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Geometría

La geometría [ a ] [ 1 ] es una rama de las matemáticas que se ocupa de las propiedades del espacio, como la distancia, la forma, el tamaño y la posición relativa de las figuras...

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La geometría [ a ] [ 1 ] es una rama de las matemáticas que se ocupa de las propiedades del espacio, como la distancia, la forma, el tamaño y la posición relativa de las figuras. [ 2 ] La geometría es, junto con la aritmética , una de las ramas más antiguas de las matemáticas. Un matemático que trabaja en el campo de la geometría se llama geómetra . Hasta el siglo XIX, la geometría se dedicaba casi exclusivamente a la geometría euclidiana , [ b ] que incluye las nociones de punto , línea , plano , distancia , ángulo , superficie y curva , como conceptos fundamentales. [ 3 ]

Originalmente desarrollada para modelar el mundo físico, la geometría tiene aplicaciones en casi todas las ciencias, así como en el arte, la arquitectura y otras actividades relacionadas con los gráficos. [ 4 ] La geometría también tiene aplicaciones en áreas de las matemáticas aparentemente no relacionadas. Por ejemplo, los métodos de la geometría algebraica son fundamentales en la demostración del Último Teorema de Fermat por Wiles , un problema que se planteó en términos de aritmética elemental y permaneció sin resolver durante varios siglos.

Durante el siglo XIX, varios descubrimientos ampliaron drásticamente el alcance de la geometría. Uno de los más antiguos es el Teorema Egregium ("teorema notable") de Carl Friedrich Gauss , que afirma, a grandes rasgos, que la curvatura gaussiana de una superficie es independiente de cualquier inmersión específica en un espacio euclidiano . Esto implica que las superficies pueden estudiarse intrínsecamente , es decir, como espacios independientes, y se ha extendido a la teoría de las variedades y la geometría riemanniana . Más adelante, en el siglo XIX, se descubrió que las geometrías sin el postulado de las paralelas ( geometrías no euclidianas ) pueden desarrollarse sin introducir ninguna contradicción. La geometría subyacente a la relatividad general es una aplicación famosa de la geometría no euclidiana.

Desde finales del siglo XIX, el alcance de la geometría se ha expandido enormemente y el campo se ha dividido en numerosos subcampos que dependen de los métodos subyacentes —geometría diferencial , geometría algebraica , geometría computacional , topología algebraica , geometría discreta (también conocida como geometría combinatoria ), etc.— o de las propiedades de los espacios euclidianos que se omiten —geometría proyectiva que considera únicamente la alineación de puntos pero no la distancia ni el paralelismo, geometría afín que omite el concepto de ángulo y distancia, geometría finita que omite la continuidad , entre otras—. Esta ampliación del alcance de la geometría conllevó un cambio de significado de la palabra «espacio», que originalmente se refería al espacio tridimensional del mundo físico y a su modelo proporcionado por la geometría euclidiana; actualmente, un espacio geométrico , o simplemente un espacio, es una estructura matemática sobre la que se define alguna geometría.

Historia

Un europeo y un árabe practicando geometría en el siglo XV.

Los primeros registros de geometría se remontan a la antigua Mesopotamia y Egipto en el segundo milenio a. C. [ 5 ] [ 6 ] La geometría temprana era una colección de principios descubiertos empíricamente sobre longitudes, ángulos, áreas y volúmenes, que se desarrollaron para satisfacer alguna necesidad práctica en topografía , construcción , astronomía y diversas artesanías. Los textos más antiguos conocidos sobre geometría son el Papiro de Rhind egipcio (2000-1800 a. C.) y el Papiro de Moscú ( c. 1890 a. C. ), y las tablillas de arcilla babilónicas , como Plimpton 322 (1900 a. C.). Por ejemplo, el Papiro de Moscú proporciona una fórmula para calcular el volumen de una pirámide truncada, o tronco de pirámide . [ 7 ] Tablillas de arcilla posteriores (350-50 a. C.) demuestran que los astrónomos babilonios implementaron procedimientos trapezoidales para calcular la posición y el movimiento de Júpiter en el espacio tiempo-velocidad. Estos procedimientos geométricos anticiparon las Calculadoras de Oxford , incluido el teorema de la velocidad media , en 14 siglos. [ 8 ] Al sur de Egipto, los antiguos nubios establecieron un sistema de geometría que incluía versiones tempranas de relojes solares. [ 9 ] [ 10 ]

En el siglo VII a. C., el matemático griego Tales de Mileto utilizó la geometría para resolver problemas como el cálculo de la altura de las pirámides y la distancia de los barcos a la costa. Se le atribuye el primer uso del razonamiento deductivo aplicado a la geometría, al derivar cuatro corolarios del teorema de Tales . [ 11 ] Pitágoras fundó la Escuela Pitagórica , a la que se le atribuye la primera demostración del teorema de Pitágoras , [ 12 ] aunque el enunciado del teorema tiene una larga historia. [ 13 ] [ 14 ] Eudoxo (408– c. 355 a. C. ) desarrolló el método de agotamiento , que permitió el cálculo de áreas y volúmenes de figuras curvilíneas, [ 15 ] así como una teoría de las razones que evitó el problema de las magnitudes inconmensurables , lo que permitió a los geómetras posteriores realizar avances significativos. Alrededor del año 300 a. C., Euclides revolucionó la geometría con sus Elementos , considerados por muchos el libro de texto más exitoso e influyente de todos los tiempos. [ 16 ] Introdujeron el rigor matemático mediante el método axiomático y constituyen el primer ejemplo del formato que aún se utiliza en matemáticas hoy en día: definición, axioma, teorema y demostración. Aunque la mayor parte del contenido de los Elementos ya era conocido, Euclides lo organizó en un marco lógico único y coherente. [ 17 ] Los Elementos fueron conocidos por todas las personas instruidas en Occidente hasta mediados del siglo XX y su contenido todavía se enseña en las clases de geometría hoy en día. [ 18 ] Arquímedes ( c. 287-212 a. C. ) de Siracusa, Italia, utilizó el método de agotamiento para calcular el área bajo el arco de una parábola mediante la suma de una serie infinita y obtuvo aproximaciones notablemente precisas de pi . [ 19 ] También estudió la espiral que lleva su nombre y obtuvo fórmulas para los volúmenes de superficies de revolución .

Mujer enseñando geometría . Ilustración al comienzo de una traducción medieval de los Elementos de Euclides , c. 1310 .

Los matemáticos indios también hicieron muchas contribuciones importantes a la geometría. El Shatapatha Brahmana (siglo III a. C.) contiene reglas para construcciones geométricas rituales que son similares a los Sulba Sutras . [ 20 ] Según ( Hayashi 2005 , p. 363) , los Sutras de Śulba contienen "la expresión verbal más antigua existente del Teorema de Pitágoras en el mundo, aunque ya era conocido por los antiguos babilonios. Contienen listas de ternas pitagóricas , [ c ] que son casos particulares de ecuaciones diofánticas . [ 21 ] En el manuscrito de Bakhshali , hay un puñado de problemas geométricos (incluidos problemas sobre volúmenes de sólidos irregulares). El manuscrito de Bakhshali también "emplea un sistema de valor posicional decimal con un punto para el cero". [ 22 ] El Aryabhatiya de Aryabhata (499) incluye el cálculo de áreas y volúmenes. Brahmagupta escribió su obra astronómica Brāhmasphuṭasiddhānta en 628. El capítulo 12, que contiene 66 versos en sánscrito , estaba dividido en dos secciones: "Operaciones básicas" (incluyendo raíces cúbicas, fracciones, razón y proporción, e intercambio) y "matemáticas prácticas" (incluyendo mezclas, series matemáticas, figuras planas, apilamiento de ladrillos, aserrado de madera y apilamiento de grano). [ 23 ] En esta última sección, enunció su famoso teorema sobre las diagonales de un cuadrilátero cíclico . El capítulo 12 también incluía una fórmula para el área de un cuadrilátero cíclico (una generalización de la fórmula de Herón ), así como una descripción completa de triángulos racionales ( es decir , triángulos con lados racionales y áreas racionales). [ 23 ] 

En la Edad Media , las matemáticas en el Islam medieval contribuyeron al desarrollo de la geometría, especialmente la geometría algebraica . [ 24 ] [ 25 ] Al-Mahani (n. 853) concibió la idea de reducir problemas geométricos como duplicar el cubo a problemas en álgebra. [ 26 ] Thābit ibn Qurra (conocido como Thebit en latín ) (836–901) trató las operaciones aritméticas aplicadas a razones de cantidades geométricas y contribuyó al desarrollo de la geometría analítica . [ 27 ] Omar Khayyam (1048–1131) encontró soluciones geométricas a ecuaciones cúbicas . [ 28 ] Los teoremas de Ibn al-Haytham (Alhazen), Omar Khayyam y Nasir al-Din al-Tusi sobre cuadriláteros , incluyendo el cuadrilátero de Lambert y el cuadrilátero de Saccheri , fueron parte de una línea de investigación sobre el postulado de las paralelas continuada por geómetras europeos posteriores, incluyendo a Vitello ( c. 1230 – c. 1314 ), Gersonides (1288–1344), Alfonso, John Wallis y Giovanni Girolamo Saccheri , que en el siglo XIX condujo al descubrimiento de la geometría hiperbólica . [ 29 ] 

A principios del siglo XVII, se produjeron dos importantes avances en geometría. El primero fue la creación de la geometría analítica, o geometría con coordenadas y ecuaciones , por René Descartes (1596-1650) y Pierre de Fermat (1601-1665). [ 30 ] Este fue un precursor necesario para el desarrollo del cálculo y una ciencia cuantitativa precisa de la física . [ 31 ] El segundo avance geométrico de este período fue el estudio sistemático de la geometría proyectiva por Girard Desargues (1591-1661). [ 32 ] La geometría proyectiva estudia las propiedades de las formas que permanecen inalteradas bajo proyecciones y secciones , especialmente en lo que respecta a la perspectiva artística . [ 33 ]

Dos avances en geometría durante el siglo XIX cambiaron la forma en que se había estudiado hasta entonces. [ 34 ] Estos fueron el descubrimiento de las geometrías no euclidianas por Nikolai Ivanovich Lobachevsky, János Bolyai y Carl Friedrich Gauss, y la formulación de la simetría como consideración central en el programa de Erlangen de Felix Klein (que generalizó las geometrías euclidianas y no euclidianas). Dos de los geómetras más destacados de la época fueron Bernhard Riemann (1826-1866), quien trabajó principalmente con herramientas del análisis matemático e introdujo la superficie de Riemann , y Henri Poincaré , fundador de la topología algebraica y la teoría geométrica de los sistemas dinámicos . Como consecuencia de estos importantes cambios en la concepción de la geometría, el concepto de " espacio " se volvió rico y variado, y el trasfondo natural para teorías tan diferentes como el análisis complejo y la mecánica clásica . [ 35 ]

Conceptos principales

A continuación se presentan algunos de los conceptos más importantes en geometría. [ 3 ] [ 36 ]

Axiomas

Una ilustración del postulado de las paralelas de Euclides.

Euclides adoptó un enfoque abstracto de la geometría en sus Elementos , [ 37 ] uno de los libros más influyentes jamás escritos. [ 38 ] Euclides introdujo ciertos axiomas , o postulados , que expresaban propiedades primarias o evidentes de puntos, líneas y planos. [ 39 ] Procedió a deducir rigurosamente otras propiedades mediante el razonamiento matemático. El rasgo distintivo del enfoque euclidiano de la geometría fue su rigor, y se la conoce como geometría axiomática o sintética . [ 40 ] A principios del siglo XIX, el descubrimiento de geometrías no euclidianas por Nikolai Ivanovich Lobachevsky (1792–1856), János Bolyai (1802–1860), Carl Friedrich Gauss (1777–1855) y otros [ 41 ] condujo a un resurgimiento del interés en esta disciplina, y en el siglo XX, David Hilbert (1862–1943) empleó el razonamiento axiomático en un intento de proporcionar una base moderna de la geometría. [ 42 ]

Espacios y subespacios

Agujas

Los puntos se consideran generalmente objetos fundamentales para la construcción geométrica. Pueden definirse por las propiedades que deben poseer, como en la definición euclidiana de «aquello que no tiene parte» [ 43 ] o en la geometría sintética . En matemáticas modernas, se definen generalmente como elementos de un conjunto llamado espacio , que a su vez está definido axiomáticamente .

Con estas definiciones modernas, cada figura geométrica se define como un conjunto de puntos; este no es el caso en la geometría sintética, donde una línea es otro objeto fundamental que no se considera como el conjunto de los puntos por los que pasa.

Sin embargo, existen geometrías modernas en las que los puntos no son objetos primitivos, o incluso carecen de ellos. [ 44 ] [ 45 ] Una de las geometrías más antiguas de este tipo es la geometría sin puntos de Whitehead , formulada por Alfred North Whitehead en 1919-1920.

Pauta

Euclides describió una línea como una «longitud sin anchura» que «estar a la misma altura con respecto a los puntos que la componen». [ 43 ] En matemáticas modernas, dada la multitud de geometrías, el concepto de línea está estrechamente ligado a la forma en que se describe la geometría. Por ejemplo, en geometría analítica , una línea en el plano se define a menudo como el conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfacen una ecuación lineal dada , [ 46 ] pero en un contexto más abstracto, como la geometría de incidencia , una línea puede ser un objeto independiente, distinto del conjunto de puntos que se encuentran sobre ella. [ 47 ] En geometría diferencial, una geodésica es una generalización de la noción de línea a espacios curvos . [ 48 ]

Aviones

En geometría euclidiana, un plano es una superficie plana bidimensional que se extiende infinitamente; [ 43 ] las definiciones de otros tipos de geometrías son generalizaciones de esta. Los planos se utilizan en muchas áreas de la geometría. Por ejemplo, los planos pueden estudiarse como una superficie topológica sin referencia a distancias o ángulos; [ 49 ] pueden estudiarse como un espacio afín , donde se pueden estudiar la colinealidad y las razones, pero no las distancias; [ 50 ] pueden estudiarse como el plano complejo utilizando técnicas de análisis complejo ; [ 51 ] y así sucesivamente.

Curvas

Una curva es un objeto unidimensional que puede ser recto (como una línea) o no; las curvas en el espacio bidimensional se denominan curvas planas y las del espacio tridimensional se denominan curvas espaciales . [ 52 ]

En topología, una curva se define mediante una función que va de un intervalo de los números reales a otro espacio. [ 49 ] En geometría diferencial, se utiliza la misma definición, pero se requiere que la función que la define sea diferenciable. [ 53 ] La geometría algebraica estudia las curvas algebraicas , que se definen como variedades algebraicas de dimensión uno. [ 54 ]

Superficies

Una esfera es una superficie que puede definirse paramétricamente (por x = r sin θ cos φ , y = r sin θ sin φ , z = r cos θ ) o implícitamente (por x 2 + y 2 + z 2 − r 2 = 0 ).

Una superficie es un objeto bidimensional, como una esfera o un paraboloide. [ 55 ] En geometría diferencial [ 53 ] y topología , [ 49 ] las superficies se describen mediante «parches» bidimensionales (o vecindades ) que se ensamblan mediante difeomorfismos u homeomorfismos , respectivamente. En geometría algebraica, las superficies se describen mediante ecuaciones polinómicas . [ 54 ]

Sólidos

En el espacio euclidiano , una bola es el volumen delimitado por una esfera.

Un sólido es un objeto tridimensional delimitado por una superficie cerrada; por ejemplo, una bola es el volumen delimitado por una esfera.

Colectores

Una variedad es una generalización de los conceptos de curva y superficie. En topología , una variedad es un espacio topológico donde cada punto tiene un entorno homeomorfo al espacio euclidiano. [ 49 ] En geometría diferencial , una variedad diferenciable es un espacio donde cada entorno es difeomorfo al espacio euclidiano. [ 53 ]

Las variedades se utilizan ampliamente en física, incluyendo la relatividad general y la teoría de cuerdas . [ 56 ]

Anglos

Ángulos agudos (a), obtusos (b) y llanos (c). Los ángulos agudos y obtusos también se conocen como ángulos oblicuos.

Euclides define un ángulo plano como la inclinación entre sí, en un plano, de dos líneas que se encuentran y no son rectas entre sí. [ 43 ] En términos modernos, un ángulo es la figura formada por dos rayos , llamados lados del ángulo, que comparten un punto final común, llamado vértice del ángulo. [ 57 ] El tamaño de un ángulo se formaliza como una medida angular .

En geometría euclidiana , los ángulos se utilizan para estudiar polígonos y triángulos , además de constituir un objeto de estudio en sí mismos. [ 43 ] El estudio de los ángulos de un triángulo o de los ángulos de un círculo unitario constituye la base de la trigonometría . [ 58 ]

En geometría diferencial y cálculo , los ángulos entre curvas planas , curvas espaciales o superficies se pueden calcular utilizando la derivada . [ 59 ] [ 60 ]

Medidas: longitud, área y volumen

La longitud , el área y el volumen describen el tamaño o la extensión de un objeto en una dimensión, dos dimensiones y tres dimensiones, respectivamente.

En geometría euclidiana y geometría analítica , la longitud de un segmento de línea a menudo se puede calcular mediante el teorema de Pitágoras . [ 61 ]

El área y el volumen pueden definirse como magnitudes fundamentales independientes de la longitud, o bien pueden describirse y calcularse en función de longitudes en un plano o en un espacio tridimensional. Los matemáticos han encontrado numerosas fórmulas explícitas para el área y fórmulas para el volumen de diversos objetos geométricos. En cálculo , el área y el volumen pueden definirse mediante integrales , como la integral de Riemann [ 62 ] o la integral de Lebesgue [ 63 ] .

Otras medidas geométricas incluyen la curvatura y la compacidad .

Métricas y medidas

Verificación visual del teorema de Pitágoras para el triángulo (3, 4, 5) como en el Zhoubi Suanjing 500–200  a. C. El teorema de Pitágoras es una consecuencia de la métrica euclidiana .

El concepto de longitud o distancia puede generalizarse, dando lugar a la idea de métricas . [ 64 ] Por ejemplo, la métrica euclidiana mide la distancia entre puntos en el plano euclidiano , mientras que la métrica hiperbólica mide la distancia en el plano hiperbólico . Otros ejemplos importantes de métricas incluyen la métrica de Lorentz de la relatividad especial y las métricas semirriemannianas de la relatividad general . [ 65 ]

En otra dirección, los conceptos de longitud, área y volumen se extienden mediante la teoría de la medida , que estudia métodos para asignar un tamaño o medida a conjuntos , donde las medidas siguen reglas similares a las del área y el volumen clásicos. [ 66 ]

Congruencia y semejanza

La congruencia y la semejanza son conceptos que describen cuándo dos formas tienen características similares. [ 67 ] En la geometría euclidiana, la semejanza se utiliza para describir objetos que tienen la misma forma, mientras que la congruencia se utiliza para describir objetos que son iguales tanto en tamaño como en forma. [ 68 ] Hilbert , en su trabajo sobre la creación de una base más rigurosa para la geometría, trató la congruencia como un término indefinido cuyas propiedades están definidas por axiomas .

La congruencia y la semejanza se generalizan en la geometría de transformaciones , que estudia las propiedades de los objetos geométricos que se conservan mediante diferentes tipos de transformaciones. [ 69 ]

Construcciones con compás y regla

Los geómetras clásicos prestaron especial atención a la construcción de objetos geométricos descritos previamente. Clásicamente, los únicos instrumentos utilizados en la mayoría de las construcciones geométricas eran el compás y la regla . [ d ] Además, cada construcción debía completarse en un número finito de pasos. Sin embargo, algunos problemas resultaron difíciles o imposibles de resolver únicamente con estos medios, por lo que se idearon construcciones ingeniosas que empleaban neusis , parábolas y otras curvas, o dispositivos mecánicos.

Rotación y orientación

Los conceptos geométricos de rotación y orientación definen parte de la ubicación de los objetos incrustados en el plano o en el espacio.

Dimensión

El copo de nieve de Koch , con dimensión fractal =log4/log3 y dimensión topológica =1

La geometría tradicional permitía las dimensiones 1 (una línea o curva), 2 (un plano o superficie) y 3 (nuestro mundo circundante concebido como un espacio tridimensional ). Además, matemáticos y físicos han utilizado dimensiones superiores durante casi dos siglos. [ 70 ] Un ejemplo de uso matemático de dimensiones superiores es el espacio de configuración de un sistema físico, cuya dimensión es igual a los grados de libertad del sistema . Por ejemplo, la configuración de un tornillo se puede describir mediante cinco coordenadas. [ 71 ]

En topología general , el concepto de dimensión se ha extendido desde los números naturales hasta la dimensión infinita ( espacios de Hilbert , por ejemplo) y los números reales positivos (en geometría fractal ). [ 72 ] En geometría algebraica , la dimensión de una variedad algebraica ha recibido varias definiciones aparentemente diferentes, que son equivalentes en los casos más comunes. [ 73 ]

Simetría

Un recubrimiento del plano hiperbólico

El tema de la simetría en geometría es casi tan antiguo como la ciencia de la geometría misma. [ 74 ] Las formas simétricas como el círculo , los polígonos regulares y los sólidos platónicos tenían un profundo significado para muchos filósofos antiguos [ 75 ] y fueron investigadas en detalle antes de la época de Euclides. [ 39 ] Los patrones simétricos se dan en la naturaleza y fueron representados artísticamente en multitud de formas, incluyendo los gráficos de Leonardo da Vinci , MC Escher y otros. [ 76 ] En la segunda mitad del siglo XIX, la relación entre simetría y geometría fue objeto de un intenso escrutinio. El programa de Erlangen de Felix Klein proclamó que, en un sentido muy preciso, la simetría, expresada a través de la noción de un grupo de transformación , determina qué es la geometría . [ 77 ] La simetría en la geometría euclidiana clásica está representada por congruencias y movimientos rígidos, mientras que en la geometría proyectiva un papel análogo lo desempeñan las colineaciones , transformaciones geométricas que convierten líneas rectas en líneas rectas. [ 78 ] Sin embargo, fue en las nuevas geometrías de Bolyai y Lobachevsky, Riemann, Clifford y Klein, y Sophus Lie donde la idea de Klein de «definir una geometría a través de su grupo de simetría » encontró su inspiración. [ 79 ] Tanto las simetrías discretas como las continuas desempeñan papeles prominentes en geometría, las primeras en topología y teoría geométrica de grupos , [ 80 ] [ 81 ] las segundas en la teoría de Lie y la geometría riemanniana . [ 82 ] [ 83 ]

Otro tipo de simetría es el principio de dualidad en geometría proyectiva , entre otros campos. Este metafenómeno puede describirse a grandes rasgos de la siguiente manera: en cualquier teorema , intercambiamos punto con plano , unimos con encuentro , está en con contiene , y el resultado es un teorema igualmente verdadero. [ 84 ] Una forma de dualidad similar y estrechamente relacionada existe entre un espacio vectorial y su espacio dual . [ 85 ]

Geometría contemporánea

Geometría euclidiana

La geometría euclidiana es la geometría en su sentido clásico. [ 86 ] Dado que modela el espacio del mundo físico, se utiliza en muchas áreas científicas, como la mecánica , la astronomía , la cristalografía , [ 87 ] y muchos campos técnicos, como la ingeniería , [ 88 ] la arquitectura , [ 89 ] la geodesia , [ 90 ] la aerodinámica , [ 91 ] y la navegación . [ 92 ] El currículo educativo obligatorio de la mayoría de las naciones incluye el estudio de conceptos euclidianos como puntos , líneas , planos , ángulos , triángulos , congruencia , semejanza , figuras sólidas , círculos y geometría analítica . [ 93 ]

Vectores euclidianos

Los vectores euclidianos se utilizan para una infinidad de aplicaciones en física e ingeniería, como posición , desplazamiento , deformación , velocidad , aceleración , fuerza , etc.

Geometría diferencial

La geometría diferencial utiliza herramientas del cálculo para estudiar problemas que implican curvatura.

La geometría diferencial utiliza técnicas de cálculo y álgebra lineal para estudiar problemas en geometría. [ 94 ] Tiene aplicaciones en física , [ 95 ] econometría , [ 96 ] y bioinformática , [ 97 ] entre otras.

En particular, la geometría diferencial es importante para la física matemática debido a la postulación de la relatividad general de Albert Einstein de que el universo es curvo . [ 98 ] La geometría diferencial puede ser intrínseca (lo que significa que los espacios que considera son variedades diferenciables cuya estructura geométrica está regida por una métrica riemanniana , que determina cómo se miden las distancias cerca de cada punto) o extrínseca (donde el objeto de estudio es parte de algún espacio euclidiano plano ambiente). [ 99 ]

Geometría no euclidiana

La geometría no euclidiana consta de dos geometrías basadas en axiomas estrechamente relacionados con los que definen la geometría euclidiana . Dado que la geometría euclidiana se sitúa en la intersección de la geometría métrica y la geometría afín , la geometría no euclidiana surge al sustituir el postulado de las paralelas por una alternativa, o al considerar formas cuadráticas distintas de las definidas asociadas a la geometría métrica . En el primer caso, se obtienen la geometría hiperbólica y la geometría elíptica , las geometrías no euclidianas tradicionales. Cuando se admiten formas cuadráticas isotrópicas , aparecen planos afines asociados a las álgebras planas , que dan lugar a geometrías cinemáticas también denominadas geometría no euclidiana.

Topología

Un engrosamiento del nudo de trébol

La topología es el campo que se ocupa de las propiedades de las aplicaciones continuas [ 100 ] y puede considerarse una generalización de la geometría euclidiana [ 101 ] . En la práctica, la topología suele implicar el estudio de propiedades de los espacios a gran escala, como la conectividad y la compacidad [ 49 ] .

El campo de la topología, que experimentó un desarrollo masivo en el siglo XX, es, en un sentido técnico, un tipo de geometría de transformaciones , en la que las transformaciones son homeomorfismos . [ 102 ] Esto se ha expresado a menudo con la expresión «la topología es geometría de láminas de goma». Entre los subcampos de la topología se incluyen la topología geométrica , la topología diferencial , la topología algebraica y la topología general . [ 103 ]

Geometría algebraica

Triple Calabi-Yau quíntico

La geometría algebraica es fundamentalmente el estudio, mediante métodos algebraicos , de ciertas formas geométricas, llamadas conjuntos algebraicos , y definidas como ceros comunes de polinomios multivariados . [ 104 ] La geometría algebraica se convirtió en un subcampo autónomo de la geometría hacia 1900 , con un teorema llamado Teorema de los Nulos de Hilbert que establece una fuerte correspondencia entre conjuntos algebraicos e ideales de anillos de polinomios . Esto condujo a un desarrollo paralelo de la geometría algebraica y su contraparte algebraica, llamada álgebra conmutativa . [ 105 ] Desde finales de la década de 1950 hasta mediados de la década de 1970, la geometría algebraica experimentó un importante desarrollo fundamental, con la introducción por Alexander Grothendieck de la teoría de esquemas , que permite utilizar métodos topológicos , incluidas las teorías de cohomología en un contexto puramente algebraico. [ 105 ] La teoría de esquemas permitió resolver muchos problemas difíciles no solo en geometría, sino también en teoría de números . La demostración de Wiles del Último Teorema de Fermat es un ejemplo famoso de un problema de larga data en teoría de números cuya solución utiliza la teoría de esquemas y sus extensiones, como la teoría de pilas . Uno de los siete problemas del Premio del Milenio , la conjetura de Hodge , es una cuestión de geometría algebraica. [ 106 ]

La geometría algebraica tiene aplicaciones en muchas áreas, incluyendo la criptografía [ 107 ] y la teoría de cuerdas . [ 108 ]

Geometría compleja

La geometría compleja estudia la naturaleza de las estructuras geométricas modeladas en el plano complejo o que surgen de él . [ 109 ] [ 110 ] [ 111 ] La geometría compleja se sitúa en la intersección de la geometría diferencial, la geometría algebraica y el análisis de varias variables complejas , y ha encontrado aplicaciones en la teoría de cuerdas y la simetría especular . [ 112 ]

La geometría compleja apareció por primera vez como un área de estudio distinta en la obra de Bernhard Riemann en su estudio de las superficies de Riemann . [ 113 ] [ 114 ] [ 115 ] La escuela italiana de geometría algebraica llevó a cabo trabajos inspirados en Riemann a principios del siglo XX. El tratamiento contemporáneo de la geometría compleja comenzó con la obra de Jean-Pierre Serre , quien introdujo el concepto de haces en el tema e iluminó las relaciones entre la geometría compleja y la geometría algebraica. [ 116 ] [ 117 ] Los principales objetos de estudio en geometría compleja son las variedades complejas , las variedades algebraicas complejas y las variedades analíticas complejas , así como los haces vectoriales holomorfos y los haces coherentes sobre estos espacios. Ejemplos especiales de espacios estudiados en geometría compleja incluyen las superficies de Riemann y las variedades de Calabi-Yau , y estos espacios encuentran aplicaciones en la teoría de cuerdas. En particular, las superficies de mundo de las cuerdas se modelan mediante superficies de Riemann, y la teoría de supercuerdas predice que las 6 dimensiones adicionales del espaciotiempo de 10 dimensiones pueden modelarse mediante variedades de Calabi-Yau.

Geometría discreta

La geometría discreta incluye el estudio de diversos empaquetamientos de esferas .

La geometría discreta es una disciplina que tiene estrechas conexiones con la geometría convexa . [ 118 ] [ 119 ] [ 120 ] Se ocupa principalmente de cuestiones de posición relativa de objetos geométricos simples, como puntos, líneas y círculos. Algunos ejemplos incluyen el estudio de empaquetamientos de esferas , triangulaciones , la conjetura de Kneser-Poulsen, etc. [ 121 ] [ 122 ] Comparte muchos métodos y principios con la combinatoria .

Geometría computacional

La geometría computacional se ocupa de los algoritmos y sus implementaciones para manipular objetos geométricos. Históricamente, algunos problemas importantes han incluido el problema del viajante , los árboles de expansión mínima , la eliminación de líneas ocultas y la programación lineal . [ 123 ]

Aunque es un área joven de la geometría, tiene muchas aplicaciones en visión por computadora , procesamiento de imágenes , diseño asistido por computadora , imágenes médicas , etc. [ 124 ]

teoría geométrica de grupos

El gráfico de Cayley del grupo libre en dos generadores a y b.

Los grupos se han entendido como objetos geométricos desde el programa de Erlangen de Klein . La teoría geométrica de grupos estudia las acciones de grupos sobre objetos considerados geométricos (en particular, acciones isométricas sobre espacios métricos ) para estudiar grupos finitamente generados , a menudo empleando técnicas geométricas a gran escala [ 125 ] y tomando prestados conceptos de la topología, la geometría, la dinámica y el análisis [ 126 ] . Tuvo un impacto significativo en la topología de baja dimensión , siendo un resultado célebre la demostración de Agol de la conjetura virtual de Haken , que combina la geometrización de Perelman con técnicas de cubulación [ 127 ] .

Las acciones de grupo en sus grafos de Cayley son ejemplos fundamentales de acciones de grupo isométricas. Otros temas importantes incluyen cuasi-isometrías , grupos hiperbólicos de Gromov y sus generalizaciones ( grupos hiperbólicos relativos y acilíndricos ), grupos libres y sus automorfismos , grupos que actúan sobre árboles , diversas nociones de curvatura no positiva para grupos ( grupos CAT(0) , funciones de Dehn , automaticidad ...), grupos de Artin de ángulo recto y temas cercanos a la teoría combinatoria de grupos, como la teoría de cancelación pequeña y los problemas algorítmicos (por ejemplo, los problemas de palabra , conjugación e isomorfismo ). Otros temas de la teoría de grupos, como los grupos de clases de mapeo , la propiedad (T) , la resolubilidad , la amenabilidad y los retículos en grupos de Lie, a veces también se consideran fuertemente geométricos. [ 125 ] [ 128 ] [ 129 ] [ 130 ]

Geometría convexa

La geometría convexa investiga las formas convexas en el espacio euclidiano y sus análogos más abstractos, a menudo utilizando técnicas de análisis real y matemáticas discretas . [ 131 ] Tiene estrechas conexiones con el análisis convexo , la optimización y el análisis funcional , y aplicaciones importantes en la teoría de números .

La geometría convexa se remonta a la antigüedad. [ 131 ] Arquímedes dio la primera definición precisa conocida de convexidad. El problema isoperimétrico , un concepto recurrente en la geometría convexa, también fue estudiado por los griegos, incluido Zenodoro . Arquímedes, Platón , Euclides y, posteriormente, Kepler y Coxeter estudiaron los politopos convexos y sus propiedades. Desde el siglo XIX en adelante, los matemáticos han estudiado otras áreas de las matemáticas convexas, incluidos los politopos de dimensiones superiores, el volumen y el área de superficie de los cuerpos convexos, la curvatura gaussiana , los algoritmos , los teselados y las retículas .

Aplicaciones

La geometría ha encontrado aplicaciones en muchos campos, algunos de los cuales se describen a continuación.

Arte

Bou Inania Madrasa, Fez, Marruecos, mosaicos zellige formando elaboradas teselaciones geométricas

Las matemáticas y el arte están relacionadas de diversas maneras. Por ejemplo, la teoría de la perspectiva demostró que la geometría abarca más que las propiedades métricas de las figuras: la perspectiva es el origen de la geometría proyectiva . [ 132 ]

Los artistas han utilizado desde hace mucho tiempo conceptos de proporción en el diseño. Vitruvio desarrolló una compleja teoría de las proporciones ideales para la figura humana. [ 133 ] Estos conceptos han sido utilizados y adaptados por artistas desde Miguel Ángel hasta los dibujantes de cómics modernos. [ 134 ]

La proporción áurea es una proporción particular que ha tenido un papel controvertido en el arte. A menudo se afirma que es la proporción de longitudes más estéticamente agradable, y con frecuencia se dice que está incorporada en obras de arte famosas, aunque los ejemplos más fiables e inequívocos fueron realizados deliberadamente por artistas conscientes de esta leyenda. [ 135 ]

Los mosaicos , o teselaciones, se han utilizado en el arte a lo largo de la historia. El arte islámico hace un uso frecuente de las teselaciones, al igual que el arte de MC Escher . [ 136 ] La obra de Escher también hizo uso de la geometría hiperbólica .

Cézanne propuso la teoría de que todas las imágenes pueden construirse a partir de la esfera , el cono y el cilindro . Esta teoría aún se utiliza en la teoría del arte actual, aunque la lista exacta de formas varía según el autor. [ 137 ] [ 138 ]

Arquitectura

La geometría tiene muchas aplicaciones en la arquitectura. De hecho, se ha dicho que la geometría es fundamental para el diseño arquitectónico. [ 139 ] [ 140 ] Las aplicaciones de la geometría a la arquitectura incluyen el uso de la geometría proyectiva para crear perspectiva forzada , [ 141 ] el uso de secciones cónicas en la construcción de cúpulas y objetos similares, [ 89 ] el uso de teselaciones , [ 89 ] y el uso de la simetría. [ 89 ]

Física

El campo de la astronomía , especialmente en lo que se refiere a la cartografía de las posiciones de las estrellas y los planetas en la esfera celeste y a la descripción de la relación entre los movimientos de los cuerpos celestes, ha servido como una importante fuente de problemas geométricos a lo largo de la historia. [ 142 ]

La geometría riemanniana y la geometría pseudoriemanniana se utilizan en la relatividad general . [ 143 ] La teoría de cuerdas utiliza varias variantes de geometría, [ 144 ] al igual que la teoría de la información cuántica . [ 145 ]

Otros campos de las matemáticas

Un triángulo rectángulo con sus dos catetos de longitud 1 y su hipotenusa de longitud √2 (un número irracional).
Los pitagóricos descubrieron que los lados de un triángulo podían tener longitudes inconmensurables .

El cálculo estuvo fuertemente influenciado por la geometría. [ 30 ] Por ejemplo, la introducción de las coordenadas por René Descartes y los desarrollos simultáneos del álgebra marcaron una nueva etapa para la geometría, ya que las figuras geométricas, como las curvas planas, podían representarse analíticamente en forma de funciones y ecuaciones. Esto desempeñó un papel clave en el surgimiento del cálculo infinitesimal en el siglo XVII. La geometría analítica sigue siendo un pilar fundamental del currículo de precálculo y cálculo. [ 146 ] [ 147 ]

Otra área importante de aplicación es la teoría de números . [ 148 ] En la antigua Grecia, los pitagóricos consideraron el papel de los números en la geometría. Sin embargo, el descubrimiento de longitudes inconmensurables contradijo sus puntos de vista filosóficos. [ 149 ] Desde el siglo XIX, la geometría se ha utilizado para resolver problemas en teoría de números, por ejemplo, a través de la geometría de los números o, más recientemente, la teoría de esquemas , que se utiliza en la demostración de Wiles del Último Teorema de Fermat . [ 150 ]

Véase también

Liza
Temas relacionados
Otras aplicaciones

Notas

  1. ↑ (del griego antiguo γεωμετρία ( geōmetría ) ' medición de la tierra ' ; de γῆ ( gê ) ' tierra, tierra ' y μέτρον ( métron ) ' una medida ' )   
  2. Hasta el siglo XIX, la geometría se regía por la suposición de que todas las construcciones geométricas eran euclidianas. En el siglo XIX y posteriormente, esta idea fue cuestionada por el desarrollo de la geometría hiperbólica por Lobachevsky y otras geometrías no euclidianas por Gauss y otros. Entonces se comprendió que la geometría no euclidiana había estado presente implícitamente a lo largo de la historia, incluyendo la obra de Desargues en el siglo XVII, remontándose al uso implícito de la geometría esférica para comprender la geodesia terrestre y navegar por los océanos desde la antigüedad.
  3. ↑ Las ternas pitagóricas son ternas de números enteros.(a,b,do){\displaystyle (a,b,c)}con la propiedad:a2+b2=do2{\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}. De este modo,32+42=52{\displaystyle 3^{2}+4^{2}=5^{2}},82+152=172{\displaystyle 8^{2}+15^{2}=17^{2}},122+352=372{\displaystyle 12^{2}+35^{2}=37^{2}}etc.
  4. ↑ Los antiguos griegos tenían algunas construcciones que utilizaban otros instrumentos.

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    Tres científicos, Ibn al-Haytham, Khayyam y al-Tusi, hicieron la contribución más considerable a esta rama de la geometría cuya importancia solo se reconoció plenamente en el siglo XIX. En esencia, sus proposiciones sobre las propiedades de los cuadriláteros que consideraron, asumiendo que algunos de los ángulos de estas figuras eran agudos u obtusos, incorporaron los primeros teoremas de las geometrías hiperbólica y elíptica. Sus otras propuestas demostraron que varias afirmaciones geométricas eran equivalentes al postulado euclidiano V. Es extremadamente importante que estos eruditos establecieran la conexión mutua entre este postulado y la suma de los ángulos de un triángulo y un cuadrilátero. Con sus trabajos sobre la teoría de las líneas paralelas, los matemáticos árabes influyeron directamente en las investigaciones pertinentes de sus homólogos europeos. El primer intento europeo de demostrar el postulado de las líneas paralelas fue realizado por Witelo, el científico polaco del siglo XIII, mientras revisaba el Libro de Óptica de Ibn al-Haytham ( Kitab al-Manazir). Sin duda, esta teoría fue impulsada por fuentes árabes. Las pruebas presentadas en el siglo XIV por el erudito judío Levi ben Gerson, que vivió en el sur de Francia, y por el ya mencionado Alfonso de España, colindan directamente con la demostración de Ibn al-Haytham. Como hemos demostrado anteriormente, la Exposición de Euclides de Pseudo-Tusi estimuló los estudios de J. Wallis y G. Saccheri sobre la teoría de las líneas paralelas.
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  • El Atlas Matemático – Áreas Geométricas de las Matemáticas
  • "4000 años de geometría" , conferencia impartida por Robin Wilson en Gresham College el 3 de octubre de 2007 (disponible para descargar en formato MP3 y MP4, así como en formato de texto).
    • El finitismo en la geometría en la Enciclopedia de Filosofía de Stanford
  • El desguace de geometría
  • Referencia de geometría interactiva con cientos de applets
  • Bocetos de geometría dinámica (con algunas exploraciones de los estudiantes)
  • Clases de geometría en la Academia Khan
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