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Complejo cúbico

En matemáticas , un complejo cúbico (también llamado conjunto cúbico y complejo cartesiano [ 1 ] ) es un conjunto compuesto por puntos , segmentos de línea , cuadrados , cubos y...

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En matemáticas , un complejo cúbico (también llamado conjunto cúbico y complejo cartesiano [ 1 ] ) es un conjunto compuesto por puntos , segmentos de línea , cuadrados , cubos y sus contrapartes de dimensiones superiores . Se utilizan de forma análoga a los complejos simpliciales y complejos CW en el cálculo de la homología de espacios topológicos . Los complejos cúbicos de curvatura no positiva y CAT(0) adquieren cada vez mayor relevancia en la teoría geométrica de grupos .

Todos los grafos son ( homeomorfos a) complejos cúbicos unidimensionales.

Definiciones

Con cubos regulares

Un cubo unitario (a menudo llamado simplemente cubo ) de dimensiónnorte≥0{\displaystyle n\geq 0}es el espacio métrico obtenido como el finito (l2{\displaystyle l^{2}}) producto cartesianodonorte=Inorte{\displaystyle C_{n}=I^{n}}denorte{\displaystyle n}copias del intervalo unitarioI=[0,1]{\displaystyle I=[0,1]}.

Una cara de un cubo unitario es un subconjuntoF⊂donorte{\displaystyle F\subset {C_{n}}}de la formaF=∏i=1norteJi{\displaystyle F=\prod _{i=1}^{n}J_{i}}donde para todos1≤i≤norte{\displaystyle 1\leq i\leq n},Ji{\displaystyle J_{i}}es o{0}{\displaystyle \{0\}},{1}{\displaystyle \{1\}}, o[0,1]{\displaystyle [0,1]}. La dimensión de la caraF{\displaystyle F}es el número de índicesi{\displaystyle i}de tal manera queJi=[0,1]{\displaystyle J_{i}=[0,1]}; un rostro de dimensiónk{\displaystyle k}, ok{\displaystyle k}-cara, es en sí misma naturalmente un cubo elemental unitario de dimensiónk{\displaystyle k}y a veces se le llama un subcubo deF{\displaystyle F}También se puede considerar∅{\textstyle \emptyset }como un rostro de dimensión−1{\textstyle -1}.

Un complejo cúbico es un complejo poliédrico métrico cuyas celdas son cubos unitarios; más técnicamente, es el cociente de una unión disjunta de copias de cubos unitarios bajo una relación de equivalencia generada por un conjunto de identificaciones isométricas de caras. A menudo se reserva el término complejo cúbico , o complejo de cubos, para aquellos complejos cúbicos en los que no se identifican dos caras de un mismo cubo, es decir, donde el borde de cada cubo está incrustado y la intersección de dos cubos es una cara de cada cubo. [ 2 ]

Se dice que un complejo cúbico es de dimensión finita si la dimensión de las celdas cúbicas está acotada. Es localmente finito si cada cubo está contenido en un número finito de cubos.

Con cubos irregulares

Un intervalo elemental es un subconjuntoI⊊R{\displaystyle I\subsetneq \mathbf {R} }de la forma

I=[l,l+1]oI=[l,l]{\displaystyle I=[l,l+1]\quad {\text{or}}\quad I=[l,l]}

para algunosl∈Z{\displaystyle l\in \mathbf {Z} }Un cubo elementalQ{\displaystyle Q}es el producto finito de intervalos elementales, es decir

Q=I1×I2×⋯×Id⊊Rd{\displaystyle Q=I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{d}\subsetneq \mathbf {R} ^{d}}

dóndeI1,I2,…,Id{\displaystyle I_{1},I_{2},\ldots ,I_{d}}son intervalos elementales. De forma equivalente, un cubo elemental es cualquier traslación de un cubo unitario.[0,1]norte{\displaystyle [0,1]^{n}}incrustado en el espacio euclidianoRd{\displaystyle \mathbf {R} ^{d}}(para algunosnorte,d∈norte∪{0}{\displaystyle n,d\in \mathbf {N} \cup \{0\}}connorte≤d{\displaystyle n\leq d}). [ 3 ] Un conjuntoincógnita⊆Rd{\displaystyle X\subseteq \mathbf {R} ^{d}}Es un complejo cúbico (o conjunto cúbico ) si puede escribirse como una unión de cubos elementales (o posiblemente, es homeomorfo a dicho conjunto). [ 4 ]

Los intervalos elementales de longitud 0 (que contienen un solo punto) se denominan degenerados , mientras que los de longitud 1 son no degenerados . La dimensión de un cubo es el número de intervalos no degenerados enQ{\displaystyle Q}, denotadooscuro⁡Q{\displaystyle \dim Q}La dimensión de un complejo cúbicoincógnita{\displaystyle X}es la dimensión más grande de cualquier cubo enincógnita{\displaystyle X}.

SiQ{\displaystyle Q}yPAG{\displaystyle P}son cubos elementales yQ⊆PAG{\displaystyle Q\subseteq P}, entoncesQ{\displaystyle Q}es un rostro dePAG{\displaystyle P}. SiQ{\displaystyle Q}es un rostro dePAG{\displaystyle P}yQ≠PAG{\displaystyle Q\neq P}, entoncesQ{\displaystyle Q}es una cara apropiada dePAG{\displaystyle P}. SiQ{\displaystyle Q}es un rostro dePAG{\displaystyle P}yoscuro⁡Q=oscuro⁡PAG−1{\displaystyle \dim Q=\dim P-1}, entoncesQ{\displaystyle Q}es una faceta o cara principal dePAG{\displaystyle P}.

En topología algebraica

En topología algebraica, los complejos cúbicos suelen ser útiles para cálculos concretos. En particular, existe una definición de homología para complejos cúbicos que coincide con la homología singular , pero es computable .

En la teoría geométrica de grupos

Los grupos que actúan geométricamente mediante isometrías en complejos de cubos CAT(0) proporcionan una amplia clase de ejemplos de grupos CAT(0) .

La construcción de Sageev puede entenderse como una generalización de dimensión superior de la teoría de Bass-Serre , donde los árboles se reemplazan por complejos de cubos CAT(0). [ 5 ] El trabajo de Daniel Wise ha proporcionado ejemplos fundamentales de grupos cubulados. [ 6 ] El teorema de Agol de que los grupos hiperbólicos cubulados son virtualmente especiales ha resuelto la conjetura de Haken virtualmente hiperbólicos, que era el único caso restante de esta conjetura después de que Perelman demostrara la conjetura de geometrización de Thurston . [ 7 ]

Complejos cúbicos CAT(0)

Teorema de Gromov

Condición de enlace de Gromov . Un complejo cúbico de dimensión finita es localmente CAT(0) si y solo si todos sus enlaces de vértice son simpliciales de bandera. complejos.

Hiperplanos

Complejos cúbicos CAT(0) y acciones de grupo

La construcción de Sageev

RAAG y RACG

Aplicaciones

Los complejos cúbicos tienen una amplia gama de aplicaciones en matemáticas, informática, robótica e inteligencia artificial. Sus estructuras combinatorias y geométricas proporcionan herramientas poderosas para modelar espacios de configuración discreta y aplicar métodos de la teoría geométrica de grupos a problemas prácticos.

Una de las áreas de aplicación más desarrolladas es la robótica y la planificación de movimiento, donde se utilizan complejos cúbicos para representar los espacios de configuración de sistemas reconfigurables. Los complejos de estado introducidos por Abrams, Ghrist y Peterson modelan todas las configuraciones admisibles de robots modulares como complejos cúbicos de curvatura no positiva, lo que permite el uso de la geometría CAT(0) para calcular las rutas más cortas y optimizar las estrategias de reconfiguración. [ 8 ] [ 9 ] Métodos similares se han aplicado a la coordinación de múltiples agentes robóticos, lo que ha dado lugar a algoritmos eficientes para la navegación sin colisiones y la autorreconfiguración. [ 10 ]

Los complejos cúbicos también se han aplicado recientemente en la seguridad de la inteligencia artificial . Un ejemplo notable es el trabajo de Burns y Tang. [ 11 ] Este estudio se basa en el marco de Abrams-Ghrist-Peterson de complejos de estado para analizar entornos de mundos de cuadrícula multiagente, que se utilizan comúnmente en la investigación del aprendizaje por refuerzo. Burns y Tang introducen un complejo de estado modificado que incorpora "danzas", cubos de dimensiones superiores que codifican movimientos de agentes independientes o entrelazados. Esta modificación permite que la geometría intrínseca del complejo codifique información crítica para la seguridad: al probar fallas de la condición de enlace de Gromov, que detecta curvatura positiva en un complejo de cubos, [ 12 ] muestran que las colisiones potenciales de agentes corresponden precisamente a violaciones locales de curvatura no positiva. Esto proporciona un método puramente geométrico para identificar estados peligrosos o indeseables sin necesidad de datos de entrenamiento. En particular, la detección de colisiones se reduce a verificar patrones combinatorios simples en los enlaces de los vértices, lo que ofrece atajos computacionales para la planificación en tiempo real en sistemas multiagente .

Otras aplicaciones de los complejos cúbicos incluyen el análisis topológico de datos, donde sirven como alternativas a los complejos simpliciales en homología persistente; la teoría geométrica de grupos, donde los complejos cúbicos CAT(0) proporcionan espacios para acciones de grupo; [ 13 ] y la combinatoria, donde las estructuras hiperplanas de los complejos cúbicos pueden codificar problemas de clasificación binaria. [ 14 ]

Véase también

Referencias

  1. ↑ Kovalevsky, Vladimir. "Introducción a las notas de clase de topología digital" . Archivado del original el 23 de febrero de 2020. Consultado el 30 de noviembre de 2021 .
  2. ^ Bridson, Martín R.; Haefliger, André (1999), "Mκ—Polyhedral Complexes" , en Bridson, Martin R.; Haefliger, André (eds.), Espacios métricos de curvatura no positiva , Berlín, Heidelberg: Springer, p. 115, doi : 10.1007/978-3-662-12494-9_7 , ISBN  978-3-662-12494-9, consultado el 19 de noviembre de 2024
  3. ↑ Werman, Michael; Wright, Matthew L. (2016-07-01). "Volúmenes intrínsecos de complejos cúbicos aleatorios" . Geometría discreta y computacional . 56 (1): 93– 113. arXiv : 1402.5367 . doi : 10.1007/s00454-016-9789-z . ISSN 0179-5376 . 
  4. ↑ Kaczynski, Tomasz; Mischaikow, Konstantin; Mrozek, Marian (2004). Homología computacional . Nueva York: Springer. ISBN 9780387215976OCLC 55897585​​ 
  5. ↑ Sageev, Michah (1995). "Extremos de pares de grupos y complejos de cubos con curvatura no positiva" . Actas de la Sociedad Matemática de Londres . s3-71 (3): 585– 617. doi : 10.1112/plms/s3-71.3.585 .
  6. ↑ Daniel T. Wise, La estructura de grupos con una jerarquía cuasiconvexa , https://docs.google.com/file/d/0B45cNx80t5-2NTU0ZTdhMmItZTIxOS00ZGUyLWE0YzItNTEyYWFiMjczZmIz/edit?pli=1
  7. ↑ Agol, Ian (2013). "La conjetura virtual de Haken" . Doc. Math . 18. Con un apéndice de Ian Agol, Daniel Groves y Jason Manning: 1045–1087 . doi : 10.4171/dm/ 421 . MR 3104553. S2CID 255586740 .  
  8. ↑ Abrams, Aaron; Ghrist, Robert (2004). "Complejos de estado para robots metamórficos" . The International Journal of Robotics Research . 23 ( 7–8 ): 811–826 . doi : 10.1177/0278364904045468 .
  9. ↑ Ghrist, Robert; Peterson, V (2007). "La geometría y la topología de la reconfiguración" . Advances in Applied Mathematics . 38 (3): 302– 323. doi : 10.1016/j.aam.2005.08.009 .
  10. ↑ Ardila, Federico; Baker, Tia; Yatchak, Rika (2014). "Movimiento eficiente de robots mediante la combinatoria de complejos cúbicos CAT(0)" . SIAM Journal on Discrete Mathematics . 28 (2): 986– 1007. arXiv : 1211.1442 . doi : 10.1137/120898115 .
  11. ↑ Burns, Thomas F.; Tang, Robert (2023). "Detección de peligro en mundos de cuadrícula utilizando la condición de enlace de Gromov" . Transactions on Machine Learning Research . 2023 : 1–23 .
  12. ↑ Gromov, Mikhail (1987). "Grupos hiperbólicos" . Ensayos sobre teoría de grupos : 75–263 . doi : 10.1007/978-1-4613-9586-7_3 .
  13. ↑ Sageev, Michah (1995). "Extremos de pares de grupos y complejos de cubos con curvatura no positiva" . Actas de la Sociedad Matemática de Londres . s3-71 (3): 585– 617. doi : 10.1112/plms/s3-71.3.585 .
  14. ↑ Chatterji, Indira; Niblo, Graham (2005). "De espacios de pared a complejos de cubos CAT(0)" . International Journal of Algebra and Computation . 15 (05n06): 875–885 . arXiv : math/0309036 . doi : 10.1142/S0218196705002669 .
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