sin variables.

Las fórmulas fundamentales pueden definirse mediante recursión sintáctica de la siguiente manera:

1. Un átomo fundamental es una fórmula fundamental.
2. Si y son fórmulas fundamentales, entonces , y son fórmulas fundamentales.${\estilo de visualización \varphi}$${\estilo de visualización \psi}$${\displaystyle \lno \varphi}$${\displaystyle \varphi \lor \psi }$${\displaystyle \varphi \land \psi}$

Las fórmulas fundamentales son un tipo particular de fórmulas cerradas .

• Fórmula abierta  : fórmula que contiene al menos una variable librePáginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa
• Oración (lógica matemática)  : En lógica matemática, una fórmula bien formada sin variables libres.

• Dalal, M. (2000), "Paradigmas de programación informática basados ​​en lógica", en Rosen, KH; Michaels, JG (eds.), Manual de matemáticas discretas y combinatorias , pág. 68
• Hodges, Wilfrid (1997), Una teoría de modelos más breve , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-58713-6
• Lógica de primer orden: sintaxis y semántica