Esquema de axioma

En lógica matemática , un esquema axiomático (plural: esquemas axiomáticos o esquemas axiomáticos ) generaliza la noción de axioma .

Un esquema axiomático es una fórmula en el metalenguaje de un sistema axiomático , en la que aparecen una o más variables esquemáticas . Estas variables, que son construcciones metalingüísticas, representan cualquier término o subfórmula del sistema, que puede o no requerirse para satisfacer ciertas condiciones. A menudo, tales condiciones requieren que ciertas variables sean libres , o que ciertas variables no aparezcan en la subfórmula o término ^{[ cita requerida ]} .

Dado que el número de posibles subfórmulas o términos que pueden insertarse en lugar de una variable esquemática es infinito, un esquema axiomático representa una clase o conjunto infinito de axiomas. Este conjunto a menudo puede definirse recursivamente . Una teoría que puede axiomatizarse sin esquemas se dice que es finitamente axiomatizable .

Dos ejemplos bien conocidos de esquemas axiomáticos son:

• esquema de inducción que forma parte de los axiomas de Peano para la aritmética de los números naturales ;
• esquema axiomático de reemplazo que forma parte de la axiomatización ZFC estándar de la teoría de conjuntos .

Czesław Ryll-Nardzewski demostró que la aritmética de Peano no puede axiomatizarse finitamente, y Richard Montague demostró que la ZFC no puede axiomatizarse finitamente. ^[1] Por lo tanto, los esquemas axiomáticos no pueden eliminarse de estas teorías. Esto también es así para muchas otras teorías axiomáticas en matemáticas, filosofía, lingüística, etc.

Todos los teoremas de ZFC son también teoremas de la teoría de conjuntos de von Neumann–Bernays–Gödel , pero estos últimos pueden axiomatizarse finitamente. La teoría de conjuntos New Foundations puede axiomatizarse finitamente mediante la noción de estratificación .

Las variables esquemáticas en la lógica de primer orden suelen ser trivialmente eliminables en la lógica de segundo orden , porque una variable esquemática suele ser un marcador de posición para cualquier propiedad o relación sobre los individuos de la teoría. Este es el caso de los esquemas de inducción y reemplazo mencionados anteriormente. La lógica de orden superior permite que las variables cuantificadas abarquen todas las propiedades o relaciones posibles.

• Esquema axiomático de separación predicativa
• Esquema axiomático de reemplazo
• Esquema axiomático de especificación

• Corcoran, John (2006), "Esquemas: el concepto de esquema en la historia de la lógica", Boletín de lógica simbólica , 12 (2): 219–240, doi :10.2178/bsl/1146620060, S2CID  6909703.
• Corcoran, John (2016). "Esquema". En Zalta, Edward N. (ed.). Stanford Encyclopedia of Philosophy .
• Mendelson, Elliott (1997), Introducción a la lógica matemática (4.ª ed.), Chapman & Hall, ISBN 0-412-80830-7.
• Montague, Richard (1961), "Cierre semántico y axiomatizabilidad no finita I", en Samuel R. Buss (ed.), Métodos infinitistas: Actas del Simposio sobre fundamentos de las matemáticas , Pergamon Press, págs. 45-69.
• Potter, Michael (2004), Teoría de conjuntos y su filosofía , Oxford University Press, ISBN 9780199269730.
• Ryll-Nardzewski, Czesław (1952), "El papel del axioma de inducción en la aritmética elemental" (PDF) , Fundamenta Mathematicae , 39 : 239–263, doi :10.4064/fm-39-1-239-263.