teoría de conjuntos internos

Los siguientes principios se derivan de la motivación intuitiva anterior y, por lo tanto, deberían ser deducibles de los axiomas formales. Por el momento, consideraremos como dominio de discusión el conjunto familiar de los números enteros.

• Cualquier expresión matemática que no utilice el nuevo estándar de predicado de forma explícita o implícita es una fórmula interna .
• Cualquier definición que haga eso es una fórmula externa .
• Cualquier número especificado de forma unívoca mediante una fórmula interna es estándar (por definición).
• Los números no estándar son precisamente aquellos que no pueden especificarse de forma unívoca (debido a limitaciones de tiempo y espacio) mediante una fórmula interna.
• Los números no estándar son difíciles de definir: cada uno es demasiado grande para ser manejado en notación decimal o cualquier otra representación, explícita o implícita, por muy ingeniosa que sea la notación. Cualquier número que se logre producir es, por definición, simplemente otro número estándar.
• Sin embargo, existen (muchos) números enteros no estándar en cualquier subconjunto infinito de N.
• Los números no estándar son números completamente ordinarios, con representaciones decimales, factorizaciones primas, etc. Todos los teoremas clásicos que se aplican a los números naturales también se aplican a los números naturales no estándar. No hemos creado números nuevos, sino un nuevo método para distinguir entre los números existentes.
• Además, cualquier teorema clásico que sea válido para todos los números estándar es necesariamente válido para todos los números naturales. De lo contrario, la formulación «el número más pequeño que no satisface el teorema» sería una fórmula interna que definiría de forma única un número no estándar.
• El predicado "no estándar" es un método lógicamente consistente para distinguir números grandes ; el término habitual será " ilimitado" . Los recíprocos de estos números ilimitados serán necesariamente números reales extremadamente pequeños: infinitesimales . Para evitar confusiones con otras interpretaciones de estas palabras, en artículos más recientes sobre IST se reemplazan por los constructos "i-grande" e "i-pequeño".
• Por necesidad, solo existe un número finito de números estándar, pero es necesario ser cauteloso: no podemos reunirlos y afirmar que el resultado es un conjunto matemático bien definido. Esto no se sustenta en el formalismo (la justificación intuitiva es que los límites precisos de este conjunto varían con el tiempo y la historia). En particular, no podremos hablar del mayor número estándar ni del menor número no estándar. Será válido hablar de un conjunto finito que contenga todos los números estándar, pero esta formulación no clásica solo podría aplicarse a un conjunto no estándar.

• Para cualquier fórmula interna${\displaystyle \phi }$Sin una aparición libre de z , el cierre universal de la siguiente fórmula es un axioma:

  ${\displaystyle \forall ^{\mathrm {st} }z\,(z{\text{ es finito}}\to \exists y\,\forall x\in z\,\phi (x,y,u_{1},\dots ,u_{n}))\leftrightarrow \exists y\,\forall ^{\mathrm {st} }x\,\phi (x,y,u_{1},\dots ,u_{n}).}$

• En palabras: Para cada relación interna R , y para valores arbitrarios de todas las demás variables libres, tenemos que si para cada conjunto estándar finito F , existe un g tal que${\displaystyle R(g,f)}$Si se cumple para todo f en F , entonces existe un G particular tal que para cualquier f estándar tenemos${\displaystyle R(g,f)}$⁠ , y recíprocamente, si existe G tal que para cualquier estándar f , tenemos ⁠${\displaystyle R(g,f)}$⁠ , entonces para cada conjunto finito F , existe un g tal que ⁠${\displaystyle R(g,f)}$⁠ se cumple para todo f en F .

Este axioma comprende dos implicaciones. La implicación de derecha a izquierda se puede reformular simplemente afirmando que los elementos de los conjuntos finitos estándar son estándar. La implicación de izquierda a derecha, más importante, expresa que la colección de todos los conjuntos estándar está contenida en un conjunto finito (no estándar) y, además, este conjunto finito puede considerarse que satisface cualquier propiedad interna dada que comparten todos los conjuntos finitos estándar.

Este esquema axiomático muy general sustenta la existencia de elementos "ideales" en circunstancias apropiadas. Tres aplicaciones particulares demuestran consecuencias importantes.

• Si${\displaystyle \phi }$es cualquier fórmula (puede ser externa) sin una aparición libre de y , el cierre universal de

  ${\displaystyle \forall ^{\mathrm {st} }x\,\exists ^{\mathrm {st} }y\,\forall ^{\mathrm {st} }t\,(t\in y\leftrightarrow (t\in x\land \phi (t,u_{1},\dots ,u_{n})))}$

es un axioma.

• En otras palabras: Si A es un conjunto estándar y P cualquier propiedad, interna o de otro tipo, entonces existe un subconjunto estándar único B de A cuyos elementos estándar son precisamente los elementos estándar de A que satisfacen P (pero el comportamiento de los elementos no estándar de B no está prescrito).

• Si${\displaystyle \phi (x,u_{1},\dots ,u_{n})}$es una fórmula interna sin otras variables libres que las indicadas, entonces

  ${\displaystyle \forall ^{\mathrm {st} }u_{1}\dots \forall ^{\mathrm {st} }u_{n}\,(\forall ^{\mathrm {st} }x\,\phi (x,u_{1},\dots ,u_{n})\to \forall x\,\phi (x,u_{1},\dots ,u_{n}))}$

es un axioma.

• En otras palabras: Si todos los parámetros A , B , C , ..., W de una fórmula interna F tienen valores estándar, entonces F ( x , A , B , ..., W ) se cumple para todos los x 's tan pronto como se cumple para todos los x's estándar , de lo cual se sigue que todos los conceptos u objetos definidos de forma única dentro de las matemáticas clásicas son estándar.