Problema de puntos blancos

En la teoría de grupos , una rama del álgebra abstracta , el problema de Whitehead es la siguiente pregunta:

¿Es todo grupo abeliano A con Ext ¹ ( A , Z ) = 0 un grupo abeliano libre ?

Saharon Shelah demostró que el problema de Whitehead es independiente de ZFC , los axiomas estándar de la teoría de conjuntos. ^{[ 1 ]}

Supongamos que A es un grupo abeliano tal que toda sucesión exacta corta

${\displaystyle 0\rightarrow \mathbb {Z} \rightarrow B\rightarrow A\rightarrow 0}$

debe dividirse si B también es abeliano. El problema de Whitehead pregunta entonces: ¿debe A ser libre? Este requisito de división es equivalente a la condición Ext ¹ ( A , Z ) = 0. Los grupos abelianos A que satisfacen esta condición a veces se denominan grupos de Whitehead , por lo que el problema de Whitehead pregunta: ¿es libre todo grupo de Whitehead? Cabe mencionar que si esta condición se refuerza exigiendo que la secuencia exacta

${\displaystyle 0\rightarrow C\rightarrow B\rightarrow A\rightarrow 0}$

Si se debe dividir para cualquier grupo abeliano C , entonces se sabe que esto es equivalente a que A sea libre. (Véase Módulo proyectivo ).

Precaución : El recíproco del problema de Whitehead, es decir, que todo grupo abeliano libre es un grupo de Whitehead, es un hecho conocido en teoría de grupos. Algunos autores llaman grupo de Whitehead solo a un grupo no libre A que satisface Ext ¹ ( A , Z ) = 0. El problema de Whitehead entonces plantea: ¿existen los grupos de Whitehead?

Saharon Shelah demostró que, dado el sistema axiomático ZFC canónico , el problema es independiente de los axiomas usuales de la teoría de conjuntos . ^{[ 1 ]} Más precisamente, demostró que:

• Si todo conjunto es construible , entonces todo grupo de Whitehead es libre;
• Si se cumplen tanto el axioma de Martin como la negación de la hipótesis del continuo , entonces existe un grupo de Whitehead no libre.

Dado que la consistencia de ZFC implica la consistencia de las dos siguientes:

• El axioma de constructibilidad (que afirma que todos los conjuntos son constructibles);
• El axioma de Martin más la negación de la hipótesis del continuo,

El problema de Whitehead no se puede resolver en ZFC.

JHC Whitehead , motivado por el segundo problema del primo , planteó el problema por primera vez en la década de 1950. Stein respondió afirmativamente para grupos numerables . ^{[ 2 ]} El progreso para grupos más grandes fue lento, y el problema se consideró importante en álgebra durante algunos años.

El resultado de Shelah fue completamente inesperado. Si bien la existencia de enunciados indecidibles se conocía desde el teorema de incompletitud de Gödel de 1931, los ejemplos anteriores de enunciados indecidibles (como la hipótesis del continuo ) pertenecían exclusivamente a la teoría de conjuntos pura . El problema de Whitehead fue el primer problema puramente algebraico cuya indecidibilidad se demostró.

Shelah demostró más tarde que el problema de Whitehead sigue siendo indecidible incluso si se asume la hipótesis del continuo. ^{[ 3 ] [ 4 ]} De hecho, sigue siendo indecidible incluso bajo la hipótesis generalizada del continuo . ^{[ 5 ]} La conjetura de Whitehead es verdadera si todos los conjuntos son construibles . Que esta y otras afirmaciones sobre grupos abelianos no numerables sean demostrablemente independientes de ZFC muestra que la teoría de tales grupos es muy sensible a la teoría de conjuntos subyacente asumida .

• Grupo abeliano libre
• torsión de Whitehead
• Lista de enunciados indecidibles en ZFC
• Afirmaciones verdaderas en L