Complejo poliédrico

En matemáticas , un complejo poliédrico es un conjunto de poliedros en un espacio vectorial real que encajan entre sí de una manera específica. ^{[ 1 ]} Los complejos poliédricos generalizan los complejos simpliciales y surgen en varias áreas de la geometría poliédrica, como la geometría tropical , las splines y las disposiciones de hiperplanos .

Un complejo poliédrico${\displaystyle {\mathcal {K}}}$es un conjunto de poliedros que satisface las siguientes condiciones:

1. Cada cara de un poliedro desde${\displaystyle {\mathcal {K}}}$también está en${\displaystyle {\mathcal {K}}}$.

2. La intersección de dos poliedros cualesquiera${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}\in {\mathcal {K}}}$es un rostro de ambos${\displaystyle \sigma _{1}}$y${\displaystyle \sigma _{2}}$.

Nótese que el conjunto vacío es una cara de cada poliedro, y por lo tanto la intersección de dos poliedros en${\displaystyle {\mathcal {K}}}$puede estar vacío.

• Las variedades tropicales son complejos poliédricos que satisfacen una determinada condición de equilibrio . ^{[ 2 ]}
• Los complejos simpliciales son complejos poliédricos en los que cada poliedro es un simplex .
• Diagramas de Voronoi .
• Splines .

Un abanico (poliédrico) es un complejo poliédrico en el que cada poliedro es un cono que parte del origen. Algunos ejemplos de abanicos son:

• El abanico normal de un politopo .
• El abanico asociado a una variedad tórica (véase Variedad tórica §  Teorema fundamental de la geometría tórica ).
• El abanico de Gröbner de un ideal de un anillo de polinomios . ^{[ 3 ] [ 4 ]}
• Una variedad tropical obtenida al tropicalizar una variedad algebraica sobre un cuerpo valuado con valuación trivial.
• El fanático de la recesión de variedad tropical.