teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel

Dos conjuntos son iguales (son el mismo conjunto) si tienen los mismos elementos.

${\displaystyle \forall x\forall y[\forall z(z\in x\Leftrightarrow z\in y)\Rightarrow x=y].}$

El recíproco de este axioma se deduce de la propiedad de sustitución de la igualdad . ZFC se construye en lógica de primer orden. Algunas formulaciones de lógica de primer orden incluyen la identidad; otras no. Si la variedad de lógica de primer orden en la que se construye la teoría de conjuntos no incluye la igualdad,${\displaystyle =}$",${\displaystyle x=y}$puede definirse como una abreviatura de la siguiente fórmula: ^{[ 8 ]}${\displaystyle \forall z[z\in x\Leftrightarrow z\in y]\land \forall w[x\in w\Leftrightarrow y\in w].}$

En este caso, el axioma de extensionalidad puede reformularse como

${\displaystyle \forall x\forall y[\forall z(z\in x\Leftrightarrow z\in y)\Rightarrow \forall w(x\in w\Leftrightarrow y\in w)],}$

lo cual dice que si${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$Si tienen los mismos elementos, entonces pertenecen a los mismos conjuntos. ^{[ 9 ]}

Cada conjunto no vacío${\displaystyle x}$contiene un miembro${\displaystyle y}$de tal manera que${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$son conjuntos disjuntos .

${\displaystyle \forall x[(\exists a(a\in x))\Rightarrow \exists y(y\in x\land \lnot \exists z(z\in y\land z\in x))].}$^{[ 10 ]}

o en notación moderna: ${\displaystyle \forall x\,(x\neq \varnothing \Rightarrow \exists y(y\in x\land y\cap x=\varnothing )).}$

Con los axiomas de emparejamiento y unión, esto implica que ningún conjunto es un elemento de sí mismo. Con los axiomas de infinito, reemplazo y unión, esto implica que cada conjunto tiene un rango ordinal .

Los subconjuntos se construyen comúnmente utilizando la notación de construcción de conjuntos . Por ejemplo, los enteros pares se pueden construir como un subconjunto de los enteros.${\displaystyle \mathbb {Z} }$que satisface la congruencia módulo predicado${\displaystyle x\equiv 0{\pmod {2}}}$:

${\displaystyle \{x\in \mathbb {Z} :x\equiv 0{\pmod {2}}\}.}$

En general, el subconjunto de un conjunto${\displaystyle z}$obedeciendo una fórmula${\displaystyle \varphi (x)}$con una variable libre${\displaystyle x}$puede escribirse como:

${\displaystyle \{x\in z:\varphi (x)\}.}$

El esquema axiomático de especificación establece que este subconjunto siempre existe (es un esquema axiomático porque hay un axioma para cada${\displaystyle \varphi }$). Formalmente, sea${\displaystyle \varphi }$sea ​​cualquier fórmula en el lenguaje ZFC con todas las variables libres entre${\displaystyle x,z,w_{1},\ldots,w_{n}}$(${\displaystyle y}$no es gratis en${\displaystyle \varphi }$). Entonces:

${\displaystyle \forall z\forall w_{1}\forall w_{2}\ldots \forall w_{n}\exists y\forall x[x\in y\Leftrightarrow ((x\in z)\land \varphi (x,w_{1},w_{2},...,w_{n},z))].}$

Tenga en cuenta que el esquema axiomático de especificación solo puede construir subconjuntos y no permite la construcción de entidades de la forma más general:

${\displaystyle \{x:\varphi (x)\}.}$

Esta restricción es necesaria para evitar la paradoja de Russell (dejar${\displaystyle y=\{x:x\notin x\}}$entonces${\displaystyle y\in y\Leftrightarrow y\notin y}$) y sus variantes que acompañan a la teoría de conjuntos ingenua con comprensión irrestricta (ya que bajo esta restricción${\displaystyle y}$solo se refiere a conjuntos dentro${\displaystyle z}$que no les pertenecen, y${\displaystyle y\in z}$no se ha establecido, aunque ${\displaystyle y\subsetequ z}$es el caso, así que${\displaystyle y}$se sitúa en una posición separada desde la cual no puede referirse ni comprenderse a sí mismo; por lo tanto, en cierto sentido, este esquema axiomático está diciendo que para construir un${\displaystyle y}$sobre la base de una fórmula${\displaystyle \varphi (x)}$Necesitamos restringir previamente los conjuntos.${\displaystyle y}$se considerará dentro de un conjunto${\displaystyle z}$eso deja${\displaystyle y}$afuera así${\displaystyle y}$no puede referirse a sí mismo; o, dicho de otro modo, los conjuntos no deben referirse a sí mismos).

En algunas otras axiomatizaciones de ZF, este axioma es redundante ya que se deriva del esquema axiomático de reemplazo y del axioma del conjunto vacío .

Por otro lado, el esquema axiomático de especificación puede utilizarse para demostrar la existencia del conjunto vacío , denotado${\displaystyle \varnothing }$una vez que se sabe que existe al menos un conjunto. Una forma de hacerlo es usar una propiedad.${\displaystyle \varphi }$que ningún conjunto posee. Por ejemplo, si${\displaystyle w}$es cualquier conjunto existente, el conjunto vacío se puede construir como

${\displaystyle \varnothing =\{u\in w\mid (u\notin w)\}.}$

Por lo tanto, el axioma del conjunto vacío está implícito en los nueve axiomas presentados aquí. El axioma de extensionalidad implica que el conjunto vacío es único (no depende de${\displaystyle w}$). Es común realizar una extensión definicional que agregue el símbolo "${\displaystyle \varnothing }$" al idioma de ZFC.

Si${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$son conjuntos, entonces existe un conjunto que contiene${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$como elementos; por ejemplo, si${\displaystyle x=\{1,2\}}$y${\displaystyle y=\{2,3\}}$, entonces${\displaystyle z}$podría ser${\displaystyle \{\{1,2\},\{2,3\}\}}$.

${\displaystyle \forall x\forall y\exists z((x\in z)\land (y\in z)).}$

El esquema axiomático de especificación debe utilizarse para reducir esto a un conjunto con exactamente estos dos elementos.

La unión sobre los elementos de un conjunto existe. Por ejemplo, la unión sobre los elementos del conjunto${\displaystyle \{\{1,2\},\{2,3\}\}}$es${\displaystyle \{1,2,3\}.}$

El axioma de unión establece que para cualquier conjunto de conjuntos${\displaystyle {\mathcal {F}}}$, hay un conjunto${\displaystyle A}$que contiene cada elemento que es miembro de algún miembro de${\displaystyle {\mathcal {F}}}$:

${\displaystyle \forall {\mathcal {F}}\,\exists A\,\forall Y\,\forall x[(x\in Y\land Y\in {\mathcal {F}})\Rightarrow x\in A].}$

Aunque esta fórmula no afirma directamente la existencia de${\displaystyle \cup {\mathcal {F}}}$, el conjunto${\displaystyle \cup {\mathcal {F}}}$se puede construir a partir de${\displaystyle A}$En lo anterior se utiliza el esquema axiomático de especificación:

${\displaystyle \cup {\mathcal {F}}=\{x\in A:\exists Y(x\in Y\land Y\in {\mathcal {F}})\}.}$

El esquema axiomático de reemplazo afirma que la imagen de un conjunto bajo cualquier función definible también estará dentro de un conjunto.

Formalmente, dejemos${\displaystyle \varphi }$sea ​​cualquier fórmula en el lenguaje ZFC cuyas variables libres se encuentren entre${\displaystyle x,y,A,w_{1},\dotsc ,w_{n},}$para que en particular${\displaystyle B}$no es gratis en${\displaystyle \varphi }$. Entonces:

${\displaystyle \forall A\forall w_{1}\forall w_{2}\ldots \forall w_{n}{\bigl [}\forall x(x\in A\Rightarrow \exists !y\,\varphi )\Rightarrow \exists B\ \forall x{\bigl (}x\in A\Rightarrow \exists y(y\in B\land \varphi ){\bigr )}{\bigr ]}.}$

(El cuantificador existencial único)${\displaystyle \exists$ !} denota la existencia de exactamente un elemento que sigue una afirmación dada.)

En otras palabras, si la relación${\displaystyle \varphi }$representa una función definible${\displaystyle f}$,${\displaystyle A}$representa su dominio y${\displaystyle f(x)}$es un conjunto para cada${\displaystyle x\in A,}$entonces el rango de${\displaystyle f}$es un subconjunto de algún conjunto${\displaystyle B}$. La forma aquí indicada, en la que${\displaystyle B}$puede ser más grande de lo estrictamente necesario, a veces se le llama esquema axiomático de colección .

Dejar${\displaystyle S(w)}$abreviar${\displaystyle w\cup \{w\},}$dónde${\displaystyle w}$es algún conjunto. (Podemos ver que${\displaystyle \{w\}}$es un conjunto válido al aplicar el axioma de emparejamiento con${\displaystyle x=y=w}$de modo que el conjunto z sea${\displaystyle \{w\}}$). Entonces existe un conjunto X tal que el conjunto vacío${\displaystyle \varnothing }$, definido axiomáticamente, es un miembro de X y, siempre que un conjunto y sea un miembro de X entonces${\displaystyle S(y)}$también es miembro de X.

${\displaystyle \exists X\left[\exists e(\forall z\,\neg (z\in e)\land e\in X)\land \forall y(y\in X\Rightarrow S(y)\in X)\right].}$

o en notación moderna: ${\displaystyle \exists X\left[\varnothing \in X\land \forall y(y\in X\Rightarrow S(y)\in X)\right].}$

De forma más coloquial, existe un conjunto X que tiene infinitos miembros. Estos miembros se construyen aplicando repetidamente la operación${\displaystyle S}$partiendo del conjunto vacío. Cada resultado de esta construcción es distinto de los anteriores, por lo que el proceso no se repite ni forma bucles. El conjunto mínimo X que satisface el axioma del infinito es el ordinal de von Neumann ω , que también puede considerarse como el conjunto de los números naturales.${\displaystyle \mathbb {N} }$. (Tenga en cuenta que la solidez de${\displaystyle \mathbb {N} }$(No requiere el axioma de regularidad; se deduce naturalmente de la estructura de la construcción).

Por definición, un conjunto${\displaystyle z}$es un subconjunto de un conjunto${\displaystyle x}$si y solo si cada elemento de${\displaystyle z}$es también un elemento de${\displaystyle x}$:

${\displaystyle (z\subseteq x)\Leftrightarrow (\forall q(q\in z\Rightarrow q\in x)).}$

El axioma del conjunto potencia establece que para cualquier conjunto${\displaystyle x}$, hay un conjunto${\displaystyle y}$que contiene cada subconjunto de${\displaystyle x}$:

${\displaystyle \forall x\exists y\forall z(z\subseteq x\Rightarrow z\in y).}$

El esquema axiomático de especificación se utiliza luego para definir el conjunto de potencias.${\displaystyle {\mathcal {P}}(x)}$como subconjunto de tal${\displaystyle y}$que contienen los subconjuntos de${\displaystyle x}$exactamente:

${\displaystyle {\mathcal {P}}(x)=\{z\in y:z\subseteq x\}.}$

Los axiomas 1 a 8 definen ZF. A menudo se encuentran formas alternativas de estos axiomas, algunas de las cuales se enumeran en Jech (2003) . Algunas axiomatizaciones de ZF incluyen un axioma que afirma que el conjunto vacío existe . Los axiomas de emparejamiento, unión, reemplazo y conjunto potencia a menudo se enuncian de manera que los miembros del conjunto${\displaystyle x}$cuya existencia se afirma son precisamente aquellos conjuntos que el axioma afirma.${\displaystyle x}$debe contener.

Se añade el siguiente axioma para convertir ZF en ZFC:

El último axioma, comúnmente conocido como el axioma de elección , se presenta aquí como una propiedad sobre buenos órdenes , como en Kunen (1980) . Para cualquier conjunto${\displaystyle X}$, existe una relación binaria${\displaystyle R}$que ordena bien${\displaystyle X}$. Esto significa${\displaystyle R}$es un orden lineal en${\displaystyle X}$de tal manera que cada subconjunto no vacío de${\displaystyle X}$tiene un elemento mínimo bajo el orden${\displaystyle R}$.

${\displaystyle \forall X\exists R(R\;{\mbox{well-orders}}\;X).}$

Dados los axiomas 1 a 8, muchas afirmaciones son demostrablemente equivalentes al axioma 9. La más común de ellas es la siguiente. Sea${\displaystyle X}$Sea un conjunto cuyos miembros no estén todos vacíos. Entonces existe una función${\displaystyle f}$de${\displaystyle X}$a la unión de los miembros de${\displaystyle X}$, denominada " función de elección ", tal que para todo${\displaystyle Y\in X}$uno tiene${\displaystyle f(Y)\in Y}$Formalmente , esto puede expresarse de la siguiente manera:

${\displaystyle \forall X\left[\varnothing \notin X\Rightarrow \exists f\left[f\colon X\to \bigcup X\land \forall Y\in X\,(f(Y)\in Y)\right]\right].}$

Una tercera versión del axioma, también equivalente, es el lema de Zorn .

Dado que existe una función de elección cuando${\displaystyle X}$Se demuestra fácilmente que un conjunto es finito a partir de los axiomas 1-8 ; AC solo importa para ciertos conjuntos infinitos . AC se caracteriza por ser no constructivo porque afirma la existencia de una función de elección, pero no dice nada sobre cómo se debe "construir" dicha función.

Las clases propias (colecciones de objetos matemáticos definidos por una propiedad compartida por sus miembros que son demasiado grandes para ser conjuntos) solo pueden tratarse indirectamente en ZF (y por lo tanto en ZFC). Una alternativa a las clases propias, sin salirse de ZF y ZFC, es la notación de clase virtual introducida por Quine (1969) , donde toda la construcción y ∈ { x | F x } se define simplemente como F y . ^{[ 14 ]} Esto proporciona una notación simple para clases que pueden contener conjuntos pero que no necesariamente son conjuntos, sin comprometerse con la ontología de clases (porque la notación puede convertirse sintácticamente a una que solo usa conjuntos). El enfoque de Quine se basó en el enfoque anterior de Bernays y Fraenkel (1958) . Las clases virtuales también se usan en Levy (2002) , Takeuti y Zaring (1982) y en la implementación Metamath de ZFC.

Los esquemas axiomáticos de reemplazo y separación contienen cada uno un número infinito de instancias. Montague (1961) incluyó un resultado demostrado por primera vez en su tesis doctoral de 1957: si ZFC es consistente, es imposible axiomatizar ZFC utilizando solo un número finito de axiomas. Por otro lado, la teoría de conjuntos de von Neumann-Bernays-Gödel (NBG) puede axiomatizarse de forma finita. La ontología de NBG incluye clases propias , así como conjuntos; un conjunto es cualquier clase que puede ser miembro de otra clase. NBG y ZFC son teorías de conjuntos equivalentes en el sentido de que cualquier teorema que no mencione clases y que sea demostrable en una teoría puede demostrarse en la otra.

El segundo teorema de incompletitud de Gödel afirma que un sistema recursivamente axiomatizable capaz de interpretar la aritmética de Robinson solo puede demostrar su propia consistencia si es inconsistente. Además, la aritmética de Robinson puede interpretarse en la teoría general de conjuntos , un pequeño fragmento de ZFC. Por lo tanto, la consistencia de ZFC no puede demostrarse dentro de ZFC misma (a menos que sea realmente inconsistente). Así, en la medida en que ZFC se identifica con las matemáticas ordinarias, la consistencia de ZFC no puede demostrarse en las matemáticas ordinarias. La consistencia de ZFC se deriva de la existencia de un cardinal débilmente inaccesible , que es indemostrable en ZFC si ZFC es consistente. Sin embargo, se considera improbable que ZFC albergue una contradicción insospechada; se cree ampliamente que si ZFC fuera inconsistente, ese hecho ya se habría descubierto. ZFC no contiene las paradojas clásicas de la teoría ingenua de conjuntos : la paradoja de Russell , la paradoja de Burali-Forti y la paradoja de Cantor .

Abian y LaMacchia (1978) estudiaron una subteoría de ZFC que consta de los axiomas de extensionalidad, unión, conjunto potencia, reemplazo y elección. Utilizando modelos , demostraron la consistencia de esta subteoría y probaron que cada uno de los axiomas de extensionalidad, reemplazo y conjunto potencia es independiente de los cuatro axiomas restantes de esta subteoría. Si esta subteoría se amplía con el axioma de infinito, cada uno de los axiomas de unión, elección e infinito es independiente de los cinco axiomas restantes. Dado que existen modelos no bien fundados que satisfacen cada axioma de ZFC excepto el axioma de regularidad, ese axioma es independiente de los demás axiomas de ZFC.

Si es consistente, ZFC no puede probar la existencia de los cardinales inaccesibles que requiere la teoría de categorías . Los conjuntos enormes de esta naturaleza son posibles si ZF se aumenta con el axioma de Tarski . ^{[ 15 ]} Suponiendo que ese axioma convierte los axiomas de infinito , conjunto potencia y elección (7–9 arriba) en teoremas.

Muchas afirmaciones importantes son independientes de ZFC . La independencia se suele probar forzando la expresión, demostrando que todo modelo transitivo numerable de ZFC (a veces ampliado con axiomas de cardinalidad grande ) puede expandirse para satisfacer la afirmación en cuestión. Posteriormente, se demuestra que una expansión diferente satisface la negación de la afirmación. Una prueba de independencia mediante forzando la expresión demuestra automáticamente la independencia de afirmaciones aritméticas, otras afirmaciones concretas y axiomas de cardinalidad grande. Algunas afirmaciones independientes de ZFC pueden demostrarse válidas en modelos internos particulares , como en el universo construible . Sin embargo, algunas afirmaciones que son verdaderas sobre conjuntos construibles no son consistentes con los axiomas de cardinalidad grande hipotetizados.

El análisis de forzado demuestra que las siguientes afirmaciones son independientes de ZFC:

• Axioma de constructibilidad (V=L) (que tampoco es un axioma ZFC)
• Hipótesis del continuo
• Principio del diamante
• El axioma de Martin (que no es un axioma de ZFC)
• hipótesis de Suslin

Observaciones:

• La consistencia de V=L se puede demostrar mediante modelos internos , pero no de forma forzada: todo modelo de ZF se puede recortar para convertirse en un modelo de ZFC + V=L.
• El principio del diamante implica la hipótesis del continuo y la negación de la hipótesis de Suslin.
• El axioma de Martin, sumado a la negación de la hipótesis del continuo, implica la hipótesis de Suslin.
• El universo construible satisface la hipótesis del continuo generalizado , el principio del diamante, el axioma de Martin y la hipótesis de Kurepa.
• El fracaso de la hipótesis de Kurepa es equiconsistente con la existencia de un cardinal fuertemente inaccesible .

También se puede utilizar una variación del método de forzamiento para demostrar la consistencia y la imposibilidad de demostrar el axioma de elección , es decir, que el axioma de elección es independiente de ZF. La consistencia de elección se puede verificar (relativamente) fácilmente demostrando que el modelo interno L satisface elección. (Por lo tanto, todo modelo de ZF contiene un submodelo de ZFC, de modo que Con(ZF) implica Con(ZFC)). Dado que el forzamiento preserva elección, no podemos producir directamente un modelo que contradiga elección a partir de un modelo que la satisfaga. Sin embargo, podemos usar el forzamiento para crear un modelo que contenga un submodelo adecuado, es decir, uno que satisfaga ZF pero no C.

Otro método para demostrar la independencia de los resultados, que no depende de forzarlos, se basa en el segundo teorema de incompletitud de Gödel. Este enfoque emplea la afirmación cuya independencia se examina para probar la existencia de un modelo de conjunto de ZFC, en cuyo caso Con(ZFC) es verdadera. Dado que ZFC satisface las condiciones del segundo teorema de Gödel, la consistencia de ZFC es indemostrable en ZFC (siempre que ZFC sea, de hecho, consistente). Por lo tanto, ninguna afirmación que permita tal prueba puede probarse en ZFC. Este método puede probar que la existencia de cardinales grandes no es demostrable en ZFC, pero no puede probar que asumir tales cardinales, dado ZFC, esté libre de contradicciones.

El proyecto para unificar a los teóricos de conjuntos en torno a axiomas adicionales para resolver la hipótesis del continuo u otras ambigüedades metamatemáticas se conoce a veces como el "programa de Gödel". ^{[ 16 ]} Actualmente, los matemáticos debaten qué axiomas son los más plausibles o "evidentes por sí mismos", cuáles son los más útiles en diversos dominios y hasta qué punto se debe sacrificar la plausibilidad en aras de la utilidad; algunos teóricos de conjuntos del " multiverso " argumentan que la utilidad debería ser el único criterio último para la adopción habitual de axiomas. Una escuela de pensamiento se basa en expandir el concepto "iterativo" de conjunto para producir un universo de teoría de conjuntos con una estructura interesante y compleja, pero razonablemente manejable, mediante la adopción de axiomas forzantes; otra escuela aboga por un universo más ordenado y menos desordenado, quizás centrado en un modelo interno "central". ^{[ 17 ]}