Fórmula de la mitad del lado

En trigonometría esférica , la fórmula del medio lado relaciona los ángulos y las longitudes de los lados de los triángulos esféricos , que son triángulos dibujados en la superficie de una esfera y, por lo tanto, tienen lados curvos y no obedecen las fórmulas para triángulos planos . ^[1]

Para un triángulo sobre una esfera, la fórmula de la mitad del lado es ^[2]${\displaystyle \triángulo ABC}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\tan {\tfrac {1}{2}}a&={\sqrt {\frac {-\cos(S)\,\cos(SA)}{\cos(SB)\,\cos(SC)}}}\end{aligned}}}$$

donde a, b, c son las longitudes angulares (medida del ángulo central , longitudes de arco normalizadas a una esfera de radio unitario ) de los lados opuestos a los ángulos A, B, C respectivamente, y es la mitad de la suma de los ángulos. Se pueden obtener dos fórmulas más para y permutando las etiquetas${\displaystyle S={\frac {1}{2}}(A+B+C)}$${\estilo de visualización b}$${\estilo de visualización c}$${\estilo de visualización A, B, C.}$

La relación dual polar para un triángulo esférico es la fórmula del medio ángulo ,

$${\displaystyle {\begin{aligned}\tan {\tfrac {1}{2}}A&={\sqrt {\frac {\sin(sb)\,\sin(sc)}{\sin(s)\,\sin(sa)}}}\end{aligned}}}$$

donde el semiperímetro es la mitad de la suma de los lados. Nuevamente, se pueden obtener dos fórmulas más permutando las etiquetas${\displaystyle s={\frac {1}{2}}(a+b+c)}$${\estilo de visualización A, B, C.}$

Las mismas relaciones se pueden escribir como ecuaciones racionales de semitangentes (tangentes de semiángulos). Si y entonces la fórmula de semilado es equivalente a: ${\displaystyle t_{a}=\tan {\tfrac {1}{2}}a,}$ ${\displaystyle t_{b}=\tan {\tfrac {1}{2}}b,}$ ${\displaystyle t_{c}=\tan {\tfrac {1}{2}}c,}$${\displaystyle t_{A}=\tan {\tfrac {1}{2}}A,}$ ${\displaystyle t_{B}=\tan {\tfrac {1}{2}}B,}$${\displaystyle t_{C}=\tan {\tfrac {1}{2}}C,}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}t_{a}^{2}&={\frac {{\bigl (}t_{B}t_{C}+t_{C}t_{A}+t_{A}t_{B}-1{\bigr )}{\bigl (}{-t_{B}t_{C}+t_{C}t_{A}+t_{A}t_{B}+1}{\bigr )}}{{\bigl (}t_{B}t_{C}-t_{C}t_{A}+t_{A}t_{B}+1{\bigr )}{\bigl (}t_{B}t_{C}+t_{C}t_{A}-t_{A}t_{B}+1{\bigr )}}}.\end{aligned}}}$$

y la fórmula del medio ángulo es equivalente a:

$${\displaystyle {\begin{aligned}t_{A}^{2}&={\frac {{\bigl (}t_{a}-t_{b}+t_{c}+t_{a}t_{b}t_{c}{\bigr )}{\bigl (}t_{a}+t_{b}-t_{c}+t_{a}t_{b}t_{c}{\bigr )}}{{\bigl (}t_{a}+t_{b}+t_{c}-t_{a}t_{b}t_{c}{\bigr )}{\bigl (}{-t_{a}+t_{b}+t_{c}+t_{a}t_{b}t_{c}}{\bigr )}}}.\end{aligned}}}$$

• Ley esférica de los cosenos
• Ley de Haversine