Geometría esférica

La geometría esférica o esféricos (del griego antiguo σφαιρικά ) es la geometría de la superficie bidimensional de una esfera ^[a] o la superficie n -dimensional de esferas de dimensiones superiores .

La geometría esférica y las herramientas métricas de la trigonometría esférica , estudiadas durante mucho tiempo por sus aplicaciones prácticas en astronomía , navegación y geodesia , son en muchos aspectos análogas a la geometría y trigonometría del plano euclidiano , pero también tienen algunas diferencias importantes.

La esfera puede estudiarse extrínsecamente como una superficie incrustada en el espacio euclidiano tridimensional (parte del estudio de la geometría sólida ) o intrínsecamente utilizando métodos que solo involucran la superficie misma sin referencia a ningún espacio circundante.

En la geometría plana (euclidiana) , los conceptos básicos son puntos y líneas (rectas) . En la geometría esférica, los conceptos básicos son punto y círculo máximo . Sin embargo, dos círculos máximos en un plano se intersecan en dos puntos antípodas, a diferencia de las líneas coplanares en la geometría elíptica .

En la imagen tridimensional extrínseca, un círculo máximo es la intersección de la esfera con cualquier plano que pase por el centro. En el enfoque intrínseco, un círculo máximo es una geodésica ; un camino más corto entre dos de sus puntos siempre que estén lo suficientemente cerca. O, en el enfoque axiomático (también intrínseco) análogo a los axiomas de Euclides de la geometría plana, "círculo máximo" es simplemente un término indefinido, junto con postulados que estipulan las relaciones básicas entre los círculos máximos y los también indefinidos "puntos". Esto es lo mismo que el método de Euclides de tratar el punto y la línea como nociones primitivas indefinidas y axiomatizar sus relaciones.

Los círculos máximos desempeñan en muchos sentidos el mismo papel lógico en la geometría esférica que las líneas en la geometría euclidiana, por ejemplo, como los lados de los triángulos (esféricos). Esto es más que una analogía; la geometría esférica y plana y otras pueden unificarse bajo el paraguas de la geometría construida a partir de la medición de distancias , donde las "líneas" se definen como caminos más cortos (geodésicas). Muchas afirmaciones sobre la geometría de puntos y tales "líneas" son igualmente verdaderas en todas esas geometrías siempre que las líneas se definan de esa manera, y la teoría se puede extender fácilmente a dimensiones superiores. Sin embargo, debido a que sus aplicaciones y pedagogía están ligadas a la geometría sólida, y debido a que la generalización pierde algunas propiedades importantes de las líneas en el plano, la geometría esférica ordinariamente no usa el término "línea" en absoluto para referirse a nada en la esfera misma. Si se desarrolla como parte de la geometría sólida, se hace uso de puntos, líneas rectas y planos (en el sentido euclidiano) en el espacio circundante.

En geometría esférica, los ángulos se definen entre círculos máximos, lo que da como resultado una trigonometría esférica que difiere de la trigonometría ordinaria en muchos aspectos; por ejemplo, la suma de los ángulos interiores de un triángulo esférico supera los 180 grados.

Debido a que una esfera y un plano difieren geométricamente, la geometría esférica (intrínseca) tiene algunas características de una geometría no euclidiana y a veces se describe como una de ellas. Sin embargo, la geometría esférica no se consideró una geometría no euclidiana completa suficiente para resolver el antiguo problema de si el postulado de las paralelas es una consecuencia lógica del resto de los axiomas de Euclides de la geometría plana, porque requiere que se modifique otro axioma. La resolución se encontró en cambio en la geometría elíptica , con la que la geometría esférica está estrechamente relacionada, y la geometría hiperbólica ; cada una de estas nuevas geometrías realiza un cambio diferente en el postulado de las paralelas.

Los principios de cualquiera de estas geometrías pueden extenderse a cualquier número de dimensiones.

Una geometría importante relacionada con la de la esfera es la del plano proyectivo real ; se obtiene identificando puntos antípodas (pares de puntos opuestos) en la esfera. Localmente, el plano proyectivo tiene todas las propiedades de la geometría esférica, pero tiene diferentes propiedades globales. En particular, no es orientable , o unilateral, y a diferencia de la esfera no se puede dibujar como una superficie en el espacio tridimensional sin intersecarse a sí mismo.

Los conceptos de geometría esférica también se pueden aplicar a la esfera oblonga , aunque se deben implementar modificaciones menores en ciertas fórmulas.

La obra matemática más antigua de la antigüedad que ha llegado hasta nuestros días es Sobre la esfera giratoria (Περὶ κινουμένης σφαίρας, Peri kinoumenes sphairas ) de Autolycus de Pitane , que vivió a finales del siglo IV a. C. ^[1]

La trigonometría esférica fue estudiada por los primeros matemáticos griegos como Teodosio de Bitinia , un astrónomo y matemático griego que escribió Spherics , un libro sobre la geometría de la esfera, ^[2] y Menelao de Alejandría , quien escribió un libro sobre trigonometría esférica llamado Sphaerica y desarrolló el teorema de Menelao . ^{[3] [4]}

El Libro de los arcos desconocidos de una esfera , escrito por el matemático islámico Al-Jayyani, se considera el primer tratado sobre trigonometría esférica. El libro contiene fórmulas para triángulos rectángulos, la ley general de los senos y la solución de un triángulo esférico mediante el triángulo polar. ^[5]

El libro De los triángulos de Regiomontano , escrito alrededor de 1463, es el primer trabajo trigonométrico puro en Europa. Sin embargo, Gerolamo Cardano señaló un siglo después que gran parte de su material sobre trigonometría esférica fue tomado del trabajo del siglo XII del erudito andalusí Jabir ibn Aflah . ^[6]

Leonhard Euler publicó una serie de memorias importantes sobre geometría esférica:

• L. Euler, Principes de la trigonométrie sphérique tirés de la méthode des plus grands et des plus petits, Mémoires de l'Académie des Sciences de Berlin 9 (1753), 1755, p. 233–257; Ópera Omnia, Serie 1, vol. XXVII, pág. 277–308.
• L. Euler, Eléments de la trigonométrie sphéroïdique tirés de la méthode des plus grands et des plus petits, Mémoires de l'Académie des Sciences de Berlin 9 (1754), 1755, p. 258–293; Ópera Omnia, Serie 1, vol. XXVII, pág. 309–339.
• L. Euler, De curva rectificabili in superficie sphaerica, Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 15, 1771, págs. 195-216; Opera Omnia, Serie 1, Volumen 28, págs.
• L. Euler, De mensura angulorum solidorum, Acta academiae scientiarum imperialis Petropolitinae 2, 1781, pág. 31–54; Ópera Omnia, Serie 1, vol. XXVI, pág. 204–223.
• L. Euler, Problematis cuiusdam Pappi Alexandrini constructio, Acta academiae scientiarum imperialis Petropolitinae 4, 1783, p. 91–96; Ópera Omnia, Serie 1, vol. XXVI, pág. 237–242.
• L. Euler, Geométrica et sphaerica quaedam, Mémoires de l'Académie des Sciences de Saint-Pétersbourg 5, 1815, p. 96–114; Ópera Omnia, Serie 1, vol. XXVI, pág. 344–358.
• L. Euler, Trigonometria sphaerica universa, ex primis principiis breviter et dilucide derivata, Acta academiae scientiarum imperialis Petropolitinae 3, 1782, p. 72–86; Ópera Omnia, Serie 1, vol. XXVI, pág. 224–236.
• L. Euler, Variae speculaciones super area triangulorum sphaericorum, Nova Acta academiae scientiarum imperialis Petropolitinae 10, 1797, p. 47–62; Ópera Omnia, Serie 1, vol. XXIX, pág. 253–266.

La geometría esférica tiene las siguientes propiedades: ^[7]

• Dos círculos máximos cualesquiera se intersecan en dos puntos diametralmente opuestos, llamados puntos antípodas .
• Dos puntos cualesquiera que no sean puntos antípodas determinan un único círculo máximo.
• Existe una unidad natural de medida de ángulos (basada en una revolución), una unidad natural de longitud (basada en la circunferencia de un círculo máximo) y una unidad natural de área (basada en el área de la esfera).
• Cada círculo máximo está asociado a un par de puntos antípodas, llamados sus polos , que son las intersecciones comunes del conjunto de círculos máximos perpendiculares a él. Esto demuestra que un círculo máximo es, con respecto a la medición de distancias en la superficie de la esfera , un círculo: el lugar geométrico de los puntos que se encuentran a una distancia específica de un centro.
• Cada punto está asociado a un círculo máximo único, llamado círculo polar del punto, que es el círculo máximo en el plano que pasa por el centro de la esfera y es perpendicular al diámetro de la esfera que pasa por el punto dado.

Como hay dos arcos determinados por un par de puntos, que no son antípodas, en el círculo máximo que determinan, tres puntos no colineales no determinan un triángulo único. Sin embargo, si consideramos únicamente los triángulos cuyos lados son arcos menores de círculos máximos, tenemos las siguientes propiedades:

• La suma de los ángulos de un triángulo es mayor que 180° y menor que 540°.
• El área de un triángulo es proporcional al exceso de la suma de sus ángulos sobre 180°.
• Dos triángulos con la misma suma de ángulos son iguales en área.
• Hay un límite superior para el área de los triángulos.
• La composición (producto) de dos reflexiones a través de un círculo máximo puede considerarse como una rotación alrededor de cualquiera de los puntos de intersección de sus ejes.
• Dos triángulos son congruentes si y sólo si corresponden bajo un producto finito de tales reflexiones.
• Dos triángulos con ángulos correspondientes iguales son congruentes (es decir, todos los triángulos similares son congruentes).

Si se toma "línea" como círculo máximo, la geometría esférica sólo obedece a dos de los cinco postulados de Euclides : el segundo postulado ("producir [extender] una línea recta finita continuamente en una línea recta") y el cuarto postulado ("que todos los ángulos rectos son iguales entre sí"). Sin embargo, viola los otros tres. Contrariamente al primer postulado ("que entre dos puntos cualesquiera, hay un único segmento de línea que los une"), no existe una única ruta más corta entre dos puntos cualesquiera ( los puntos antípodas como los polos norte y sur en un globo esférico son contraejemplos); contrariamente al tercer postulado, una esfera no contiene círculos de radio arbitrariamente grande; y contrariamente al quinto postulado (paralelo) , no hay ningún punto a través del cual se pueda trazar una línea que nunca intersecta una línea dada. ^[8]

Un enunciado equivalente al postulado de las paralelas es que existe un triángulo cuyos ángulos suman 180°. Como la geometría esférica viola el postulado de las paralelas, no existe tal triángulo en la superficie de una esfera. La suma de los ángulos de un triángulo en una esfera es 180°(1 + 4 f ) , donde f es la fracción de la superficie de la esfera que está encerrada por el triángulo. Para cualquier valor positivo de f , esto excede 180°.

• Astronomía esférica
• Cónica esférica
• Distancia esférica
• Poliedro esférico
• Esferas
• Fórmula de la mitad del lado
• Esfera de Lénárt
• Versor

• Meserve, Bruce E. (1983) [1959], Conceptos fundamentales de geometría , Dover, ISBN 0-486-63415-9
• Papadopoulos, Athanase (2015), Euler, la géométrie sphérique et le calcul des variations. En: Leonhard Euler: Mathématicien, physicien et théoricien de la musique (dir. X. Hascher et A. Papadopoulos) , CNRS Editions, París, ISBN 978-2-271-08331-9
• Van Brummelen, Glen (2013). Matemáticas celestiales: el arte olvidado de la trigonometría esférica. Princeton University Press . ISBN 9780691148922. Recuperado el 31 de diciembre de 2014 .
• Roshdi Rashed y Athanase Papadopoulos (2017) Las esféricas de Menelao: traducción temprana y versión de al-Mahani'/alHarawi. Edición crítica de las esféricas de Menelao a partir de los manuscritos árabes, con comentarios históricos y matemáticos , De Gruyter Series: Scientia Graeco-Arabica 21 ISBN 978-3-11-057142-4 

• La geometría de la esfera Archivado el 21 de junio de 2011 en Wayback Machine Universidad Rice
• Weisstein, Eric W. "Geometría esférica". MathWorld .
• Sphaerica - software de geometría para construir sobre la esfera