Objeto matemático

Un objeto matemático es un concepto abstracto que surge en matemáticas . En el lenguaje habitual de las matemáticas, un objeto es cualquier cosa que haya sido (o pueda ser) definida formalmente, y con la que se pueda hacer razonamiento deductivo y demostraciones matemáticas . ^{[ cita requerida ]} Normalmente, un objeto matemático puede ser un valor que se puede asignar a una variable y, por lo tanto, puede estar involucrado en fórmulas . Los objetos matemáticos que se encuentran comúnmente incluyen números , conjuntos , funciones , expresiones , objetos geométricos , transformaciones de otros objetos matemáticos y espacios . Los objetos matemáticos pueden ser muy complejos; por ejemplo, los teoremas , las demostraciones e incluso las teorías se consideran objetos matemáticos en la teoría de la demostración .

En Filosofía de las matemáticas , el concepto de " objetos " toca temas de existencia , identidad y naturaleza de la realidad . ^[1] En metafísica , los objetos a menudo se consideran entidades que poseen propiedades y pueden estar en diversas relaciones entre sí. ^[2] Los filósofos debaten si los objetos tienen una existencia independiente fuera del pensamiento humano ( realismo ), o si su existencia depende de construcciones mentales o del lenguaje ( idealismo y nominalismo ). Los objetos pueden variar desde lo concreto , como los objetos físicos en el mundo, hasta lo abstracto , y es en este último donde generalmente se encuentran los objetos matemáticos. Lo que constituye un "objeto" es fundamental para muchas áreas de la filosofía, desde la ontología (el estudio del ser) hasta la epistemología (el estudio del conocimiento). En matemáticas, los objetos a menudo se ven como entidades que existen independientemente del mundo físico , lo que plantea preguntas sobre su estado ontológico. ^{[3] [4]} Hay distintas escuelas de pensamiento que ofrecen diferentes perspectivas sobre el tema, y ​​muchos matemáticos y filósofos famosos tienen opiniones diferentes sobre cuál es más correcta. ^[5]

La indispensabilidad de Quine-Putnam es un argumento a favor de la existencia de objetos matemáticos basado en su eficacia irrazonable en las ciencias naturales . Cada rama de la ciencia se basa en gran medida en áreas grandes y a menudo muy diferentes de las matemáticas. Desde el uso de los espacios de Hilbert en la física en la mecánica cuántica y la geometría diferencial en la relatividad general hasta el uso de la teoría del caos y la combinatoria en la biología (véase biología matemática ), las matemáticas no sólo ayudan con las predicciones , sino que permiten que estas áreas tengan un lenguaje elegante para expresar estas ideas. Además, es difícil imaginar cómo áreas como la mecánica cuántica y la relatividad general podrían haberse desarrollado sin la ayuda de las matemáticas y, por lo tanto, se podría argumentar que las matemáticas son indispensables para estas teorías. Es debido a esta eficacia irrazonable e indispensabilidad de las matemáticas que los filósofos Willard Quine y Hilary Putnam argumentan que deberíamos creer que los objetos matemáticos de los que dependen estas teorías realmente existen, es decir, deberíamos tener un compromiso ontológico con ellos. El argumento se describe mediante el siguiente silogismo : ^[6]

( Premisa 1) Debemos tener un compromiso ontológico con todas y sólo las entidades que son indispensables para nuestras mejores teorías científicas.

(Premisa 2) Las entidades matemáticas son indispensables para nuestras mejores teorías científicas.

( Conclusión ) Deberíamos tener un compromiso ontológico con las entidades matemáticas.

Este argumento resuena con una filosofía en matemáticas aplicadas llamada naturalismo ^[7] (o a veces predicativismo) ^[8] que establece que los únicos estándares autorizados sobre la existencia son los de la ciencia .

El platonismo afirma que los objetos matemáticos son vistos como entidades reales y abstractas que existen independientemente del pensamiento humano , a menudo en algún reino platónico . Así como existen objetos físicos como los electrones y los planetas , también existen los números y los conjuntos. Y así como las afirmaciones sobre los electrones y los planetas son verdaderas o falsas en función de que estos objetos contengan propiedades perfectamente objetivas , también lo son las afirmaciones sobre los números y los conjuntos. Los matemáticos descubren estos objetos en lugar de inventarlos. ^{[9] [10]} (Véase también: Platonismo matemático )

Algunos platónicos notables incluyen:

• Platón : El antiguo filósofo griego que, aunque no era matemático, sentó las bases del platonismo al postular la existencia de un reino abstracto de formas o ideas perfectas, lo que influyó en pensadores posteriores en matemáticas.
• Kurt Gödel : lógico y matemático del siglo XX, Gödel fue un firme defensor del platonismo matemático, y su trabajo en la teoría de modelos fue una gran influencia en el platonismo moderno.
• Roger Penrose : físico matemático contemporáneo, Penrose ha defendido una visión platónica de las matemáticas, sugiriendo que las verdades matemáticas existen en un ámbito de realidad abstracta que descubrimos. ^[11]

El nominalismo niega la existencia independiente de los objetos matemáticos. En cambio, sugiere que son meras ficciones convenientes o abreviaturas para describir relaciones y estructuras dentro de nuestro lenguaje y teorías. Según esta perspectiva, los objetos matemáticos no tienen una existencia más allá de los símbolos y conceptos que utilizamos. ^{[12] [13]}

Algunos nominalistas notables incluyen:

• Nelson Goodman : filósofo conocido por su trabajo en filosofía de la ciencia y nominalismo. Argumentó en contra de la existencia de objetos abstractos y propuso que los objetos matemáticos son meramente un producto de nuestras convenciones lingüísticas y simbólicas.
• Hartry Field : Filósofo contemporáneo que desarrolló una forma de nominalismo denominada « ficcionalismo », que sostiene que los enunciados matemáticos son ficciones útiles que no corresponden a ningún objeto abstracto real. ^[14]

El logicismo afirma que todas las verdades matemáticas pueden reducirse a verdades lógicas , y que todos los objetos que forman el objeto de estudio de esas ramas de las matemáticas son objetos lógicos. En otras palabras, las matemáticas son fundamentalmente una rama de la lógica , y todos los conceptos, teoremas y verdades matemáticas pueden derivarse de principios y definiciones puramente lógicas. El logicismo enfrentó desafíos, particularmente con los axiomas russilianos, el axioma multiplicativo (ahora llamado axioma de elección ) y su axioma de infinito , y más tarde con el descubrimiento de los teoremas de incompletitud de Gödel , que mostraron que cualquier sistema formal suficientemente poderoso (como los utilizados para expresar la aritmética ) no puede ser completo y consistente . Esto significaba que no todas las verdades matemáticas podían derivarse puramente de un sistema lógico, lo que socavaba el programa logicista. ^[15]

Algunos logicistas notables incluyen:

• Gottlob Frege : Frege es considerado a menudo el fundador del logicismo. En su obra Grundgesetze der Arithmetik (Leyes básicas de la aritmética), Frege intentó demostrar que la aritmética podía derivarse de axiomas lógicos. Desarrolló un sistema formal que pretendía expresar toda la aritmética en términos de lógica. El trabajo de Frege sentó las bases de gran parte de la lógica moderna y fue muy influyente, aunque encontró dificultades, en particular la paradoja de Russell , que reveló inconsistencias en el sistema de Frege. ^[16]
• Bertrand Russell : Russell, junto con Alfred North Whitehead , desarrollaron aún más el logicismo en su monumental obra Principia Mathematica . Intentaron derivar todas las matemáticas a partir de un conjunto de axiomas lógicos , utilizando una teoría de tipos para evitar las paradojas que encontró el sistema de Frege. Aunque Principia Mathematica fue enormemente influyente, el esfuerzo por reducir todas las matemáticas a la lógica fue visto en última instancia como incompleto. Sin embargo, hizo avanzar el desarrollo de la lógica matemática y la filosofía analítica . ^[17]

El formalismo matemático trata los objetos como símbolos dentro de un sistema formal . El enfoque se centra en la manipulación de estos símbolos según reglas específicas, más que en los objetos mismos. Una comprensión común del formalismo considera que las matemáticas no son un cuerpo de proposiciones que representan una parte abstracta de la realidad, sino que se asemejan más a un juego, que no conlleva un compromiso ontológico de objetos o propiedades mayor que el de jugar al parchís o al ajedrez . En esta perspectiva, las matemáticas tratan de la consistencia de los sistemas formales, más que del descubrimiento de objetos preexistentes. Algunos filósofos consideran que el logicismo es un tipo de formalismo. ^[18]

Algunos formalistas notables incluyen:

• David Hilbert : matemático destacado de principios del siglo XX, Hilbert es uno de los defensores más destacados del formalismo. Creía que las matemáticas son un sistema de reglas formales y que su verdad reside en la coherencia de estas reglas, más que en cualquier conexión con una realidad abstracta. ^[19]
• Hermann Weyl : matemático y filósofo alemán que, aunque no era estrictamente un formalista, contribuyó a las ideas formalistas, particularmente en su trabajo sobre los fundamentos de las matemáticas. ^[20]

El constructivismo matemático afirma que es necesario encontrar (o "construir") un ejemplo específico de un objeto matemático para probar que existe un ejemplo. En contraste, en las matemáticas clásicas, uno puede probar la existencia de un objeto matemático sin "encontrar" ese objeto explícitamente, asumiendo su no existencia y luego derivando una contradicción de esa suposición. Tal prueba por contradicción podría llamarse no constructiva, y un constructivista podría rechazarla. El punto de vista constructivista implica una interpretación verificacional del cuantificador existencial , que está en desacuerdo con su interpretación clásica. ^[21] Hay muchas formas de constructivismo. ^[22] Estas incluyen el programa del intuicionismo fundado por Brouwer , el finitismo de Hilbert y Bernays , las matemáticas recursivas constructivas de los matemáticos Shanin y Markov , y el programa de análisis constructivo de Bishop . ^[23] El constructivismo también incluye el estudio de teorías de conjuntos constructivos como el Zermelo-Fraenkel constructivo y el estudio de la filosofía.

El estructuralismo sugiere que los objetos matemáticos se definen por su lugar dentro de una estructura o sistema. La naturaleza de un número, por ejemplo, no está ligada a ninguna cosa en particular, sino a su papel dentro del sistema de la aritmética . En cierto sentido, la tesis es que los objetos matemáticos (si existen tales objetos) simplemente no tienen naturaleza intrínseca. ^{[24] [25]}

Algunos estructuralistas notables incluyen:

• Paul Benacerraf : Filósofo conocido por su trabajo en la filosofía de las matemáticas, particularmente su artículo "What Numbers Could Not Be", que aboga por una visión estructuralista de los objetos matemáticos.
• Stewart Shapiro : Otro filósofo destacado que ha desarrollado y defendido el estructuralismo, especialmente en su libro Filosofía de las matemáticas: estructura y ontología . ^[26]

Frege distinguió entre funciones y objetos . ^[28] Según su punto de vista, una función es un tipo de entidad "incompleta" que asigna argumentos a valores y se denota por una expresión incompleta, mientras que un objeto es una entidad "completa" y puede denotarse por un término singular. Frege redujo las propiedades y relaciones a funciones y, por lo tanto, estas entidades no se incluyen entre los objetos. Algunos autores hacen uso de la noción de "objeto" de Frege cuando discuten objetos abstractos. ^[29] Pero aunque el sentido de "objeto" de Frege es importante, no es la única forma de usar el término. Otros filósofos incluyen propiedades y relaciones entre los objetos abstractos. Y cuando el contexto de fondo para discutir objetos es la teoría de tipos , las propiedades y relaciones de tipo superior (por ejemplo, propiedades de propiedades y propiedades de relaciones) pueden considerarse todas "objetos". Este último uso de "objeto" es intercambiable con "entidad". Es esta interpretación más amplia a la que se refieren los matemáticos cuando usan el término "objeto". ^[30]

• Operaciones algebraicas
• Funciones algebraicas
• Expresiones algebraicas
• Polinomios

• Escalares , Vectores
• Matrices , tensores
• Núcleo
• Tramo lineal
• Bases
• Mapas lineales
• Paralelepípedo

• Grupos
• Anillos , Módulos
• monoides
• Campos , espacios vectoriales
• Álgebras
• Complejos de cadena
• Operaciones
• Redes de teoría de grupos , Redes de teoría de órdenes

• Funciones continuas , Funciones diferenciables , Funciones analíticas
• Funciones patológicas
  • Función de Weierstrass : se utiliza comúnmente como ejemplo de una función continua y no diferenciable en ninguna parte.
  • Función de Dirichlet : se utiliza comúnmente como ejemplo de una función continua en ninguna parte .
  • Función de protuberancia : se utiliza comúnmente como ejemplo de una función suave no analítica.
• Derivada , gradiente
• Integral
• Matriz jacobiana

• Infinitesimales
• Fluxión

• Función delta de Dirac
• Función escalonada de Heaviside
• Transformada de Laplace

• Categorías
• Funcionales
• Morfismos
• objetos
• Transformaciones naturales

Las categorías son al mismo tiempo el hogar de objetos matemáticos y objetos matemáticos en sí mismos. En la teoría de la demostración , las demostraciones y los teoremas también son objetos matemáticos.

• permutaciones , alteraciones , combinaciones

• Estructuras de datos
  • Matrices
  • Listas enlazadas
  • Tablas hash
  • Pilas y colas
  • Montón
  • Gráficos
  • Árboles
• Objetos
• Números enteros
• Flotadores
• Variables
• Idiomas

• Puntos , Líneas , Segmentos de línea ,
• Politopos , Politopos regulares
  • Polígonos - politopo bidimensional
    • Polígono convexo
      • Triángulos
      • Cuadrícula
      • Pentágonos
      • Hexágonos
  • Poliedros Politopo tridimensional
    • Sólidos platónicos
      • Tetraedro
      • Cubo
      • Octaedro
      • Dodecaedro
      • Icosaedro
• Secciones cónicas
  • Círculos
  • Elipses
  • Parábolas
  • Hipérbolas
• Esferas , Elipsoides , Paraboloides , Hiperboloides ,
• Cilindros , Conos

• Conjunto de Mandelbrot
• Julia establece
• Triángulo de Sierpinski
• Alfombra Sierpiński , esponja Menger
• Conjunto de cantor

• Gráficos , árboles , nodos y aristas

• Valores de verdad
• Conectivas lógicas
• Proposiciones y predicados
• Fórmulas
• Términos
• Firmas

• Números
  • Números naturales
  • Números enteros
  • Números racionales
• Operaciones aritméticas
  • Suma
  • Sustracción
  • Multiplicación
  • División
  • Exponentes
• Fracciones
• Función sucesora

• Conjuntos , particiones de conjuntos
• Funciones y relaciones
• Relación de membresía
• Números cardinales
• Números ordinales

• Conjuntos cerrados
• Filtros
• Barrios
• Redes
• Conjuntos abiertos
• Espacios topológicos
• Uniformidades
• Colectores
  • Atlas
  • Gráficos
• Cinta de Möbius , botella de Klein

• Grupos de cohomología
• Grupos de cohomotopía ^[31]
• Grupos de homología
• Grupos de homotopía

• Nudos
  • Desenredar
  • Nudo de trébol

• Agujeros
• Toros
• Esfera con cuernos de Alejandro

• Variedades diferenciables
• Bolas peludas

• Objeto abstracto
• Objeto imposible
• Lista de figuras matemáticas
• Lista de formas
• Lista de superficies
• Lista de figuras geométricas bidimensionales
• Estructura matemática

Fuentes citadas

Lectura adicional

• Azzouni, J., 1994. Mitos metafísicos, práctica matemática . Cambridge University Press.
• Burgess, John, y Rosen, Gideon, 1997. Un sujeto sin objeto . Oxford Univ. Press.
• Davis, Philip y Reuben Hersh , 1999 [1981]. La experiencia matemática . Mariner Books: 156–62.
• Gold, Bonnie y Simons, Roger A., ​​2011. Prueba y otros dilemas: matemáticas y filosofía . Asociación Matemática de América.
• Hersh, Reuben, 1997. ¿Qué son realmente las matemáticas? Oxford University Press.
• Sfard, A. , 2000, "Simbolizar la realidad matemática para que exista, o cómo el discurso matemático y los objetos matemáticos se crean mutuamente", en Cobb, P., et al. , Simbolizar y comunicar en las aulas de matemáticas: Perspectivas sobre el discurso, las herramientas y el diseño instruccional . Lawrence Erlbaum.
• Stewart Shapiro , 2000. Pensando en las matemáticas: La filosofía de las matemáticas . Oxford University Press.

• Enciclopedia de Filosofía de Stanford : "Objetos abstractos", por Gideon Rosen.
• Wells, Charles. "Objetos matemáticos".
• AMOF: La asombrosa fábrica de objetos matemáticos
• Exposición de objetos matemáticos